人教版九年级数学第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提高训练 (25)(有解析)

第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提高训练（25）

一、单选题

1.如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30。，看这栋高楼底部C

点的俯角为60。，若热气球与高楼的水平距离为30m,则这栋高楼高度是（）

A.60mB.40^/3mC.30^73mD.60^/3m

2.如图所示，。尸是NAOC的平分线，点2在0P上，人5，。。于点。，NA=45°,点8到

OA的距离为2,则AB长为（）

A.2B.2A/3C.2A/2D.3

3.如图，下列判断正确的是（）.

Ar.

\［北

45。1c

力酶匚三工

BD

A.5看3的仰角是HO48'B.A看3的俯角是45°

C.C看B的俯角11。48'D.B在。的南偏西78°52'

4.如图，在平面直角坐标系中，已知点4（0,1）,42在无轴的正半轴上，且N。41A=60。，过点

4作44,44交y轴于点4；过点小作AA,，4A交无轴于点4；过点4作交y

轴于点4；过点4作AA,±A4A交尤轴于点4；…按此规律进行下去，则点A2019的坐标是（）

2018

A.(O,-(V3))B.(―(百)2。19,0)

C.(O,(^)2018)D.((gyoi'O)

5.如图，在菱形ABC。中，28=45。，AE为边上的高，将A4BE沿AE所在直线翻折,

得到AAB'E，若C'B=4i-l，则菱形的边长为()

A.—B.2C.1D.J2

2

6.如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度A。，嘉琪通过

操控装置测得无人机俯视桥头3,C的俯角分别为/£钻=60。和NE4c=30°,且。，B,C

在同一水平线上，已知桥3c=30米，则无人机的飞行高度">=()

A.15米B.15山米C.(156-15)米D.(15如+15)米

7.如图，矩形ABCD中，N54c=60。.以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB、AC于

点、M、N,再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作弧交于点尸，作射线AP交

2

BC于点、E，若BE=1，则矩形ABC。的面积等于（）

C.3+6D.373

8.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60。方向直线延伸，测绘员在A处测得要安

装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员由A处沿主输气管道步行1000米到达点C处,

测得M小区位于点C的北偏西75。方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点N,使点N到该

小区铺设的管道最短，此时铺设的管道的最短距离约是（）.

（参考数据：V2®1.414,百B1.732）

C.634米D.700米

9.如图，竖直放置的杆A3,在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的。处，而此时1米的杆

影长恰好为1米,现量得3c为10米，CD为8米，斜CD与地面成30。角，则杆的高度43为（）

米.

D

A.6+4A/3B.10+4囱C.8D.6

10.如图，学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆A6的高度，他们在C点测得旗杆顶部A的

仰角为35。，再沿着坡度为3：4的楼梯向下走了3.5米到达。处，再继续向旗杆方向走了15米到

达E处，在E处测得旗杆顶部A的仰角为65。，己知旗杆A3所在平台BE的高度为3.5米，则旗

杆的高度为（）（结果精确到0.1,参考数据：tan35°a0.7,tan65°»2.1）.

A.19.8米B.19.7米C.18.3米D.16.2米

11.如图，在A处测得点尸在北偏东60°方向上，在3处测得点P在北偏东30°方向上，若AB=2

米，则点P到直线A5距离PC为().

A.3米B.G米C.2米D.1米

二、解答题

12.如图1,在△ABC中，AB=A桓,ZB=45°,ZC=60°.

(1)求边上的高线长；

(2)如图2,若点£为线段A8的中点，点尸在边AC上，连接EF,沿EF将4AEF折叠得到4PEF.连

接AP,当PFLAC时，求PF的长.

13.综合实践

数学课上，各小组进行了特殊四边形的探究活动，如图所示，在AABC中，分别以AB,AC,BC

为边在5c的同侧作等边三角形MD,等边三角形ACE,等边三角形6b.

F

\E

BC

(1)奋进小组发现：四边形ZM跖是平行四边形，请你完成证明；

(2)当四边形ZM砂是矩形时，求Nfi4c的度数；

(3)当四边形ZME尸是菱形时，若NZME=120。，请直接写出与。咒之间的数量关系.

