人教版九年级数学上册教案

汶川水磨中学数学李冰

人教版九年数学上册教案(全册)

第二H^一章二次根式

教材内容

i.本元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最二次根式.

2.本元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年下册第卜七章《反比例正函数》第卜八章《勾股定理及其

用》等内容的基之上学的，它也是今后学其他数学知的基.

教学目

1.知与技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解及(a>0)是一个非数，(、「)2=a(a>0),而=a(a>0).

(3)掌握夜•抵=必(a>0,b>0),4ab-4a-4b；

4a_[a[a_4a

(a>0,b>0),(a>0.b>0).

Vb4b

(4)了解最二次根式的概念并灵活运用它二次根式行加减.

2.程与方法

(1)先提出，学生探、分析，生共同，得出概念.再概念的内涵行分

析，得出几个重要，并运用些重要行二次根式的算和化.

(2)用具体数据探究律，用不完全法得出二次根式的乘(除)法定，并运用

定行算.

(3)利用逆向思，得出二次根式的乘(除)法定的逆向等式并运用它行化.

(4)通分析前面的算和化果，抓住它的共同特点，出最二次根式的概念.

利用最二次根式的概念，来相同的二次根式行合并，达到二次根式行算和化的目

的.

3.情感、度与价

通本元的学培学生：利用定准确算和化的的科学精神，探索二次根式的

重要，二次根式的乘除定，展学生察'分析'的能力.

教学重点

1.二次根式八(a>0)的内涵.4a(a>0)是一个非数；(y[a)2=a(a>0)

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金=a(a>0)及其运用.

2.二次根式乘除法的定及其运用.

3.最二次根式的概念.

4.二次根式的加诫运算.

教学点

1.&(a>0)是一个非数的理解；等式(、5)2=a(a>0)及必=a(a>0)

的理解及用.

2.二次根式的乘法、除法的条件限制.

3.利用最二次根式的概念把一个二次根式化成最二次根式.

教学

1.潜移默化地培学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破点.

2.培学生利用二次根式的定和重要行准确算的能力，培学生一不苟的科

学精神.

元划分

本元教学需11,具体分配如下：

21.1二次根式3

21.2二次根式的乘法3

21.3二次根式的加减3

教学活''小2

21.1二次根式

第一

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目

理解二次根式的概念，并利用JZ(a>0)的意解答具体目.

提出，根据出概念，用概念解决.

教学重点

1.重点：形如&(a>0)的式子叫做二次根式的概念；

2.点与：利用(a>0)"解决具体.

教学程

-2-

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引入

（学生活）同学伽完成下列三：

3

1：已知反比例函数丫=一，那它的象在第一象限横'坐相等的点的坐是

x

2:如，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那AB的是

3:甲射6次，各次中的数如下：87997&那甲次射的方差是S2,那

s=.

老点：

1：横、、坐相等，即x=y,所以x?=3.因点在第一象限，所以x=JJ,所以所求

点的坐（、回，、回）.

2:由勾股定理得AB=JT5

3:由方差的概念得5=

二'探索新知

号，都是一些正数的算平方根.像一些正数的算平方根的式

很明V3

子，我就把它称二次根式.因此，一般地.我把形如&（a>0）的式子叫做二次根

式，称二次根号.

（学生活）一：

1.-1有算平方根？

2.0的算平方根是多少？

-3-

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3.当a<0,。有意?

老点:（略）

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是...次根式：正电二小（x>0）

X

VO'</2'-----'Jx+y（x>0,y>0）.

x+y

分析：二次根式足两个条件：第一，有二次根号“一”；第二，被方数是正数

或0.

解:二次根式有：V2'G（x>0）Vo:亚'y[^+y（x>0,y>0）；不是二次根

式的有；率>'</2•

xx+y

例2.当x是多少，J3x-1在数范内有意？

分析：由二次根式的定可知，被方数一定要大于或等于0,所以3x-G0,

J3x-1才能有意.

解：由3x-l>0,得：xN—

3

当史2,J3x-1在数范内有意.

3

三'巩固

教材P1'2'3.

四'用拓展

例3.当x是多少，j2x+3+」一在数范内有意？

x+1

分析：要使岳工5+」一在数范内有意，必同足j2x+3中的*0和」一

X+1x+l

中的x+l#0.

2x+30

解：依意，得，八

x+10

-4-

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3

由①得：x>-—

2

由②得:xQl

3,_____1

当x壬一且,j2x+3+——在数范内有意.

