信号与系统课件 第10讲学习资料

信号与系统第10

讲教材位置:第4章连续时间傅里叶变换

§4.3内容概要:连续时间傅里叶变换性质

2025/4/30信号与系统－第10讲2开讲前言－前讲回顾非周期信号的傅里叶变换周期信号周期趋于无穷，得非周期信号傅里叶变换三个有用的公式傅里叶变换的收敛能量有限条件；狄里赫利条件常用信号的傅里叶变换指数、冲激、时域方波脉冲、频域方波脉冲、单位阶跃周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换由其傅里叶级数的系数可得2025/4/30信号与系统－第10讲3开讲前言－本讲导入傅里叶变换的性质可以简化计算可以帮助进一步理解傅里叶变换的实质根据周期信号傅里叶系数和傅里叶变换的关系，可以将变换的性质用于级数一些简化的表示方法x(t)的傅里叶变换X(jω)可以记为：2025/4/30信号与系统－第10讲4§4.3连续时间傅里叶变换性质1.线性2.时移性质举例：将信号分解为两个单脉冲之和利用时移性质信号的时移，其傅里叶变换的模不变能量不变2025/4/30信号与系统－第10讲52025/4/305§4.3连续时间傅里叶变换性质f1(t)t0A

f2(t)t0A

2

20

()

2

4

6

相位谱8

2

例：求矩形脉冲的频谱函数。解：门函数的频谱函数为)2()(wttwSaAjF2=由时延性可得显然|F1(j)|=|F2(j)|

2025/4/30信号与系统－第10讲6§4.3连续时间傅里叶变换性质3.共轭及共轭对称性如果x(t)为实函数表示为直角坐标得：实部是频率的偶函数虚部是频率的奇函数表示为极坐标

得到：模是频率的偶函数，相位是频率的奇函数实函数的共轭性质，使得计算中只需有正频率的值即可2025/4/30信号与系统－第10讲7§4.3连续时间傅里叶变换性质3.共轭及共轭对称性（续）如果x(t)为实偶函数，X(jω)也是实偶函数如果x(t)为实奇函数，X(jω)是纯虚奇函数如何证明其为实函数？如果实函数用其奇偶函数之和来表示2025/4/30信号与系统－第10讲8§4.3连续时间傅里叶变换性质3.共轭及共轭对称性（练习）2025/4/30信号与系统－第10讲9§4.3连续时间傅里叶变换性质4.微分与积分时域微分：时域积分冲激函数反映了积分所产生的直流分量（平均值）2025/4/30信号与系统－第10讲102025/4/30§4.3连续时间傅里叶变换性质课堂练习已知冲击函数的傅立叶变换，利用积分性质求阶跃函数的傅立叶变换？已知阶跃函数的傅立叶变换，利用微分性质求冲击函数的傅立叶变换？2025/4/30信号与系统－第10讲112025/4/3011§4.3连续时间傅里叶变换性质利用微分、积分性质，求图示波形的傅立叶变换【解答】实函数奇函数纯虚函数奇函数2025/4/30信号与系统－第10讲12§4.3连续时间傅里叶变换性质利用积分性质的注意事项函数求导后丢失的直流分量2025/4/30信号与系统－第10讲132025/4/3013§4.3连续时间傅里叶变换性质5.时间与频率的尺度变换时域中函数尺度变化x(t)=sint在0t2π间有一个完整的正弦波。x(t)沿t轴压缩三倍，新函数应记为x(3t)=sin3t.x(t)沿t轴扩展两倍，新函数应记为x(t/2)=sin(t/2).0x(t)=sint.1tπ2π2πt01πx(3t)=sin3t.012πt结论：代表信号的函数x(t)沿时间轴压缩或扩展而成的新函数，当a是大于1的正实数时，表示信号压缩了a倍,当a是小于1的正实数时，表示信号扩展了1/a倍2025/4/30信号与系统－第10讲142025/4/3014§4.3连续时间傅里叶变换性质傅里叶变换的尺度变化关系表达式证明：令τ