14.某“综合与实践”小组开展了测量本校对面山上一座古塔高度的实活动，他们制订了方案，并利

用课余时间完成了实地测量.他们在该山脚的一块平地上，选择两个不同测点，分别测量山顶和塔

顶的俯角，以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量俯角的度数以及两个测点

之间的距离时，都分别测量了三次并取它们的平均值为测量结果，测量数据如下表(不完整).

课题测量山上塔的高度

测量工具测量角度的仪器，皮尺等

说明：线段CD表示山高，CB表示塔的高，测量

角度的仪器的高度=座；=15〃,端点B,C,

测量示意图

国D,A,E在同一竖直平面内，点D,C,B共线，

6<E,

点D,A,E共线.

测量项目第一次第二次第三次平均值

NS4D的度数63.6°63.3°63.3°63.4°

NCED的度数29.9°29.8°30.3°30°

测量数据

NBED的度数44.9°45.3°44.8°—

A,E之间的距

50.1m49.8m50.1m—

离

任务一：三次测量的度数平均值是；A,E之间的距离的平均值是__________m.

任务二，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出塔的高度.

(结果精确至【J0.1m.参考数据：sin63.4。“0.89,cos63.4。“0.45,tan63.4。a2.00,右。1.73，

V2«1.41)

15.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30。，看这栋高楼底部的俯角为60。,

热气球与高楼的水平距离为66m,这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m,参考数据：百。1.73）

dS0

ffslOB

ss0

i58-

-1

s一_

w

能

腿

16.如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由ON位置

运动到与底面CD垂直的OM位置时的示意图，已知AC=0.66米，BD=0.26米，a=30°（参

考数据：73=1.732,72=1.414)

（1）求AB的长

（2）若ON=0.6米，求M、N两点的距离（精确0.01）

17.已知NA5C=90。，AB=2,BC=3,AD//BC,尸为线段上的动点，点。在射线A3

(1)当AD=2,且点。与点B重合时(如图2所示)，求线段PC的长;

3

(2)在图1中，联结AP，当AO=—,且点。在线段A5上时，设点5、。之间的距离为x,

2

S

二，其中表示的面积，S"表示^PBC的面积，求y关于1的函数关系式，

3△PBC

并写出函数定义域；

(3)当且点。在线段A5的延长线上时(如图3所示)，求NQPC的大小.

18.在AABC中，AB=AC,点D、E分别是BGAC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向

旋转一定的角度，连接3nAE.

图①图②

(1)如图①，当NBAC=60。时，填空:

②直线AE所夹锐角为；

类比探究

AE

(2)如图②，当NB4C=90°时，试判断——的值及直线3aAE所夹锐角的度数，并说明理由；

BD

拓展应用

(3)在(2)的条件下，若DE=也,将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线AC

上时，请直接写出AE?的值.

19.二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪

念性建筑物.学完三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七

纪念塔的高度.如图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰角为40。，向塔方向前

进38米在E处测得塔顶端A的仰角为60。，求二七纪念塔AB的高度(精确到1米，参考数据

5Z/7400®0.64,c<?540°h0.77ja“40°®0.84,6»1.73).

A

20.综合与探究：如图，已知抛物线y=2/+4x-6与x轴交于A，3两点，点A在点3的左侧,

与y轴交于点c,抛物线的对称轴/与％轴相交于点D.

(1)求点A，B,C的坐标；

(2)若点E为坐标平面内一点，且AE=BE=CE,求点E的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点P,使tanNABP=《tanNABE?若存在，求出满足条件的所有点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

21.已知矩形ABC。，AD=36，CD=3,半径为1.5的。8分别与A3，BC交于点E，小

甲虫P从点E以每秒1个单位长度的速度绕着圆周顺时针爬行，再次回到点E时停止，设爬行时

间为/秒.

(1)ZDBA=0；当/=时，小虫距离点。最远.

(2)小明说：“当=时，AP与08相切.”你同意的他的观点吗？若同意，请求出此时，

2

的值.

(3)连接AC,AP,CP,直接写出△ACP面积的最大值和最小值.

22.如图，小明的家在某住宅楼A3的最顶层，他家对面有一建筑物CD,他很想知道建筑物的高

度，他首先量出A到地面的距离(AB)为16加，又测得从A处看建筑物底部C的俯角戊为30。，看

建筑物顶部。的仰角厂为53°且A3，CD都与地面垂直，点A，B,C,。在同一平面内.

(1)求与CD之间的距离(结果保留根号)；

(2)求建筑物CD的高度(结果精确到1相).