2x+1

x

例4（1）已知y=j2—x+jx—2+5,求一的.（答案:2）

y

,____2

（2）若，t^71+际1=0,求aZ^+b?。04的•（答案:《）

五'小（学生活，老点）

本要掌握：

1.形如&（a>0）的式子叫做二次根式，“、厂”称二次根号.

2.要使二次根式在数范内有意，必足被方数是非数.

六'布置作

1.教材Ps巩固1'合用5.

2.用作.

3.后作：《同步》

第一作

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.-V?B.V?C.qD.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）

A.4B.V16C.y/sD.—

x

3.已知一个正方形的面是5,那它的是（）

A.5B.V5C.-D.以上皆不

二、填空

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面a的正方形的.

3.数平方根.

三'合提高

1.某工厂要制作一批体In?的品包装盒，其高0.2m,按需要，底面做成正

-5-

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方形，底面是多少？

2.当x是多少，叵三3+x2在数范内有意？

X

3.若万^+^^有意，尸=.

4使式子J_(X—5)2有意的未知数x有()个.

A.0B.1C.2D.无数

5.已知a'b数，且已a-5+2J10-2a=b+4,求a'b的.

第一作答案：

—,1.A2.D3.B

二八（a>0）2.83.没有

三1.底面x,0.2x2=l,解答：x=J5・

3

2x+30x——

2.依意得：2

x0

x0

・•.当x>-2且X/),「2*+3+x?在数范内没有意.

2x

4.B

5.a=5,b=-4

21.1二次根式(2)

第二

教学内容

1.无(a>0)是一个非数；

-6-

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2.(yfa)2=a(a>0).

教学目

理解G(a>0)是一个非数和(、/£)Ja(a>0),并利用它行算和化.

通二次根式的概念，用推理的方法推出J)(a>0)是一个非数，用具体数据

合算平方根的意出(J£)2=a(a>0);最后运用解.

教学重点

1.重点:4a(a>0)是一个非数；(。)2=a(a>0)及其运用.

2.点':用分思想的方法出人(a>0)是一个非数；用探究的方法出(

y/a)J(a>0).

教学程

-'引入

(学生活)口答

1.什叫二次根式？

2.当aX),叫什？当a<0,、石有意？

老点(略).

二、探究新知

-:(学生分，提解答)

4a(a>0)是一个什数呢？

老点：根据学生和上面的，我可以得出

>Ja(aNO)是一个非数.

做一做：根据算平方根的意境空：

(")三；(V2)2=_______；(V9)J_______；(百)2=；

-7-

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老点："是4的算平方根，根据算平方根的意，、〃是一个平方等于4的非

数，因此有（4）2=4.

同理可得：（血）今，（79）2=9.（石）t,（^1）2=1,（&q

,（Vo）2=0,所以

(4a)2=a(a>0)

例1算

1.(422.(3⑹23.(J|)24.(争2

分析：我可以直接利用（JJ）2=a（a>0）的解.

解：(.-)2=-(375)2=32-(V5)2=32-5=45,

V22

（口二，（也）.近=二

V662224

三、巩固

算下列各式的：

（V18）2（424）2（8）2（4^2）2

(3石/-(5百了

四用拓展

例2算

1.(VTH)2(x>0)2.(V7)23.(7a2+2a+l)2

4(A/4X2-12X+9)2

分析：⑴因x>0,所以x+l>0;(2)a2>0;(3)a2+2a+l=(a+l)NO;

-8-

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(4)4x2-12x+9=(2x)2-2-2x-3+32=(2x-3)2>0.

所以上面的4都可以运用(&)2=a(a>0)的重要解.

解：⑴因x>0,所以x+l>0

(Jx+l)-x+1

(2)va^O.(V?)2=a2

(3),.,a2+2a+l=(a+1)2

222=2

又；(a+1)>O,•'-a+2a+l>0,yja+2(7+1a+2a+l

(4)---4X2-12X+9=(2X)2-2-2X-3+32=(2X-3)2

又；(2x-3)2>0

.­.4x2-12x+9>0,(74X2-12X+9)2=4x2-12x+9

例3在数范内分解卜列因式：

(1)x2-3(2)x4-4(3)2x2-3

分析：(略)

五'小

本掌握：

1.8(a*O)是一个非数；

2.(4a)'=a(a*0);反之:a=(&)2(a^O).

六'布置作

1.教材Ps巩固2.(1)'(2)P,7.

2.用作.

后作

:C同步

3.

第

二

作

一

、

1.下列各式中后V3a\jb2V7+F+207^144-二次根式的个

数是().

