2024-2025学年山东省部分学校高二下学期阶段性诊断测试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省部分学校高二下学期阶段性诊断测试数学试卷一、单选题：本大题共8小题，共40分。1.某运动物体的位移s(单位：米)关于时间t(单位：秒)的函数关系式为s=t3+t，则该物体在t=1秒时的瞬时速度为A.4米/秒 B.3米/秒 C.2米/秒 D.1米/秒2.现有甲部门的员工9人，乙部门的员工8人，丙部门的员工5人，从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为(

)A.36 B.360 C.22 D.2243.某校高三年级甲、乙两名学生平时测试的数学成绩X1~N(μ1,σ12),X2~N(μ2,σ22),其中μ1<μ2,σ1>σ2,在同一直角坐标系中,X1,X2A.P(X1<μ1)<P(X2<μ2) B.P(X1<x1)>P(X2<x1)

C.P(X1<x2)>P(X2<x2) D.4.若二项式(2x−1x)n的展开式中只有第6A.12 B.10 C.9 D.85.已知函数f(x)=ln2xx2，则f(x)A.(0,12e12) B.(−∞,6.(x+y−1)6的展开式中x3A.−60 B.60 C.−120 D.1207.函数f(x)=(x−2)ex−xA.1−e B.1 C.ln2 D.8.包括甲、乙、丙在内的6人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为(

)A.180 B.246 C.168 D.192二、多选题：本大题共3小题，共18分。9.过点(0,1)向曲线y=x3−3xA.4x−15y+15=0 B.3x+y−1=0

C.x+3y−3=0 D.15x−4y+4=010.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是(a+b)n的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第n行从左至右的第i个数为an,i，若4545被2024除所得的余数为m，则(

)A.m=45 B.m=44 C.am,3=990 11.某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝：乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮.哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是(

)A.若哪吒每次使用两件法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有213种

B.若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有C72C52C33A33种

C.三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.已知函数f(x)在x=x0处可导，若limΔx→0f(x013.若随机变量X~B(10,0.3),则E(2X-3)=

,D(3X-2)=

​​​​​​​.14.在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，移动4次，则蚂蚁移动到圆x2+y2=3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知函数f(x)=x3−ax2−8x+5(1)求a，b;(2)求f(x)在[−1,3]上的值域．16.某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将一批书籍全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级．(1)若这批书是10本相同的书，每个班至少1本，共有多少种不同的分配方法?(2)若这批书是10本不同的书，每个班至少2本，共有多少种不同的分配方法?17.数据显示，中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄(都在[15,65]内)，按照[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]分组，得到如下的频率分布直方图．

(1)估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数．(2)为了进一步了解用户在工作中使用AI大模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在[25,45)内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼．

 ①求至少有1名年龄在[25,35)内的用户获得幸运大礼的概率; ②记年龄在[35,45)内的用户中获得幸运大礼的人数为X，求X的分布列．18.甲、乙两名同学参加一项射击比赛，已知甲、乙两人射击的命中率分别为12和35(1)求两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率．(2)两人各射击一次，在只有一个人命中的条件下，求甲命中的概率．(3)甲参加射击训练，训练计划如下：甲先射击n(n∈N+,n≤33)次，若这n次都命中，则训练结束，否则额外射击100−3n次.试问n19.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，我们称函数f′(x)的导函数f″(x)为函数f(x)的二阶导函数，若一个连续函数f(x)在区间I上的二阶导函数f″(x)≥0，则称f(x)为I上的凹函数，若二阶导函数f″(x)≤0，则称f(x)为I上的凸函数．(1)若函数f(x)=−13x3−(2)已知函数f(x)=ex ①若f(x)是(0,π)上的凹函数，求实数a的取值范围; ②若f(x)在(0,π)内有两个不同的零点x1，x2，证明：π2参考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.A

6.B

7.B

8.D

9.BD

10.AC

11.ACD

12.3

13.3

；

18.9

14.336415.解：(1)因为f(x)=x3−ax2−8x+5，所以f′(x)=3x2−2ax−8．

因为f′(1)=−2a−5=−7，f(1)=−a−2=−7−b，

所以a=1，b=−4；

(2)由(1)知f(x)=x3−x2−8x+5，则f′(x)=3x2−2x−8=(x−2)(3x+4)．

令f′(x)=0，得x=−43或x=2．

当x∈[−1,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，

所以f(x)16.解：(1)相同元素分配问题用“隔板法”，

只需从10个元素中间的9个空中插入3块板隔成4份即可，所以共有C93= 84种不同的分配方法．

(2)将10本不同的书分成4份，每个班至少2本，可分为(2,2,2,4)，(2,2,3,3)两种情况．

若情况为(2,2,2,4)，则有C102C82C62A317.解：(1)AI大模型的用户年龄在[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]内的频率分别

为0.1，0.3，0.4，0.15，0.05，所以AI大模型用户年龄的第60百分位数在[35,45)内．

设AI大模型用户年龄的第60百分位数为x，

则(x−35)×0.04=0.2，解得x=40，

所以估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数为40．

(2)由分层抽样可知，抽取的7名用户中年龄在[25,35)内和[35,45)内的分别有3人和4人．

 ①记至少有1名年龄在[25,35)内的用户获得幸运大礼为事件A，则P(A)=1−C43C73=3135，

所以至少有1名年龄在[25,35)内的用户获得幸运大礼的概率为3135．

 ②X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X=0)=C33CX0123P112184

18.解：(1)因为甲、乙两人射击的命中率分别为12和35，

所以甲、乙两人射击一次，甲、乙不能命中目标的概率分别为12和25，

则两人各射击一次，都没有命中目标的概率为12×25=15，

所以两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为1−15=45;

(2)设“两人各射击一次，只有一个人命中目标”为事件A，

“两人各射击一次，甲命中目标”为事件B，

所以P(A)=12×25+12×35=12，

P(AB)=12×25=15，

则所求概率为P(B|A)=P(AB)19.(1)解：因为f(x)=−13x3+12ax2+ax−axlnx，

所以f′(x)=−x2+ax−alnx，f″(x)=−2x+a−ax．

因为f(x)是(0,+∞)上的凸函数，所以f″(x)=−2x+a−ax≤0，

即当x∈(0,+∞)时，2x2−ax+a≥0恒成立．

函数y=2x2−ax+a图象的对称轴为直线x=a4，

当x=a4≤0，即a≤0时，只需x=0时，y=a≥0即可，所以a=0，

当x=a4>0，即a>0时，只需x=a4时，y=−a28+a≥0即可，所以0<a≤8，

故a∈[0,8]．

(2) ①解：因为f(x)=exa+sinx，x∈(0,π)，所以f′(x)=exa+cosx，f″(x)=exa−sinx

因为f(x)是(0,π)上