参考数据：sin53°«0.8,cos53°«0.6,tan53°«1.3,73®1.7.

23.如图1,在平行四边形ABC。中，AB=6,BC=1Q,NABC=60°,点/在5c边上,

且6,点尸在CD边上，由点C向点。运动，以为边在平行四边形A6CD内部作等边

△MPQ,连接AP，AM^BQ,设CP=X.

上

M

LBMC,WC

图1备用图备用图

(1)判断AP与3Q的数量关系：AP______BQ.

(2)若x=4,①求/到3。的距离；

②求AMP。的面积；

(3)求出AMPQ的面积与x的关系.

24.如图1,已知等腰MAABC中，E为边AC上一点,过E点作EFLAB于F点，以EF为边作

正方形EFAG,且AC=3,EF=2

—

B

图1图3

(1)如图1,连接CF,求线段CF的长；

(2)将等腰MAABC绕A点旋转至如图2的位置，连接BE,M点为BE的中点，连接MC、MF,

求MC与MF的关系；

(3)将AABC绕A点旋转一周，请直接写出点M在这个过程中的运动路径长为一.

25.在A48C中，ZC=«,。。是△ABC的内切圆，。尸分别与CA的延长线、CB的延长线以及

直线AB均相切，。。的半径为相，。尸的半径为

(1)当a=90°时，AC=6,8C=8时，m=,n=.

(2)当a取下列度数时，求AA8C的面积(用含有机、九的代数式表示，并直接写出答案).①如

图，a=90°；②如图，a=60。.

26.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,动点尸从点。出发沿DA向终点A运动，同时

动点。从点A出发沿对角线AC向终点C运动，过点P作交AC于点E，动点P、Q

的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P动到点A时，P、。两点同时停止运

动,设PE=y.

♦用图

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)探究：当X为何值时，四边形PQ3E为梯形？

(3)是否存在这样的点尸和点Q,使尸、。、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出

所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

27.如图，四边形ABCZ)中，AD//BC,ZBCD=90°,AD=6,BC=3,于E,AC

交DE于F.

（1）若NZMB=60。，求CD的值.

AF

（2）若CD=4,求——的值.

FC

ME

（3）若CO=6,过A点作A〃〃C。交CE的延长线于M,求——的值.

EC

28.如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机在点A处测得前方海面的点F处有疑似飞机残骸

的物体（该物体视为静止），此时的俯角为30。.为了便于观察，飞机继续向前飞行了800m到达B

点，此时测得点F的俯角为45。.请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A,B,C在同一

直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数.参考数据：73=1.7）

29.如图，根据道路管理规定，在某笔直的大道AB上行驶的车辆，限速60千米/时，已知测速站

点M距大道AB的距离MN为30米，现有一辆汽车从A向B方向匀速行驶，测得此车从A点行

驶到B点所用时间为6秒，ZAMN=60°,ZBMN=45°.

（1）计算AB的长度（结果保留整数）.

（2）通过计算判断此车是否超速.（温馨提示：73=1.732,后W.414）

3

30.如图，在平行四边形ABCD中，于C,AB=10,tanZB=-,经过点C作圆。和

4

AB边切于E点（E点可与点A、8重合），交BC边、AC边于尸、G.

(1)求BD的长；

(2)若点。在边5c上，求弧的长；

(3)若点E与点A重合，判断点。与圆。的位置关系；

(4)设圆。的半径为「，直接写出厂的取值范围.

31.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,以AC为直径作O。，点D在。。上，BD=BC,DEVAC

垂足为点E,DE与O。交于点M,连接BO,AM,

(1)证明：BD是OO的切线；

(2)若tan/AMD=/,AD=2A5，求O。的半径长.

32.已知等腰==顶角NA=a,。为腰A6上一个点.将线段。。绕点。逆

时针旋转a得到线段。E.

(1)如图1,若tz=60°，求证:

①AE=BD；

②AEUBC.

(2)当点。从3运动至A时，

①若0=60°，则点E运动的路程是

②若0=90°，如图2,则点E运动的路程是；_

③若。=120°，如图3,则点E运动的路程是.

33.如图所示，有一个绳索拉直的木马秋千，秋千绳索AB的长度为4米，将它往前推进2米(即

DE=2米)，求此时秋千的绳索与静止时所夹的角度及木马上升的高度.(精确到0.1米)

34.如图，A3是O。的直径，点C是O。上一点，41c的平分线AD交O。于点。，过点。

作DE±AC交AC的延长线于点E.