A.4B.3C.2D.1

2.数a没有算平方根，a的取范是（）.

A.a>0B.a>0C.a<0D.a=0

二、填空

-9-

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1-(--\/3)2=-

2.已知1x+1有意，那是一个数.

三'合提高

1.算

⑴(囱)2⑵-(G)2⑶(1V6)2⑷(-3^1)2

(5)(2用34(2百-3①

2.把下列非数写成一个数的平方的形式：

(1)5(2)3.4⑶-(4)x(x>0)

6

3.已知y/x-y+l+Vx-3=0，求x，的.

4.在数范内分解下列因式：

(1)x2-2(2)x4-93x2-5

第二作答案：

—'1.B2.C

二,1.32.非数

11Q

二1.(1)(V9)2=9(2)-()2=-3(3)(—)2=2—

(4)(-3)2=9x—=6(5)-6

V33

2.(1)5=(V5)2(2)3.4=(V34)2

⑶-=(J-)2(4)x=(«)2(X知)

6\6

x-y+\=0x=3

3.xy=34=81

x-3=0y=4

4.(1)x2-2=(x+V2)(x-72)

10-

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(2)x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+G)(x-V3)

⑶略

21.1二次根式(3)

第三

教学内容

后=a(a>0)

教学目

理解J/=a(a>0)并利用它行算和化•

通具体数据的解答，探究J/=a(a>0),并利用个解决具体.

教学重点

1.重点：—a(a>0).

2.点、:探究.

3.:清宅0,0=a才成立.

教学程

一、引入

老口述并板收上两的重要内容；

1.形如&(a>0)的式子叫做二次根式；

2.无(a>0)是一个非数；

3.(Va)2=a(a>0).

11

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那，我猜想当空0,痂=2是否也成立呢？下面我就来探究个.

二、探究新知

(学生活)填空：

VF=_______；Vo.oi2=________

(老点)：根据算平方根的意，我可以得到：

VF=2；V6^oF=O.Ol；：；再=0；

因止匕，一般地：(a>0)

例1化

⑴&(2)J(-4)2(3)V25(4)J(一3)2

分析：因⑴9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=5匕

(4)(-3)2=3?,所以都可运用J^=a(a>0)去化.

解：⑴M=厉=3(2)J(-4)2="=4

(3)V25=VF=5(4)/(-3)2=疔=3

三'JI固

教材P72.

四'用拓展

例2埴空：当a>0,。=_____；当a<0,,并根据一性回答

卜列.

⑴若行=a.a可以是什数？

⑵若行=-a,a可以是什数？

12-

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⑶行>a,a可以是什数？

分析:,:后=a(a>0),要填第一个空格可以根据个，第二空格就不行，

形，使”()如中的数是正数，因，当把0,7^=7(-«)2•那也*0.

(1)根据求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)'

(2)可知行=卜|,而|a|要大于a,只有什候才能保呢？a<0.

解：⑴因J/=a，所以aN);

(2)因所以aMO;

(3)因当a*0选;a,要使〃即使a>a所以a不存在；当a<(),而

=-a,要使即使-a>a,a<()上，a<()

例3当x>2,化"(x-2)2-7(1-2x)2.

分析:(略)

五'小

本掌握：J/=a(a>0)及其运用，同理解当a<0,J/=—a的用拓展.

六'布置作

1.教材A21.13'4'6'8.

2.作作.

3.后作：《同步》

第三作

2.aNO,后'J(_02'一后,比它的果，下面四个中正确的是().

13-

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A.=-^/(―tz)2B.>&-a)-

C\[a^<J-?<-\[a^D.-=J(-a)-

二'填空

1--V0.0004=______.

2.若J砺是一个正整数，正整数m的最小是.

三'合提高

1.先化再求：当a=9,求a+Ji-2q+a2的,甲乙两人的解答如下：

甲的解答:原式=a+J(l-q)2=a+(1-a)=1;

乙的解答：原式=a+J(1—a)?=a+(a-1)=2a-l=17.

两解答中，的解答是的，的原因是.

2.若|1995-a|+y/a-2000=a1求a-19952的.

(提示：先由a-2000K),判断1995-a的是正数是数，去掉)

3.若-3MXM2,化|x-2|+&+3了+&一处+25°

答案：

—,1.C2.A

二,1.-0.022.5

三'1.甲甲没有先判定1-a是正数是数

2.由已知得a-2000*0,a*2000

所以a-1995+人一2000=a,Ja-2000=1995,a-2000=19952,

所以a-19952=2000.

