小学数学知识讲座空间与图形统计与概率1知识讲解

小学数学知识讲座

《空间与图形、统计与概率》

一、课程标准的要求：《标准》将以往的“几何”拓广为“空间与图形“，它加强和削弱了哪些内容呢？1.加强方面及其依据第一：强调内容的现实背景，联系学生的生活经验。以第一学段为例，其内容不仅包括常见的几何图形，而且还有现实世界的二维、三维图形及其相关问题。第二：增强了图形的变换，位置的确定，视图等内容。三个学段的要求如下：第一学段：感受平移、旋转、对称现象。第二学段：进一步学习图形的变换。第三学段：注重联系生活实际学习平移、旋转、对称等图形变换的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用。第三：加强几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念。《标准》注重学生经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实的生活空间中抽象出几何图形的过程，注重探究图形性质及其变化规律的过程。比如，在第一、第二学段中注重引导学生通过观察、操作、有条理地思考和推理，交流等活动，从多种角度认识图形的形状、大小、变换和位置关系，发展学生的几何直觉和空间观念；第三阶段继续通过观察、操作、图形变换、展开与折叠、图案欣赏与设计等各种形式的活动引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等方式探究图形的性质，进一步认识图形及其性质，丰富集合的活动经验和良好体验，发展空间观念。2.削弱的方面及依据第一二学段，削弱了单纯的平面图形周长、面积、体积等计算，这是因为这两个学段是发展学生空间观念的良机，而单纯的几何计算并不能有效地发展学生的空间观念，因而《标准》把这类计算融入几何直观和反应空间观念的问题之中。第三学段削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明,减少定理的数量.

统计与概率一、强调与注意的方面:标准将统计与概率作为义务教育阶段数学课程的四个学习领域之一,主要有两个原因:⑴现代社会要求每一合格公民必须具备一定的收集、描述、分析数据的能力，这种能力要从小培养。⑵随机现象是这部分内容的一个重要研究对象，从随机现象中去寻找规律，这对学生来说是一种全新的观念。不仅给以后的学习带来方便，而且能使学生所学的数学更加贴近现实。1.强调统计与概率过程性目标的达成2.强调对统计表特征和统计量实际意义的理解3.注意与现代信息技术的结合4.注意统计与概率和其他内容的联系5.注意避免的统计量的计算和对有关术语进行严格表达二、各学段实施时要注意的问题第二部分有关空间与图形基础知识

一、线、角和距离

1.直线、线段、射线名称图形意义区别联系直线不定义，应理解为是直的线，无头无尾每条直线都可向两边无限延伸；不能量出其长它们都是直的；射线、线段都是直线的一部分；线段也可以看成是射线的一部分

线段直线上两点间的一段。这两点称为线段的端点线段不能向两端无限延长；有两个端点；可以量出其长度射线直线上一点一旁的部分。这一点称为射线的端点。射线向一端无限延伸射线可以向一个端点无限延长，有一个端点；不能量出其长度3.垂直和平行

位置关系图形意义性质

垂直两条直线相交成直角时，叫做两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。交点叫垂足两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，那么其他三个角也是直角

平行在同一平面内两条不相交的直线叫平行线平行线不论画多长都不会相交

4.距离

名称图形意义性质两点间的距离连接两点的线段的长叫这两点间的距离连接两点的线中，线段最短点到直线的距离

从直线外一点向这条直线画垂线，这点到垂足间的线段长叫点到直线的距离从直线外一点，分别向这条直线画垂线和斜线段，垂线段最短两条平行直线的距离平行线间的垂直线段的长，叫做这两条平行线间的距离平行线间的距离处处相等平面图形三角形的分类分类方式类型按角分锐角三角形三个角都为锐角直角三角形