(1)求证：OE是O。的切线；

(2)如果44c=60。，AE=求AC长.

35.如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点A处测得小岛。在北偏东60。方向，之后轮船继

续向正东方向行驶1.5〃到达3处，这时小岛。在船的北偏东30。方向36海里处.

(1)求轮船从A处到3处的航速.

(2)如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛。的东南方向？

36.如图①半的直径为4，过点作CO,A3,且CO=4,延长OB到点。，使0。=3,以0C、

OD为邻边作矩形ODEC.

发现：若点P在半O。上，则PE的最大值是，PE的最小值是.

图①

思考：如图②，将半O。绕点3逆时针旋转90。得到半00',求半0。'与矩形ODEC重叠部分图

形的面积；

图②

探究：若将矩形ODEC沿着过点。的直线翻折，使得边CE所在直线翻折后的对应直线与半O。相

切，设切点为。，求点。到矩形ODEC的边。E的距离.

图③

37.如图，AE//BF,AC平分44石，且交8歹于点C,BD平分NABF，且交AE于点。,

连接CD.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若NADB=30°,BD=6,求AD的长.

38.小明要测量公园里被湖水隔开的两个凉亭A和3之间的距离，他在A处测得凉亭3在A的北

偏东75。方向，他从A处沿南偏东60。走了100米到达。处，测得凉亭3在C的北偏东45。方向.

C

(1)求NA3C的度数；

(2)求两个凉亭A,B之间的距离.(结果精确到1米)

（参考数据：V2«1.414,73»1.732）木造2.449）

39.如图，早上8：00,一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏

西15。方向上，到上午10：00,轮船在B处测得小岛P在北偏西30。方向上，在小岛P周围18海

里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险?

40.已知：如图1,中，NACB=90°,CA=CB,等边ACDE的边CE在CB上，点。

在AB上.

(1)求证：ZACD=2ZBDE

A

(2)如图2,将AAOC沿着CD翻折，得到ACD7L连接所，求证：AD=EF

(3)如图3,在(2)的条件下，过点。作。G,CD交CB延长线于点G,若BE=m,

0G=4+2相.求AFDE的面积.

_3

41.如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=办2-QX+C与X轴交于点A、B,与y轴交于点C,直

线丫=工犬+2经过A、C两点.

-2

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点。为线段AC上的一个动点，过点。作。E〃y轴，交抛物线于点E,过E作EFLy轴，

交直线AC于点F,以DE、EF为边作矩形DEFG,矩形DEFG的周长能为10吗？如果能，请求

出点E的横坐标；如果不能，请说明理由；

(3)点尸是抛物线上的一个动点，当NPCAu/BC。时，请直接写出点尸的坐标.

42.在一次课外活动中，小明和小华测量小山AF的高度，如图，已知山底有一斜坡CE,通过测

量，斜坡CE的坡角为30。，小明沿斜坡坡脚E处行走至斜坡的中点。处，在。处测得山顶A的仰

角为53。，斜坡CE的长度为60m，坡顶C与小山的距离BC=100加，求小山A尸的高度.(结果精

t

确至!]0.1租,参考数据：cos53M).6,sin53°«0.8,tan53°~1.33,邪1HL73)

43.图①是一辆吊车的实物图，图②是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地

面BD的高度AH为3.6m.当起重臂AC长度为12m，张角NHAC为H8。时，求操作平台。离

地面的高度.（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin28°»0.47,cos28-«0.88,tan28°®0.53）

图1

44.五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之

旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征.某校九年级综合实践小组开展了测量

学校五星红旗旗杆A5高度的活动.如图，他们在地面。处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放

置一个平面镜E，使得3,E，。在同一水平线上.该小组在标杆的尸处通过平面镜E恰好观测

到旗杆顶点A（此时NAEB=NEED）,在尸处分别测得旗杆顶点A的仰角为40。、平面镜E的

俯角为45。，ED=L6米，问旗杆A5的高度约为多少米？（结果保留整数）

（参考数据：tan40°y0.8,tan50°«1.2,tan85°〜11）

45.第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛

事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会.其中，花炮、押加、民族

式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行.如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一,

是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚.小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶

A的仰角为53。，小强站在对面的教学楼三楼上的。处测得钟楼顶A的仰角为30。，此时，两人的

水平距离EC为38加.已知教学楼三楼所在的高度为10m,根据测得的数据，计算钟楼的高度.(结

434厂

果保留整数.参考数据：sin53%],cos53°~—,tan53°=y,73-1.73)

神□

□

秘万□

□

□

46.如图，河对岸有铁塔AB,在C处测得塔顶A的仰角为30。，向塔前进14米到达D,在D处

测得A的仰角为45°,求铁塔AB的高.

