高中数学必修二知识点总结主要内容

高中(Zhong)数学必修知识点总结第一页，共四十七页。

图形文字语言(读法)符号语言Aa点在直(Zhi)线上点在直线(Xian)外点在平面内

点在平面外一：空间中点与线、点与面的位置关系Aa线与平面的关系用子集符号第二页，共四十七页。二、平面的基本(Ben)性质公理1：若一条直线的两点在一个(Ge)平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内,即:这条直线在这个平面内。作用:用于判定线在面内即:A∈a且B∈aABaAB第三页，共四十七页。推论1.一(Yi)条直线和直线外一(Yi)点确定一(Yi)个平面。推论2.两条相(Xiang)交直线确定一个平面。推论3.两条平行直线确定一个平面。公理2.不共线的三点确定一个平面.aACB第四页，共四十七页。公理3：若两个不重合平面有一个公共点(Dian)，则它们有且只有一条过该点的公共直线。即:P∈a且P∈baIb=l且P∈l｝｛P∈aP∈baIb=lP∈l作用:用于证明点在线上或多(Duo)点共线.第五页，共四十七页。

圆的周(Zhou)长公式

圆的面积公(Gong)式=2πrS=πr2

弧长的计算公式扇形面积计算公式n是角度数四.面积与体积.直观图的面积等于原图形面积的四分之根二三视图要点:长对正,宽相等,高平齐第六页，共四十七页。空(Kong)间几何体的表面积和体积圆柱的表面积：圆锥的表面积：圆台的表面积：球的表面积：柱体的体积：锥体的体积：台体的体积：球的体积：面积体积第七页，共四十七页。直棱(Leng)柱的外接球正方体的内切球半径等于边长(Chang)的一半长方体与正方体的外接球球心在体对角线交点处也为中点处第八页，共四十七页。总结:直棱柱外接球球心在上下底(Di)面外接圆圆心连线的中点处以直三(San)棱柱为例等边三角形外接圆圆心在中心,半径等于边长的三分之根三,直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点处，半径等于斜边的一半第九页，共四十七页。锥体(Ti)的外接球圆锥的外(Wai)接球正棱椎的外接球一般锥体外接球球心在:过底面外接圆圆心与底面垂直直线上,然后再构造直角三角形第十页，共四十七页。PABCMOPAMDEOD法1.勾(Gou)股定理法正四面体的(De)外接球半径第十一页，共四十七页。第十二页，共四十七页。ABCDOABCDO正四面体外接球的半径正方体外接球的半径法2.补(Bu)成正方体第十三页，共四十七页。求棱锥外接球半径常(Chang)见的补形有：正四面体常补成正方体；三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体；三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体；侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱总(Zong)结第十四页，共四十七页。平行垂直定理总结:1.平行于同一直线的两条直线平行(平行线的传递性)2.若一个角的两边与另外一个角的两边分别平行则这两个角相等或互补(等角定理)3.如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(线面平行的判定定理)4.两个平面平行，则其中(Zhong)一个平面内的直线必平行于另一个平面(可以用来证明线面平行也是面面平行的性质定理)5.如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的平面与已知平面相交那么这条直线与交线平行(线面平行的性质定理)第十五页，共四十七页。6.如果一条直线与两个相交的平面都平行，那么这条直

线与交线平行。7.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

那么这两个平面平行(面面平行判定定理)8.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面的两条

相交直线分别平行，那么这两个平面平行。9.如果两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两个平

面平行。10.如果两个平面都平行于第三个平面那么这两个平面平行。11.如果两个平面平行且(Qie)都与第三个平面相交则交线平行。12.如果两个平面平行，且其中一个平面与一条直线垂直，则另一个平面与这条直线也垂直。13.垂直于同一平面的两条直线平行第十六页，共四十七页。13.如果两(Liang)个平面平行，则其中一个平面内的所有点到另一个平面的距离相等。14.夹在两个平行平面间的平行线段相等15.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。16.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直(线面垂直的定定理)。17.如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面18.如果一条直线与一个平面垂直则这条直线与平面内任何一条直线垂直(线面垂直的性质定理)19.如果一个平面过另一个平面的垂线则这两个平面垂直(面面垂直定定理也是线面垂直的性质)第十七页，共四十七页。20.经过平面(Mian)外一点，有无数条直线和已知平面(Mian)平行。经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直。经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直。经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行。经过直线外一点，有无数条直线和已知直线垂直。经过直线外一点，只有一个平面和已知直线垂直