有一个角为直角钝角三角形有一个角为钝角按边分不等边三角形

三条边都不相等

等腰三角形只有两条边相等

等边三角形三条边都相等

一般四边形两边对边分别平行有一个角是直角

长方形邻边相等正方形只有一组对边平行

两腰相等一角为直角

3.几种简单平面图形的特征、周长和面积

定义周长：平面图形各边长的总和；面积：平面图形的大小名称图形特征周长C和面积S正方形四条边都相等四个角都是直角C=4aS=a×a长方形两对边相等四个角都是直角C=2（a+b）S=ab平行四边形两组对边分别平行而且相等S=ah菱形四条边相等两条对角线互相垂直S=ah÷2名称图形特征周长C和面积S三角形a-底h-高三条边和三个角内角和为180度任意两边的和大于第三边

S=ah÷2梯形a-上底b-下底h-高m-中位线只有一组对边平行S=（a+b）h÷2=mh圆同圆中所有半径和直径都相等，直径是半径的2倍C=2∏r=∏dS=∏r扇形2

三、简单几何体1.表面展开图名称表面展开图及说明长方形表面展开图中，前面和后面、上面和下面、左面和右面面积相等正方体的六个面是全等的正方形圆柱的侧面展开图为长方形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长2.简单几何体的特征、表面积与体积定义表面积：物体表面各个面的总面积；体积：物体所占空间的大小叫体积容积：容器所能容纳物体的体积叫容积名称图形

特征表（侧）面积S体积V长方形6个面都是长方形、相对的两个面面积相等；12条棱，相对棱长相等；8个顶点S=2（ab+ah+bh）V=abh正方形6个面都是相等的正方形；12条棱长相等，8个顶点S=a×a×6V=a×a×a圆柱上下两个面叫底面是相等的两圆，两底面的距离叫高S=chV=sh圆锥圆锥的底面是圆从顶点到底面圆心的距离叫高V=sh÷3侧四、图形位置与变换1.图形位置位置相对位置包括上、下、左右、前后。通常我们把从正面（前面）、右面、上面三个方位看到的物体的图形画成平面图，叫这个物体的三视图，并且把三个不同位置的图分别叫主、侧和俯视图方向东、南、西、北、东北、西北、东南、西南。地图方向为上北、下南、左西右东。

北上下前后左右西北东北东南西南西东南2.图形变换

名称意义生活实例平移平面内将图形沿某个方向移动一定距离的图形运动叫平移。它只是位置发生了变化其大小和形状没变，平移后的位置由平移的方向和距离确定电梯上下移动旋转平面内将图形绕一定点按某个方向转动一个角度的图形运动叫旋转。定点叫旋转中心，转动的角叫旋转角。旋转后物体的方向发生改变，形状和大小不变。旋转由旋转的中心、方向和角度确定。钟摆的运动；方向盘的转动对称对称图形沿着一条直线（对称轴）对折后，直线两旁的部分能够重合蝴蝶的形状；对称的剪纸图案缩放按一定比例放大或缩小，缩放以后的图形与原图形相似绘制地图3.平面对称图形

对称图形等腰三角形等边三角形长方形菱形等腰梯形正方形圆对称轴1条3条2条2条1条4条无数条第三部分统计与概率

一、统计表

1.统计表的意义和结构

2.单式统计表和复式统计表

3.统计表的制作步骤

二、统计图

1.统计图的意义及类型

2.统计图的特征

3.统计图的制作步骤

三、统计特征量名称意义举例平均数一般是算术平均数,求几个数的平均数就是用这几个数的和除以这些数的个数中位数把一组数按其大小次序排序,以排在正中间位置上的那一个数叫这组的中位数当数的个数为技术时,取正中间的一个为中位数；当为偶数时，取正中间的两个数，它们的平均数就是中位数一次考试，6名同学的成绩从高到低依次为：54，58，63，67，72，97，这组数的中位数是（63+67）÷2众数在一组数据中，出现次数最多的数叫这组数的众数。一个单位16名职工的月工资如下：月工资：60080010001人2人6人120015004人3人众数为1000比较平均数较稳定可靠，波动性比中位数小，但计算较繁，受极端数据影响较大；中位数可靠性较小，但不受极端数据影响，计算简便，众数作代表数的可靠性也较小，但计算简便，不受极端数据影响，在需找出频繁出现的数时常用众数四、事件与可能性

