北京市顺义一中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市顺义一中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一个球的表面积为16π，则该球的半径为(

)A.1 B.2 C.3 D.42.已知向量a=(x,1)，b=A.1 B.4 C.−1 D.3.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAA.10+213 B.324.cos72A.−12 B.12 C.−5.函数y=Asin(A.y=2sin(2x−6.在△ABC中，b=c⋅A.等边三角形 B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.在△ABC中，“AB⋅BA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则A.23BA+16BC

9.如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知AB=10cm，A1B1=A.640元

B.440元

C.390元

D.347.5元10.平面向量e1与e2是单位向量，夹角为60°，那么，向量e1、e2构成平面的一个基.若a=xe1+ye2，则将有序实数对〈x，A.−1 B.0 C.1 D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知在△ABC中，sinA：sinB：sin12.如图是以C为圆心的一个圆，其中弦AB的长为2，则AC⋅AB=

13.设函数f(x)=sin(ωx−π3)(14.已知a=(−1,1)，b=(1,15.已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的2倍.给出下列结论：

①设圆柱与圆锥的体积分别为V1、V2，则V1V2=32；

②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为S1、S2，则S1S2=12；

③设圆柱与圆锥的侧面积分别为S3、S4三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知函数f(x)=sin2x+23cos2x．

(17.(本小题14分)

已知向量a和b，则|a|=2，|b|=2，〈a,b〉=60°，求：18.(本小题14分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别为A1C1，BC的中点．

(Ⅰ)求证：FC19.(本小题15分)

在△ABC中，3asinC+ccosA=2c．

(Ⅰ)求∠A；

(Ⅱ)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC最长边上的高．

条件①：a=7，b=820.(本小题15分)

已知函数f(x)=4cosxsin(x−π6)+1．

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；

(Ⅱ)若函数f21.(本小题14分)

在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，定义这两个向量的“相离度”为d(a,b)=|x1y2−x2y1|x12+y12⋅x22+y22，容易知道a,答案和解析1.【答案】B

【解析】解：一个球的表面积为16π，

可得4πr2=16π，解得r=22.【答案】C

【解析】解：向量a=(x,1)，b=(2,−2)，3.【答案】A

【解析】【分析】本题考查斜二侧画法，属于基础题．

根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，∠AOB【解答】

解：根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，∠AOB=90°，

底边长OB=4，高OA=2O′4.【答案】B

【解析】解：cos72°cos12°5.【答案】A

【解析】解：根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象，不妨令A=2，T2=πω=π3+π6，∴ω=2．

再根据五点法作图可得2×6.【答案】C

【解析】解：把cosA=b2+c2−a22bc，代入已知等式得：b=c⋅b2+c2−a227.【答案】A

【解析】解：∵AB⋅BC>0，即|AB|⋅|BC|cosθ>0，

∴cosθ>0，且θ∈(0,π)，

所以两个向量的夹角θ为锐角，

又两个向量的夹角8.【答案】A

【解析】解：由题意可得：BE=BA+AE，AE=13AD，AD9.【答案】A

【解析】解：因为正四棱台A1B1C1D1−ABCD中，AB=10cm，A1B1=20cm，棱台的高为12cm，

则斜高h=122+(20−1010.【答案】C

【解析】解：a=(1,−1)，b=(2,11.【答案】1116【解析】解：由正弦定理及sinA：sinB：sinC=4：3：2，知a：b：c=4：3：2，

由余弦定理知，cosB=a212.【答案】2

【解析】解：过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点．

在Rt△ACD中，AC⋅cosA=AD，

所以AC13.【答案】5(答案不唯一，符合ω=12【解析】解：函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)，由于f(x)≤f(π6)对任意实数x都成立，则x=π6时，f(x)14.【答案】2【解析】解：根据题意，a=(−1,1)，b=(1,0)，则c=a+tb=(−1+t,1)，

又〈a,15.【答案】①③【解析】解：设圆锥和圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，圆锥的高为4r，圆锥的母线长为(4r)2+r2=17r．

对于①，V1=πr2⋅2r=2πr3，V2=13πr2⋅4r=4πr33，则V1V2=2×34=32，①对；16.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=sin2x+23cos2x=sin2x+3(1+cos2x)=sin2x+3cos2x+3=2s【解析】(Ⅰ)由三角恒等变换可得函数f(x)的解析式，进而求出它的最小正周期；

(Ⅱ)由x的范围，可得217.【答案】2；

27；

2【解析】解：(1)∵|a|=2,|b|=2,〈a,b〉=60°，

∴a⋅b=2×2×12=2；

(218.【答案】(Ⅰ)证明过程见详解；

(Ⅱ)直三棱柱ABC−A1B【解析】(Ⅰ)证明：取AB的中点P，连接PE，PF，

因为F为BC的中点，所以PF/​/AC，PF=12AC，

因为四边形ACC1A1为平行四边形，E为A1C1的中点，

所以EC1/​/AC，且EC1=12AC，

所以PF//EC1，且PF=EC1，

所以四边形PFC1E为平行四边形，所以FC1//PE，

又因为FC1⊄19.【答案】(Ⅰ)π3；

(Ⅱ)选择①，有两个解，不符合条件；

选择②，由余弦定理可得c，a的值，再由角A的正弦值，可得b边上的高的值532；

选择③，由正弦定理可得c的值，由角B>C，可得【解析】解：(Ⅰ)由正弦定理asinA=csinC可得asinC=csinA，

所以3csinA+ccosA=2c，因为c≠0，所以3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，所以sin(A+π6)=1，

因为0<A<π，所以A+π6=π2，即可得A=π3；

(Ⅱ)选择①，a=7，b=8，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，

即49=64+c2−2×8×c×12，

解得c=20.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=4cosxsin(x−π6)+1=4cosx(sinxcosπ6−cosxsinπ6)+1

=23sinxcosx−2cos2x+1=3sin2x−cos2x=2si【解析】(Ⅰ)由两角差的正弦公式及辅助角公式可得函数的解析式，进而可得函数的最小正周期及函数的单调递增区间；

(Ⅱ)(i)由题意可得g(x)的解析式，再由函数的对称轴可得φ的表达式，进而求出φ的最小值；

(ii)21.【答案】1；

①证明