问题：如图1,等边三角形ABC的边长为6,点。是NABC和44CB的角平分线交点，

ZFOG=120°，绕点。任意旋转ZFOG,分别交AABC的两边于D,E两点.求四边形ODBE

面积.

讨论：

①小明：在/尸OG旋转过程中，当经过点3时，OG一定经过点C.

②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“ASA”证出△ODfiZAOEC.

③小飞：因为AODB会AOEC,所以只要算出AOBC的面积就得出了四边形ODBE的面积.

老师：同学们的思路很清晰，也很正确.在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解

决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形O0BE的面积：.

(2)应用方法：

①特例：如图2,NR9G的顶点。在等边三角形ABC的边上，05=2,。。=4,边

OGLAC于点E,ObLAB于点。，求的面积.

②探究：如图3,已知NR7G=60°，顶点。在等边三角形ABC的边上，OB=2,OC=4,

记△5OD的面积为x,ACOE的面积为「求期的值.

③应用：如图4,已知NR9G=60°，顶点。在等边三角形ABC的边CB的延长线上，05=2,

BC=6,记△5OD的面积为。，ACOE的面积为6,请直接写出。与6的关系式.

48.如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m,CD=5.4m,ZDCF=30°,

请你计算车位所占的宽度EF约为多少米？（小1.73,结果保留两位有效数字.）

三、填空题

49.如图，已知四边形ABCD是菱形，按以下步骤作图：①以顶点B为圆心，BD长为半径作弧,

交AD于点E；②分别以D,E为圆心，以大于工DE的长为半径作弧，两弧交于点F,射线BF

2

交AD于点G,连接CG,若/BCG=30。，AG=3,则菱形ABCD的面积等于.

50.如图，在边长为1的菱形ABC。中，入4g=60。,将4A3。沿射线BD的方向平移得到^A'B'D',

分别连接AC,A'D,B'C,则AC+9C的最小值为.

51.如图，梯形ABC。是拦水坝的横断面图，（图中，=1:若是指坡面的铅直高度£出与水平宽度

CE的比），ZB=60°.AB=6,AD=4,拦水坝的横断面ABCD的面积是（结果保留

三位有效数字，参考数据：退=1.732,72=1,414）

52.某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度

下降了50米，则该坡道的坡比是.

53.如图，AC是高为30米的某一建筑，在水塘的对面有一段以BD为坡面的斜坡，小明在A点

观察点。的俯角为30。，在A点观察点3的俯角为45。，若坡面BD的坡度为1:百，则BD的长

为.

54.如图，在△ABC中，/A=30°,/B=45°,AC=2j§",则SAABC

55.如图1,把一张四边形ABCD纸片中的△BDC沿直线BE翻折，C,D刚好重合，再把△ADE

沿直线AE翻折，如图2,点D落点F处，点F在线段BE上，AF交BD于M,AE交BD于G,

原四边形纸片中，ZBAD=90。，AB=AD=2710cm,CD=40cm，FG=cm,BM=

56.如图①，在AABC中，把A3绕点A顺时针旋转1（。°<1<180°）得到A3'，把AC绕点A

逆时针旋转P得到AC，连接BC，当a=180。时，我们称AAB'C是AABC的旋补三角形，

AAB'C'边3'C'上的中线AD叫做AABC的旋补中线.

如图②，当AABC为等边三角形时，AA3'C'是AABC的旋补三角形，A。是旋补中线，与5C

的数量关系为：AD=BC；当5c=8时，则3'C'长为.

57.如图，在△ABC中，NAC3=90。，。是3C边上的一点，CD=2,以CD为直径的O。与

AB相切于点E.若£）£的长为:万，则阴影部分的面积为.（结果保留〃）

58.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=l:回，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那

么物体所经过的路程为米.