1.事件

事件分类意义举例确定性事件必然事件在一定条件下必然要发生的事件从装有10个红球的袋中摸到一个红球不可能事件在一定条件下不可能发生的事件在正常气压下，水加热到80度会沸腾不确定性事件在一定的条件下可能发生，也可能不发生的事件叫不确定事件（或偶然事件）下周三本地下雨2.简单事件发生的可能性

意义不确定事件是否发生虽然不能事先确定，但它的发生是有规律可循的，事件发生的可能性是有大小可能性的大小实验统计如对一批油菜籽进行统计，结果发芽率为90%，即说明一粒油菜籽这个事件发生的可能性为90%分析计算对于一些简单事件也可以通过一次试验中可能出现的结果分析来计算可能性：先考虑一共有几种情况，再考虑要求的事件有几种，两者相除，就得到了出现每种情况的可能性。如：一个正方体的六个面上分别有数字1，2，3，4，5，6，掷一次每一个数字出现的可能性相同，因此出现6的可能性为1/6三、考点范围：

1.几何基础；

数学的主要研究对象有两个：一个是数，另一个是形；小学阶段以研究图形的大小，其中尤其以研究平面图形的面积，立体图形的表面积和体积为主要任务，但对几何基础知识也必须有一定的认识和了解；其中包括直线、射线、线段的认识；三角形的认识，三角形内角和以及四边形的内角和；特殊三角形（直角、等腰、等腰直角三角形）的认识几何图形周长的意义及计算等。

这一部分内容的基础知识，主要在于对一些基本概念的准确理解和掌握，要善于将复杂问题化整为零，分解为一个个的基本问题或起变式，利用基础知识加以解决。例1:如图在直线上有A、B、C、D四个点，图中有几条直线？几条射线？几条线段？

分析：一条直线上如果有两点在另一条直线上，那么这两条直线是同一条直线，直线是可以向两边无限延长的，它无端点。如果两条射线的端点相同，而方向不同，这两条射线是不同的；如果两条射线的方向相同，但端点不同，这两条射线也是不同的。只有端点相同并且方向也相同的射线，才识同一条射线。

如果两条线段的端点相同，那么这两条线段是同一线段，如果两条线段有一个端点不同，这两条线段也是不同线段。所以图中有一条直线即直线AD有8条射线，即以A、B、C、D每个点为端点，分别向左右个有两条射线，图中线段共有6条：AB、BC、CD、AC、BD、AD。ABCD1.求下面平行四边形ABCD的周长（单位：CM）

2.如下图,已知角1=15度,角2=35度，求角3的大小

3.一个大圆内有三个大小不等的小圆如图，这些小圆的圆心在大圆的同一条直径上，它们之间都相切，大圆的周长是10㎝求这三个小圆的周长。

4.有7根直径都是2分米的圆柱形木棒，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少米的绳子？（打结的长不计）9641235.如图，B、C、D依次是线段AE上三点，若AE=15㎝，BD=6㎝，求图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度的和

分析：计算线段的条数要做到不重不漏，在图中共有10条线段，为了求出这10条的长就要把这些线段都用AE、BD表示出来

ＡＢＣＤＥ2.基本的面积计算

面积计算是小学几何知识的重要内容，而利用面积公式计算又是面积计算的基础。直接利用面积公式计算面积一般是比较简单的问题，只需要熟悉一些基本的面积公式和它们所适用的各种常规图形能就可以了，这是考查的一部分内容。

例1：一个直角三角形的一个锐角为45度，最长的边长是14㎝求这个三角形的面积。

分析:过C点作CD的AB高,那么CD=AD=AB×1/2所以三角形的面积=CD×AB÷2

练习：1.如下图，求四边形ABCD的面积是多少？

ABCDABCD2.把一个正方形的一边减少20%，相邻的一边增加2，得到一个长方形，这个长方形与原来的正方形面积相等，求原正方形的面积。

3.如图，直角三角形ABC内有一个正方形BDEF，AB=3㎝，BC=4㎝，AC=5㎝，EG垂直于EG，且EG=0.3㎝，求正方形BDEF的面积ABCDEFG3、等积变换

