高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积

2.5从力做功到向量数量积第1页物理中我们学过功概念，一个物体在力作用下产生位移（如图）θ力

所做功W可用下式计算:

其中θ是

与

夹角.第2页当0°≤θ＜90°时，W＞0,即力F做正功；当θ＝90°时，W＝0，即力F不做功；当90°＜θ≤180°时，W＜0，即力F做负功.从力所做功出发，我们引入向量数量积概念.第3页1.经过物理中“功”等实例，了解平面向量数量积含义及其物理意义、几何意义.（重点）2.体会平面向量数量积与向量射影关系.3.掌握平面向量数量积主要性质及运算律和它一些简单应用.（重点）4.能利用数量积表示两个向量夹角，会用数量积判断两个平面向量垂直关系.（难点）第4页两个非零向量和，作，，则（）叫作向量

与

夹角．OAB问题1

怎样定义向量夹角？计算向量夹角时要将两个向量起点放在一起.探究点1向量数量积第5页OAB若，

与

同向OAB若，与

反向OAB若，

与

垂直，记作因为零向量方向是任意，为方便起见，要求:零向量可与任一向量垂直.第6页，过点B

作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则||cosθ叫作向量

在

方向上射影(也叫投影)．当θ为锐角时，|

|cosθ_____0＞问题2

什么是向量射影？OABB1第7页OBA当θ=0°时，||cosθ=_____||当θ为钝角时，||

cosθ___0.当θ为直角时，||cosθ____0＜=BOAθOABθ第8页OBA当θ=180°时，||cosθ=_____B1物理实例中，与位移

方向一致分力

长度为︱

︱cosθ，即是力

在

方向上射影.θ-||第9页问题3

平面向量数量积定义怎样？已知两个向量与，它们夹角为θ，我们把||||cosθ叫作与数量积（或内积）.记作·

·=||||cosθ注意：向量数量积是一个数量.尤其地:零向量与任一向量数量积为0.第10页例1⑴

已知||=3，||=4，且

与

夹角θ=150°，求·.解：·=||||cosθ=3×4×cos150°=3×4×（-）=－6第11页变式练习：已知=(1,1),=(2,0),与夹角θ=45°.

求

·.解：

||=,||=2,θ=45°,所以·=||||cosθ=×2×cos45°=2.第12页问题4

数量积几何意义是什么？第13页尤其提醒：1.2.若是单位向量,则单位向量是一个特殊向量哟！第14页主要性质：1.若是单位向量，则：2.3.4.5.当且仅当∥时等号成立.

第15页问题5

数量积物理意义是什么？第16页反之成立吗？解答：不成立.解答：成立.思索：探究点2向量数量积运算律第17页练习：判断以下说法正误√×××××√3．若

≠，

·

=0，则

=

2．若

≠

，则对任一非零向量

,有

·

≠0．1．若

=

，则对任一向量

，有

·

=0．4．若

·

=0，则

,

中最少有一个为

．5．若

≠

，

·

=·

，则

=

6．若

·

=

·

,且

≠

,当且仅当

=

时成立．7．对任意向量

有第18页例2在ΔABC中，设边BC，CA，AB长度分别为a，b，c，证实：a²=b²+c²–2bccosA，b²=c²+a²–2cacosB，c²=a²+b²–2abcosC.AacbCB证实：设则同理可证其它两式，我们把这个结果称为余弦定理.=b²+c²–2bccosA.第19页向量法证实几何问题步骤：1.将三角形边用有向线段表示.2.依据向量运算及向量几何意义，写出向量之间关系.3.经过平方和向量数量积整理出所要结果.第20页例3证实菱形两条对角线相互垂直.证实：菱形ABCD中，AB=AD，因为可得=0，所以，即菱形两条对角线相互垂直.ABCDO第21页证实线段垂直方法：1.取两个不共线向量作基底.2.将要证实向量用这两个向量表示.3.利用进行证实.【提升总结】第22页例4已知单位向量,夹角为60°，求向量

,夹角.解：由单位向量,夹角为60°，得所以②①所以又第23页设与夹角为，由①②可得又所以.即向量与夹角为.第24页技巧点拨：

1.以，为基底,计算值.2.利用向量夹角公式计算.

第25页1.判断以下说法正误:（1）平面向量数量积能够比较大小.(

)（2）(

)（3）已知为非零向量,因为0×=，·=0,所以=(

)(4)(

)√×××第26页2.△ABC中，则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【解析】由知∠ABC为锐角；由知,∠ACB为钝角.C第27页C第28页第29页第30页5.在△ABC中，M是线段BC中点，AM=3，BC=10，则_______.-16-26.若|a|=1,|b|=2，