59.如图.等边△ABC的边长为5,点D、E、F分别在三边AC、AB、BC上，且AE=2,DF±DE,

ZDEF=60°,则DF的长为.

60.定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.已知在“等对角

四边形ABCD”中，/DAB=60°,NABC=90°,AB=4,CD=2,则边BC的长是.

【答案与解析】

1.B

【解析】

作AD_LBC于D,由俯仰角得出NADB、/CAD的值，则由AD的长及俯仰角的正切值得出BD、

CD的长，BC的长即可求出.

过A作ADJ_BC,垂足为D在RtAABD中，VZBAD=30°,AD=30m,

.•.BD=AD«tan30°=30x—=1073(m),在RtAACD中，VZCAD=60°,AD=30m,

3

/.CD=AD*tan60°=30x.x/3=3073(m),.•.BC=BD+CD=1073+30^3=40^(m),

即这栋高楼高度是40Gm.

故选择：B.

本题考查俯角与仰角的定义，要求学生能借助俯角与仰角构造直角三角形并会解直角三角形.

2.C

【解析】

先过B点作BELOA于E,再根据角平分线的性质得到BE=BD=2,最后再解直角△ABE,求出

AB即可.

解：如图，过B点作BELOA于E,

：OF是/AOC的平分线，点B在OP上，BD±OC,

；.BE=BD=2

在RtAABE中，ZAEB=90°,ZA=45°

；.AB=^BE=20.

故答案为C.

本题考查了角平分线的性质和解直角三角形，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答

本题的关键.

3.C

【解析】

根据仰角、俯角以及方位角的定义判断即可.

A、判断不正确；

B、判断不正确；

C、判断正确；

D、90°—11。48'=78°12'判断不正确；

故选：C.

本题考查俯角、仰角、方位角的定义，正确的识别图形是解题的关键.

4.A

【解析】

通过解直角三角形可得出点4的坐标，同理可得出点4，4，A，4，4，…的坐标，根据

坐标的变化可得出变化规律“点4〃+3的坐标为（0，32用）（〃为正整数）”，再结合2019=504x4+1即

可得出点4019的坐标，此题得解.

解：•••ZO4A=60°,。4=1,

OA,=A/3

，点4的坐标为（G,0）,

同理，A3（0,-3,）,4（-3如，0）,A（0,9）,4（9A/3-0）,4（0,-27）,…，

点为”+3的坐标为（0,-32X）（“为正整数）.

Q2019=504x4+3,

•••点42。19的坐标为（°，丁期）即（0,-（退）刈8）.

故选：A.

本题考查了特殊角的三角形函数值以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“点

&“+3的坐标为（0，32向）（〃为正整数）”是解题的关键.

5.C

【解析】

设菱形的边长为a,用a表示BE与AB,再在RsABE中由三角函数关系求得a便可.

解：：四边形ABCD是菱形，

；.AB=BC=CD=AD,

设AB=BC=CD=AD=a,

BB-a+^/2

由对折知，BE=BT>"+0T,AE±BB\

2

VZB=45°,

BE=AB*sin45°=

2

.ci+5/2—1sf2

•.--------------=------a,

22

解得,a=l,

故选：C.

本题考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质，解直角三角形的应用，折叠的性质，关键是列

出关于a的方程，体现了方程思想.

6.B

【解析】

由NE46=60°、NE4c=30°可得出NC4D=60°、ZBAD=30°,进而可得出CD=6人。、

BD=—AD,再结合BC=30即可求出AD的长度.

3

解：-.■ZEAB=60°,ZEAC=30°,

：.ZCAD=60°,ZBAD=3Q°,

\CD=ADgan?CAD-J3AD,BD=ADg.an?BAD与人£）,

\BC=CD-BD=—AD=30,

3

.-.AD=1573（米）.

答：无人机的飞行高度AO为15百米.

故选：B.

本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义解题的关键.

7.D

【解析】

先根据角平分线的尺规作图可得AP是/班C的角平分线，从而可得4a=30。，再根据矩形的

性质可得4=90°,然后解直角三角形可得AB、BC长，最后根据矩形的面积公式即可得.