当两个图形的面积相等时，如果知道一个图形的面积，那么与之面积相等的图形的面积当然也就知道了，这就是等积变换。这一方法的基本出发点，包括以下几类常用的等积图形。

1.等底等高的两个三角形（或平行四边形、长方形等）的面积相等。

2.如果两个具有同一公共顶点的三角形满足该顶点所对的边在同一直线上且长度相等，那么这两个三角形的面积相等

3.如果一个三角形的某一边被一边分成n等份那么顺次连接这些等份点与该边所对应顶点的几个三角形面积相等

4.平行四边形（或长方形、正方形）的对角线将其图形分成两个等面积的三角形

5.夹在两条平行直线间的两个三角形（或两个平行四边形）的饿底边相等，那么这两个三角形（或平行四边形）的面积相等

基本方法：

1.将待求图形分割成几个部分分别寻找与已知图形间的等积关系

2.待求图形与已知图形间无直接关系而需通过其他图形过度，有时还需多次过度

3.图形没有等积形，适当添加辅助线后出现等积形，再用以上方法求积

例1：如下图在梯形ABCD中对角线AC与BD相交于E，且CE=2AE，若梯形ABCD的面积为540平方米，求三角形ABE面积

分析：要求三角形ABE的面积，就必须找出它与梯形的关系，从而就要找出三角形AEF，DEC，BCE与ABE的关系。

练习(1)：已知下图中平行四边形的底AB是15㎝，高7㎝，M是AB的中点，求阴影的面积？

（2）如下图，已知小正方形的边长为3，大正方形的边长适当，求三角形面积。

ABCDEABCCDMEOABC4、分数法求面积

在分数应用题中，我们利用某个单位“1”的分率与对应量来求出这个单位“1”，借用了这一思路，在几何图形中可利用对应量与对应分率的关系求出作为单位“1”的图形的面积，这是利用分数应用题的解题思路解决图形的求积问题的一种思路。

基本方法：1、当两个三角形的高相等时，它们的面积比等于底边之比，由此得出两图形的面积比。

2、两个平行四边形（包括长、正方形）的底边相等时，它们的面积比等于高的比。

利用以上的基本关系以及比例和分数的运算求出已知图形占待求图形面积的比例关系或分数关系，从而借助分数应用题中对应量除以对应分率的方法求出图形的面积。

例1：如图，大，小圆重叠部分的面积是大圆的1/8，是小圆的1/6，求大圆与小圆面积的比是多少？

分析：练习：1.平行四边形ABCD的面积为120，F为BC的中点，四边形EFGH的面积为9，求三块阴影的面积之和。

2.已知正方形的ABCD的边长为4，AE=2/5AB，G是DE与AC的交点求三角形GCD的面积。

ABCDEFGHABCDEG5、应用面积比解应用题:

在应用面积比解应用题时首先要掌握以下基本原理:

1、等底等高的三角形或平行四边形面积相等。

2、如果两个长方形的长或宽相等。那么它们面积之比等于它们的宽或长之比。

3、如果两个三角形或平行四边形的底或高相等，那么它们的面积比等于它们的高或底的比。

例1：如下图每个四边形是平行四边形,其中三个平行四边形面积分别是10，15，24，那么阴影的面积是多少？

分析：因为面积为10与面积为24的两个平行四边形的底相等，那么它们高的比就是面积的比，所以阴影的面积与面积为15的也是12：5

例2：如下图，已知平行四边形的面积为7.2平方厘米.E为BC中点,图中阴影部分的面积是多少?

分析:因为S△ADE:S△CDE=S阴:S△OEC又因为S△ADE:S△CDE=2

所以S阴=7.2×1/4×2/3=1.2厘米.