=at

若a>0若a<0综合两种情况，便可求证结论信号在时域中压缩（扩展）a倍，它在频域中要扩展（压缩）a倍。对于a=-1的情况，时域中沿纵轴反褶等效频域中沿纵轴反褶。2025/4/30信号与系统－第10讲152025/4/3015§4.3连续时间傅里叶变换性质尺度变化图解x(t/2)t01-

x(t)t01

2

22

2

0

2

2X(2j)(a)a=0.5(b)a=1x(2t)t01

4

4

4

0

2

X(j)2

4

(c)a=24

0

1/2X(j/2)4

22025/4/30信号与系统－第10讲162025/4/3016§4.3连续时间傅里叶变换性质等效脉宽和等效频宽对任意形状的x（t）和X(j

)，有傅里叶变换若令、Bs分别为x（t）和X(jω)等效宽度，根据等效脉冲宽度和等效频带宽度的定义，可以推导等效脉冲宽度和等效频带宽度之积为常数0x（0）x（t）t

0X（0）X（jω）

ωBs2025/4/30信号与系统－第10讲172025/4/3017§4.3连续时间傅里叶变换性质6.对偶性证明上式右边，将变量

用一个虚设变量τ代替，可得：相应用ω替代t有将变量τ

用t代替，则得2025/4/30信号与系统－第10讲182025/4/3018§4.3连续时间傅里叶变换性质如果x(t)

是t的偶函数,其频谱函数只有实部R（

），且为偶函数，此时

2x(-)=2x()=F

[X(jt)]=F

[R(t)]由此可知:偶函数x(t)

有频谱函数R(

，则与R(

形式相同的时间函数R(t的频谱函数为2x()。x(t)=(t)（1）t0(a)x()=2

()（2

）

0(c)R()=11t0(b)正变换R(t)=11

t0(d)反变换偶函数时域和频域的对称性2025/4/30信号与系统－第10讲192025/4/3019§4.3连续时间傅里叶变换性质x(t)t01

2

2(a)

2

0t2

R(t)4

(c)

4

0

4

2

R()

2(b)02

2

2

x()(d)解：f(t)=1|t|<0|t|>

2

2其傅里叶变换2wtt)(SaX(j)=则根据偶函数的对称性，它的傅里叶变换为F

[X(jt)]=2x()=20||<||>2025/4/30信号与系统－第10讲202025/4/3020§4.3连续时间傅里叶变换性质课堂练习利用对偶性质求函数的傅立叶变换【解答】某信号x(t)有傅立叶变换X(t)的函数形式根据性质有：2025/4/30信号与系统－第10讲212025/4/3021§4.3连续时间傅里叶变换性质对偶性导出的其他性质频域微分频域积分频移性质时域信号与复指数信号相乘的效果相当于频域里面的频谱搬移2025/4/30信号与系统－第10讲222025/4/3022§4.3连续时间傅里叶变换性质即x(t)cos

ct[X(j+jc)+X(j-jc)]/2同理：

F[x(t)sinct]=[X(jjc

)-X(j-jc

)]/2j2025/4/30信号与系统－第10讲232025/4/3023§4.3连续时间傅里叶变换性质求矩形调幅信号G(t)•cos

ct的频谱函数.解:门函数的频谱为G(t)t0A

2

2A

2

4

G(j

)0

6

2

4

2025/4/30信号与系统－第10讲242025/4/3024§4.3连续时间傅里叶变换性质矩形调幅信号的频谱图Atf(t)=G(t)•cos

ct

2

2A

2-

c2

c+2

c-½[G(j+j

c)+G(j-j

c)]0

讨论：调制有什么意义？怎样解调制？节省频带资源的方法？2025/4/30信号与系统－第10讲25§4.3连续时间傅里叶变换性质7.帕萨瓦尔定理证明：2025/4/30信号与系统－第10讲262025/4/3026§4.3连续时间傅里叶变换性质能量频谱函数能量采用能量密度频谱函数表示能量频谱定义：某角频率处的单位频带内的信号能量。单位：焦耳/弧度/秒根据密度函数的性质，具有同样振幅频谱而相位频谱不同的能量信号有相同的能量频谱。x(t)t0A

2

2A4

0

4

2

X(j)

2

2

4

6

0G(

)A2

2

2

-x(t)t0A

2025/4/30信号与系统－第10讲272025/4/3027§4.3连续时间傅里叶变换性质信号的脉冲宽度与频带宽度基于能量的定义有效脉宽的定义：有效脉宽

0为时域中绝大部分能量集中的那段时间，表示为式中是时间间隔0

内的能量占总能量的百分数一般选=90%。有效带宽的定义:有效频带宽度Bs为在频域中绝大部分能量集中的那一频段,公式中

一般亦取90%基于最大值的定义：等效脉宽：脉冲从最大幅值下降到其1/K的时间间隔的两倍；等效带宽：从频谱密度在零频时的最大幅值F(0)下降到其1/K时所对应的频率.后者的定义有局限性2025/4/30信号与系统－第10讲282025/4/3028§4.3连续时间傅里叶变换性质x(t)t01