第十八页，共四十七页。三垂线定理及逆定理:如果平面内一条直线与平面的一条斜(Xie)线的射影垂直则这条直线和这条斜线垂直如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直则这条直线与这条斜线的射影垂直第十九页，共四十七页。在下列条件下，判断三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置1、三条侧棱(Leng)相等2、侧棱与底面所成(Cheng)的角相等3、侧面与底面所成的角相等4、顶点P到⊿ABC的三边距离相等5、三条侧棱两两垂直6、相对棱互相垂直7、三个侧面两两垂直外心外心内心内心垂心垂心垂心第二十页，共四十七页。空间中的(De)角αabαbαβmb’aABP00<θ≤90000≤θ≤90000≤θ≤1800三种(Zhong)角的定义两异面直线所成角直线与平面所成角二面角空间角的计算步骤：一作、二证、三算

第二十一页，共四十七页。（1）异面直线所成(Cheng)的角关键在于找平行线(Xian):中位线,平行四边形,对应边成比例第二十二页，共四十七页。（2）线(Xian)面角斜线与平面所(Suo)成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角BAO第二十三页，共四十七页。求(Qiu)直线与平面所成的角时,应注意的问题:(1)先判断(Duan)直线与平面的位置关系(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：①作出或找出斜线上的点到平面的垂线②作出或找出斜线在平面上的射影③求出斜线段，射影，垂线段的长度④解此直角三角形，求出所成角的相应函数值第二十四页，共四十七页。（3）二(Er)面角从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做(Zuo)二面角这条直线叫做二面角的棱第二十五页，共四十七页。二面角的求法二面角的求法(1)垂线法——利用(Yong)三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小(2)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线(Xian)所成的角即为平面角(3)射影法——若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角

的大小为COS

=S`÷S第二十六页，共四十七页。

点到平面的距离：(1)直接法:即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法:转化成求另一点到该平面的距离.得(De)用线面平行,面面平行等(3)体积法

:利用三棱锥的体积空间中的(De)距离解法小结第二十七页，共四十七页。1.倾斜角：当直线L与x轴相交时，x轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线L的倾斜角。当直线L和x轴平行或重合时，我们规定直线L的倾斜角为(Wei)00。故倾斜角的范围是[0，π）。3.过两点P(x1,y1),P(x2,y2),(x1≠x2)的直线的斜率公式——k=tanα=2.斜率：不(Bu)是900的倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即k=tanα(当k>0时,倾斜角是锐角；当k<0时,倾斜角是钝角，当k=0时，倾斜角等于0０)(如何变化)注意:任何一条直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率直线与方程第二十八页，共四十七页。名称

已知条件

方程

说明

斜截式

斜率k纵截距b

y=kx+b

不包括y轴和平行于y轴的直线

点斜式

点P1(x1,y1)斜率k

y-y1=k(x-x1)

不包括y轴和平行于y轴的直线

两点式

点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)

不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线

截距式

横截距a

纵坐标b

x/a+y/b=1

不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线一般式

Ax+By+C=0

A、B不同时为0

=

4.直线(Xian)方程

第二十九页，共四十七页。l1∶y=k1x+b1l2∶y=k2x+b2

l1∶A1x+B1y+C1=0l2∶A2x+B2y+C2=0

l1与l2组成的方程组

平行

k1=k2且b1≠b2

无解

重合

k1=k2且b1=b2

有无数多解

相交

k1≠k2

有唯一解

垂直

k1·k2=-1

A1A2+B1B2=0

有唯一解

5.位置关系判定方法：当直线不平行于坐标轴时（要特别注意这个限制条(Tiao)件）

第三十页，共四十七页。6.若点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则有Ax0+By0+C=0；若点P（x0，y0）不在直线Ax+By+C=0上，则有Ax0+By0+C≠0，此时到直线的距离：平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0之间的距离为

在运用公式时，一定要把x、y前面的系数化(Hua)成相等。第三十一页，共四十七页。.8.两(Liang)点之间距离公式:9.(1)若一条直线过一点设成点斜式,但要注意斜不存时(2)若知直线的斜率则设成斜,但要但要注意斜不存在时