241015ABCDEO练习：1.如下图，正方形ABCD的面积为120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是多少？

ABCDEFGH6.分割法求面积：

图形的面积计算常会遇到一些不规则的图形，称为组合图形。这些图形的面积没有现成的公式直接去计算，但通过观察发现它们可以分割成几个部分，这些部分均为规则图形，又可以直接运用面积公式进行计算。

例1；如下图，两个正方形的边长分别为1和2，求图中阴影的面积。

分析：连BG，把阴影的面积分成两个三角形就可以求得。

练习：1.已知长方形长与宽的比是3：2，AC为长边的1/3，D为宽的中点，三角形ABC的面积为28，求四边形BCDF面积。

2.如图，角1=15度，圆周长为75.36，平行四边形的面积是144，求阴影的面积。

BGABCDOABCDEF7.割补法求面积：

区别分割法，它是在分割组合图形的基础上，再将分割后的部分加以拼接以构成基本的规则图形，需要学生有一定的观察能力，是较难的饿一种方法。

基本方法：

例1：如图，边长为4的正方形由三个长方形合并而成，中间一个长方形的宽是2，求三块阴影的面积？

分析：把这三块阴影拼成一个三角形ABC

练习：1.三个圆的周长都是25.12，图中阴影部分的面积是多少？

2.如图，把长方形ABCD绕顶点A向右旋转90度，求CD边扫过的阴影部分的面积。

ABCCDAB8.重叠法求面积：

重叠法是一种较为特殊的饿方法，其方法如下：

如图，A，B为两圆，它们的公共部分即A，B的重叠部分，记为A∩B，那么由A，B所盖部分的面积为S=S+S-S是一种特殊的方法，叫重叠法。ABA与BAB例1：如图是由6个相等的圆连环组成，每相邻两个圆重叠部分的面积是17/6，占每个圆面积的1/6，求这个图形的总面积。

分析：先求每个圆的面积，再求总面积=6S-5S

练习:如图，两个半径相等的圆A与圆B相交,三角形BCD是等腰直角三角形，面积是60，ABCD是平行四边形，求阴影的面积。

阴影ABCD9、立体图形的表面积:

考点要求:

立体图形表面积各部分的面积之和称为立体图形的表面积.这一类问题是培养或考察学生对空间图形的想象能力,要求能准确分辨出一个画在平面上的空间图形或一个文字描述的空间图形的具体情况,并能分辨出各个表面的具体图形,从而计算出其表面积。

例1：一个正方体的木块。表面积为96平方厘米，如果把它锯成体积相等的8个小正方体的木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少？

分析：每个正方体的每个面为：96÷6=16平方厘米由于四个小正方体的小面恰好拼成大正方体的一个大面，所以每个小面为：16÷4=4平方厘米

故每个小正方体的表面积为：6×4=24平方厘米

例2：有1000个体积为平方厘米的小立方体合在一起成为一个边长为10平方厘米的大立方体，表面积涂油漆后再分为原来的小立方体，这些小立方体中至少有一面被油漆涂过的数目是多少？

分析：大正方体的表面积被涂油漆后。得到的小正方体可以分为四类：1、一面涂过的；2、两面涂过的；3、三面涂过的；4、六面无油漆。

完全没有被涂过的小立方体，都在中间8×8×8的立方体中，所以至少一面涂油漆有：1000-8×8×8=488个

10、立体图形的体积：

考点指要：

立体图形的体积计算存在着规则图形和不规则图形的计算。

对于不规则的图形的体积计算应用分割、拼接、割补等于平面图形面积相类似的方法。

例1：求下面图形的体积

分析：运用补形法，将两个同样大小的几何体截几对接粘在一起形成一个圆柱，这么其体积为圆柱体积的一半。

例2：一个长方体木块长为30厘米，宽为20厘米，高为25厘米，先在这个木块上截一个尽量大的正方体，在用剩下的木块截出一个体积尽量大的圆柱体，这个圆柱体的体积是多少？

分析：先切最大的正方体边长为20厘米，剩下的部分只能是：底面直径为20厘米，高为10厘米，体积为（20/2）（20/20）×3.14×10=3140立方厘米。例3：唐老鸭用一个圆锥体容器装满了2000克油，米老鼠趁唐老鸭不在，在容器的正中间咬了一个洞，然后开始偷油，一直偷到油面与小洞平齐为止。如下图，问：米老鼠共偷油多少克？