3.10-x

14-

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21.2二次根式的乘除

第一

教学内容

4a'y!b—4ab(a>0,b>0),反之&(a>0,b>0)及其运用一

教学目

理解(a>0,b>0),y[ah-y[a'yfh(aK),b>0),并利用它行

算和化

由具体数据，律，出八•韭=瓶(a>0,b>0)并运用它行算；利用逆

向思，得出而=6•扬(a刈，b>0)并运用它行解和化.

教学重点

重点：\[a'4b=y/ah(a>0,b>0),y[ab=y/a'\[b(a>0,b>0)及它的运用•

点：律，lii-Ja-y/h=>[ab(a>0,b>0).

:要清(a<0,b<0)=y/a§Jb•如J(-2)~(-3)=J-(-2)―-(-3)或

J(-2)(-3)=j23=6x也.

教学程

-'引入

(学生活)同学完成下列各.

1.填空

(1)yj~4XV9=,V4_9=；

(2)716><725=，V1625=.

⑶Vf00><V36=，V10036=.

参考上面的果，用“>'<或=”填空.

g朋_____Vr-9.V16XV25_____J1625,V100xV36

15-

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V10036

2.利用算器算埴空

(1)后0V6•⑵V2XV5V10.

⑶V5XV6V30.(4)V4XV5V20.

⑸EMV70•

老点（正学生中的）

二'探索新知

（学生活）3'4个同学上台律.

老点：（1）被方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把两个二次根式中的数相乘,

作等号另一二次根式中的被方数.

一般地,二次根式的乘法定

\[a*&=-(a>0,b>0)

反来:y[ab=4a-4b(a>0,b>0)

例L算

(3)后(4)Jg逐

⑴y/5X⑵Xyfg

分析:直接利用yfa,y/b=>[ab(a>0,b>0)算即可.

解：⑴V5XV7=V35

(3)V9XV27=V927=A/923=973

例2化

16-

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(1)，916(2)V1681⑶V81100

(4)J"?1(5)V54

分析：利用痴=0•妍(a>0,b>0)直接化即可.

解：⑴V9~f6=5/9xV16=3x4=12

(2)V1681=V16xV81=4x9=36

(3)V81100=V81xV100=9x10=90

=7XX=3XY

⑷^9x2y2V3V^7/

⑸V54=\/9~6=V3^xV6=35/6

三'J凡固

(1)算(学生，老点)

①J16x-\/8②35/6x2J10③d5a'J、ay

⑵化：而；A；V24；V54；&2a2b2

教材Pn全部

四用拓展

例3.判断下列各式是否正确，不正确的予以改正：

(1)J(-4)(-9)=石口

(2)星=4、居x岳=4居X后=4行8百

解：⑴不正确.

改正：J(-4)(-9)=J49=V4x®=2x3=6

(2)不正确.

17-

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改正：，4一x=VH2=V167=477

V25

五、小

本掌握：⑴4a'y[h=4ah=(a>0,b>0),4ah=y[a'4h(a>0,b>0)及

其运用.

六'布置作

1.本P|51,4,5,6.(1)(2).

2.用作.

3.后作：《同步》

第一作

1.若直角三角形两条直角的分和Jllcm,那此直角三角形斜是

().

A.3y/2cmB.3百cmC.9cmD.27cm

A.V-aB.y[aC.-V-aD.-y/a

3.等式47Tgy二1=必工成立的条件是（）

A.x之1B.x之-1C.-iMxMlD.x之1或xM-1

4.下列各等式成立的是（）.

A.4亚义2#=8JsB.5^X40=20后

C.4百X30=7后D.5百X4行=20遍

二'埴空

1.71014=_______.

18-

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2.自由落体的公式S=-1gt2（g重力加速度，它的10m/s2）,若物体下落的高度

720m.下落的是.

三'合提高

1.一个底面30cm/30cm方体玻璃容器中装水，将一部分水例入一个底面正

方形'高10cm桶中，当桶装水，容器中的水面下降了20cm,桶的底面是多少厘

米？

2.探究程：察下列各式及其程.

12}-22

\22-1+22-1停工53

通上述探究你能猜出

答案：

一、1.B2.C3.A4.D

19-

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二'I.13^/62.12s

三'1.:底面正方形桶的底面X,

X2x10=30x30x20,X2=30X30X2,

x=V3030xV2=30V2.

cr-a+a_a3-aa=]a(a2-1)a=/a

/_]=、/]+/丁、g+/丁俨+/口

21.2二次根式的乘除

第二

教学内容

[a[a

Va_(a>0,b>0),反来(a>0,b>0)及利用它行算和化.