(3)若和截距有关直线一般设成截距式但要注意平行于x

轴,直于x轴,和过原点的直线,(特别是(Shi)截距相等,截距相反,截距绝对值相等,截距是几倍时)(4)看到比式想斜率，看到平方之和想距离,看到直线方程中还有第三个字母则过定点第三十二页，共四十七页。(3)过直线(Xian)l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ∈R）(除l2外)。(1)与直(Zhi)线Ax+By+C=0平行的直线方程为

Ax+By+m=0(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为Bx-Ay+m=010.直线系方程第三十三页，共四十七页。11.对称1点关于点对称(利用中点坐标公式知二(Er)求一)

2线关于点对称(1)设所求直线上任意一点为(x,y)利用中点坐标公式求出它关于点的对称点往已知直线代入(2)利用所求直线与已知是平行的从而设出直线方程利用点到直线距离相等

3点关于线对称（利用中点在对称轴上、垂直）

4.线关于线对称(分为平行与相交)第三十四页，共四十七页。例1.已知点A(5,8)，B(-4，1)，试求A点关于B点的(De)对称点C的坐标。点关于点对(Dui)称解题要点：中点公式的运用ACBxyOC(-13，-6)-4=5+x21=8+y2解:设C(x,y)则得x=-13y=-6∴···第三十五页，共四十七页。例2.求直线l1:3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称(Cheng)的直线l2的方程。线关(Guan)于点对称解题要点：

法一：l2上的任意一点的对称点在l1上;

法二：l1//l2且P到两直线等距。解：设A(x，y)为L2上任意一点则A关于P的对称点A′在L1上∴3(4-x)-(-2-y)-4=0即直线l2的方程为3x-y-10=0·AL2L1YXOPA′··第三十六页，共四十七页。例3.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l的方程为3x+y-2=0,求点A关(Guan)于直线l的对称点A’的坐标。

点关于直(Zhi)线对称解题要点：k•kAA’=-1AA’中点在l上A··A′YXO(x，y)(2，6)-3·y-4x-(-4)=-13·-4+x2+4+y2-2=0解：设A′（x,y)·（L为对称轴）第三十七页，共四十七页。例4.试求直线l1:x-y+2=0关于直线l2:x-y+1=0

对称的直线l的方(Fang)程。线关于(Yu)线对称L2L1L解：设L方程为x-y+m=0则与距离等于与距离L1L2L2L建立等量关系，解方程求mxoy第三十八页，共四十七页。例5.试求直线l1:x-y-2=0关于直线

l2:3x-y+3=0对称的直线l

的方(Fang)程。

L1L2Lx-y-2=03x-y+3=0P∴L：7x+y+17=0yXO解(Jie)：P(，)-52-92得在上任取一点Q(2,0),求其关于的对称点Q’(x,y)L1L2··Q(2,0),·Q’(x,y)3·y-0x-2=-13·y+02+3=0则X+22求出Q’点坐标后，两点式求L方程。第三十九页，共四十七页。解题要点：(先判断(Duan)两直线位置关系)（1）若两直线相交，先求交点P,方法一:再在上取一点Q求其对称点得另一点Q’两点式求L方程方法二:过交点设出直线方程,再在直线取一点利用点到直线距离相等L1求关于的对称直线L的方程的方法L1L2则与距离等于与距离L1L2L2L建立等量关系(Xi)，解方程求m(2)若‖

，设L方程为x-y+m=0L1L2L2第四十页，共四十七页。常见的(De)对称点结论1.点关于原点的对称(Cheng)点为;2.点关于点的对称点为;3.点关于x轴的对称点为;4.点关于y轴的对称点为;5.点关于y=x的对称点为;6.点关于y=-x的对称点为;(-a,-b)(2m-a,2n-b)(a,-b)(b,a)(-b,-a)(-a,b)第四十一页，共四十七页。1.直线关于原点的对称直线的方程为(Wei):2.直线关于x轴的对称直线的方程为:3.直线关于y轴的对称直线的方程为:4.直线关于直线y=x的对称直线的方程为:5.直线关于直线y=-x的对称直线的方程为第四十二页，共四十七页。（八）圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2

圆心（a,b）半径(Jing)r＞0圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)

圆心（-D/2,-E/2）r=

圆的

（九）点与圆的位置(Zhi)关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：

(1)d＞r点M在圆外；

(2)d=r点M在圆上；

(3)d＜r点M在圆内．

第四十三页，共四十七页。（十）直线与圆的(De)位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，直线L的方程Ax+By+C=0