2

2

4

0

4

2

X(j)

2Bs01x（t）t

01k..高斯脉冲0.BsX(j)1k

F(0)等效脉宽τ0：等效带宽Bs：等效脉宽τ0：τ等效带宽Bs：2π/τ2025/4/30信号与系统－第10讲292025/4/3029§4.3连续时间傅里叶变换性质举例：给定了频域波形可以利用帕斯瓦尔定理在频域计算E利用微分性质计算D2025/4/30信号与系统－第10讲30课堂练习1210-13-32025/4/30信号与系统－第10讲31本讲小结连续时间傅里叶变换性质线性时移性质频移性质共轭及共轭对称性质时域微分积分性质频域微分积分性质对偶性质时域与频域的尺度变换帕斯瓦尔定理信号与系统第10次课外作业教材习题:4.23、4.29、4.32(b)(c)2025/4/30信号与系统－第10讲33信号系统试验第一部分：matlab入门(4学时)目标通过学习matlab的基本数据表达和基本运算表达，熟悉matlab关于基本数据类型、矩阵数据类型的表示和计算操作；通过学习matlab的基本输入输出表达，熟悉matlab关于数据输入和输出的操作；具体要求构思一个可以通过函数作图绘制的图画场景；结合matlab的函数运算和函数绘制输出功能，完成所构思图画的生成。2025/4/30信号与系统－第10讲34信号系统试验第二部分：数码音乐的生成(8学时)目标通过运用matlab生成音乐信号，熟悉信号的数学表达、信号的采样与数字化；通过对数字音乐进行频域的谐波添加，熟悉信号在时域和频域的表达；通过对数字音乐在时域的包络调制，熟悉信号的时域处理。具体要求分析音阶的频率构成，选择一段熟悉的音乐，根据其音调和时长生成数字音乐；分析钢琴、小提琴和萨克斯的音色差异，了解频域的谐波构成对形成不同音色的作用，对生成的数字音乐进行谐波添加，至少生成两种音色的音乐风格；分析钢琴、小提琴和萨克斯的音色差异，了解时域的包络调制对形成不同音色的作用，对生成的数字音乐进行包络调制，至少生成两种音色的音乐风格；2025/4/30信号与系统－第10讲35信号系统试验第三部分：音乐处理（4学时）目标通过设计频域滤波器，对生成的数字音乐进行频域滤波，达到要求的音响效果；通过设计时域滤波器，对生成的数字音乐进行时域滤波，达到要求的音响效果；通过DCT变换，在保证一定的音响效果的前提下，实现数字音乐的数据压缩。具体要求分析古典、流行、爵士等音乐风格的频率特性，设计频域选择性滤波器，对生成的数字音乐进行滤波处理，至少达到两种音乐风格的效果；分别针对高通和低通特性，设计时域滤波器，对生成的数字音乐进行时域处理，达到抑制低频和高频的效果；了解离散余弦变换的原理，对生成的数字音乐进行DCT正反变换。设计对数字音乐进行压缩/解压缩的编码器/解码器，要求在保证指定的频率响应基础上实现最大的压缩比。2025/4/30信号与系统－第10讲36信号系统试验选做部分：音乐合成目标和要求选择一首熟悉的歌曲伴奏音乐，或者自己生成该伴奏音乐；改变其音调，但保持音乐节奏不变；改变其节奏，但保持音乐音调不变；录制自己清唱的该歌曲，并形成数字音乐；根据自己演唱的音调和节奏，调整伴奏音乐；将自己演唱的歌曲和调整后的伴奏音乐合成。2025/4/30信号与系统－第10讲37基本乐理什么是声音噪音、语音、乐音乐音特征基波构成规律谐波频谱-音色包络波形-音型电子音乐速度与节奏2025/4/30信号与系统－第10讲38基本乐理乐音的基波构成音名：CDEFGAB每个音名对应固定的频率音高：中音A的频率为220Hz音调与唱名