由题意得：AP是44c的角平分线，

••,za4c=60。,

:.ZBAE=-ZBAC=30°,

2

•.•四边形ABCD是矩形，

二/3=90°,

RF1L

在Rt/\ABE中，AB=-------------=---------=V3,

tanNBAEtan30°

在HMABC中，BC=ABtanN3AC=gtan60°=3，

则矩形ABCD的面积为ABBC=35

故选：D.

本题考查了角平分线的尺规作图、矩形的性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握角平分线的尺规

作图是解题关键.

8.A

【解析】

如图（见解析），先根据垂线段最短可得MN为最短距离，设的V=x米，再解直角三角形分别求

出AN、CN的长，然后根据AN+QV=AC=1000建立方程求解即可得.

如图，过点M作“WLAC于点N,

由垂线段最短得：MN为所求的最短距离，

由题意得：ZM47V=60°—30。=30。，ZBCM=75。,ZDCA=6Q°,AC=1000米，

；•ZMCN=180°-75°-60°=45°,

设的V=x米，

MNr

在中，AN=----------=j3x（米），

tan30

MN

在RtCMN中,CN=-----------=x（米），

tan45°

•/AC=1000米，

AN+CN=AC=1000,即yfix+x—1000>

解得x=500（6-1）,

.,.2W=X=500（A/3-1）«366（米），

即铺设的管道的最短距离约是366米，

故选：A.

牛

M飞北

东

西一

本题考查了方位角、垂线段最短、解直角三角形等知识点，利用垂线段最短找出最短距离是解题关

键.

9.A

【解析】

如图：延长AB交水平线于点E,过C作DE的垂线，垂足为F,则CF=BE,BC=EF,根据题意可知

NCDE=30。结合CD=8运用三角函数可得CF=4,DF=46，即BE=CF=4,DE=EF+DF=10+4月；又由

1米的杆影长恰好为1米，则AE:DE=1:1,解得AE=10+4V3；最后由AB=AE-BE即可解答.

解：如图：延长AB交水平线于点E,过C作DE的垂线，垂足为F,则CF=BE,BC=EF

VZCDE=30°,CD=8

CF=CD-sin30°=8x-=4,DF=CDcos30°=8x—=473

22

；.DE=EF+DF=10+4A/3

又..T米的杆影长恰好为1米

.\AE:DE=1:1,AE=DE=10+4-73

AB=AE-BE=10+4-73-4=6+4-73.

故答案为A.

本题考查了锐角三角函数解直角三角形，根据题意正确构造直角三角形并灵活运用三角函数解三角

形是解答本题的关键.

10.C

【解析】

作CG,A尸于点G,作CH上FD的延长线于点H,根据勾股定理和坡度比求得CH和DH的长，

然后根据两个正切值分别表示处AF,并求得AF的长，最终根据AF-BF即可求解AB的长.

作CG±AF于点G,作CH_LED的延长线于点H,

设CH=3x,则DH=4x,在RtCHD中

（3x）2+（4x）2=352

解得x=0.7

.•.CH=2.1,DH=2.8

I艮据题意CG=FH=DH+DE+EF=2.8+15+EF=17.8+EF,FG=CH=2.1

A（Z

VtanZACG=tan35°=—

CG

.•.AG=0.7CG

/.AF=AG+GF=0.7CG+2.1=0.7（17.8+EF）+2.1=14.56+0.7EF

AT7

又tanZAEF=tan65°=-----

EF

.\AF=2,1EF

・•・14.56+0.7跖=2.IE/

解得EF=10.4

・•・AF=2.1EF=2.1x10.4。21.8

AB=AF-BF=21.8-3.5=18.3（米）

A

故选C.

本题考查了勾股定理，锐角三角函数，关键是作出辅助线，用两种方法表示AF并求解AF.

11.B

【解析】

设点尸到直线A3距离PC为x米，根据正切的定义用x表示出AC、BC,根据题意列出方程,

解方程即可.

解：设点P到直线A5距离PC为x米，

PCr-

在Rt^APC中，AC=----------=j3x,

tanAPAC

在Rt/XBPC中，BC=———=—x,

tanZPBC3

由题意得，—且x=2,

3

解得，x=g(米)，

故选：B.

本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键.

12.(1)4；(2)273.

【解析】

(1)如图1中，过点A作AOL8C于。，解直角三角形求出即可.

AFAE

(2)求出AC的长度，证明△AE/SAACB,推出一=一,由此求出的长度即可解决问题.

ABAC

解：(1)如图1中，过点A作于D

图1