VbyJb

教学目

理解因

…"吨专能。,b>0)及利用它行运算.

6

利用具体数据，通学生活，律，出除法定，并用逆向思写出逆向等式及

利用它行算和化.

教学重点

y[a[a4a

1.重点：理解(a>0,b>0),_=----(-a-->0,b>0)及利用它行算

而hy/h

-20-

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和化.

2.点：律，出二次根式的除法定.

教学程

-、引入

（学生活）同学完成下列各：

1.写出二次根式的乘法定及逆向等式.

2.填空

V36[36

V81\81'

3.利用算器算填空:

（1）*币

⑵⑶亲(4)

耳

且回.也尼.也尼.也忆。

'V4V4'V3V3'V5V5'aV8

每推荐一名学生上台述运算果.

（老点）

二、探索新知

才同学都都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的和回答，我可

-21

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以得到：

一般地,二次根式的除法定：

y[h=P\b(a>0,b>0),

反来，(a>0,b>0)

下面我利用个定来算和化一些目.

例1.算：⑴半(2)RJI(3)J1口(4)卑

后\2\8V4V16瓜

分析：上面4小利用(a>0,b>0)便可直接得出答案.

分析：直接利用(a>0,b>0)就可以达到化之目的.

-22-

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教材P141.

四'用拓展

例3.已知归W且x偶数，求(1+x)卜TX+4的.

Vx-6VT-6Vx2-l

[a_4a

分析：式子只有心0,b>0才能成立.

Vb4b

因此得到9-XN0且x-6>0,即6VxM9,又因x偶数，所以x=8.

9-x0x9

解：由意得即

x-6>0x>6

・•・6<x<9

.X偶数

x=8

仲—4)(x—l)

二原式=(1+x)

\(x+l)(x-l)

=(i+x)EH

Vx+l

=(1+x)~^^=J(l+x)(x-4)

J(x+1)

「•当x=8,原式的=y/4—9=6.

五、小

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本要掌握*=-(a*，b>0)和胆=.

(a>0,b>0)及其运用.

h\b4b

六'布置作

1.教材P”21.22'7'8'9.

2.用作.

3.后作：《同步》

第二作

1算代的果是（）.

22

A.B.C.V2D,也

77

2.下列运算程：

1V3_V32275275

丛一出百一3

2

数学上将把分母的根号去掉的程称作“分母有理化”，那，化7彳的果是（

A.2B.6C.1V6

D.在

二'填空

11Vio

1.分母有理化：（1）在.；⑶—『

VI22V5

2.已知x=3,y=4,z=5,那y[yz的最后果是.

三'合提高

1.有一房梁的截面是一个矩形，且矩形的与之比G:1,用直径3Jilcm

的一木做原料加工房梁，那加工后的房染的最大截面是多少？

2.算

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n>0)

(a>0)

答案:

1.A2.C

1.⑴且⑵0⑶芈=当正=4

662V52V52

V15

2.

3

三1.:矩形房梁的x(cm),百xcm,依意,

得：(/x)?+x2=(3而)2,

3

4x2=9x15,x=-V15(cm),

135

73x-x=V3x2=---V3(cm2).

4

2.(1)原式=-=,匹二口四

m2v2m'v2mm2V2m5n

n4n

m2mm

3(m+n)(m一n)a2a2

(2)原式二-2

2a2+"m-n

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21.2二次根式的乘除(3)

第三

教学内容

最二次根式的概念及利用最二次根式的概念行二次根式的化运算.

教学目

理解最二次根式的概念，并运用它把不是最二次根式的化成最：次根式.

通算或化的果来提出最二次根式的概念，并根据它的特点来最后果是否足

最二次根式的要求.

重点

1.重点：最二次根式的运用.

2.点：会判断它.次根式是否是最二次根式.

教学程

-'引入

(学生活)同学完成下列各(三位同学上台板)

1.算(1)(2)典，(3)粤

V5x/27

夕占出y[\53A/2瓜V82y[a

考点：—==----,—■=,■——■=-----

yj55J273yJ2aa

2.在我来看本章引言中的：如果两个塔的高分是hkm,h2km,那它的

播半径的比是__________.

它的比是

’2%

二'探索新知

察上面算1的最后果，可以些式子中的二次根式有如下两个特点：

1.被方数不含分母；

2.被方数中不含能得尽方的因数或因式.

我把足上述两个