高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第01讲 平面向量的概念（解析版）

第01讲6.1平面向量的概念

课程标准学习目标

1.通过阅读课本，查阅资料，并能结合物理中的力、位

①能结合物理中的力、位移、速度等具体背

移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别

景认识向量，掌握向量与数量的区别。

与联系；

②会用有向线段、字母表示向量，了解有向

2.认真阅读课本，在读书过程中学会用有向线段、字母

线段与向量的联系与区别。

表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别；

③理解零向量、单位向量、平行向量、共线

3.在认真学习的基础上，理解零向量、单位向量、平行

向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识

向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识

图形中这些相关的概念。

图形中这些相关的概念．学会向量的表示方法；

知识点01：向量的概念

（1）向量

在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.

①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.

②向量与向量之间不能比较大小.

【即学即练1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（）

A．频率B．拉力C．体积D．距离

【答案】B

【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向

量.

故选：B

（2）数量

只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等

（3）向量与数量的区别

①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能

比较大小

②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我

们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”

就是由大小方向、作用点所决定的).

知识点02：向量的几何表示

(1)有向线段

具有方向的线段叫做有向线段

①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以A为起点、B为终点的有向线段记

作AB(如图所示),线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作|AB|.表示有向线段时,起点一定要写在

终点的前面,上面标上箭头.

②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.

（2）向量的表示

①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.

②字母表示:向量可以用字母a,b,c,…表示

（3）向量的模

向量AB的大小称为向量AB的长度(或称模),记作|AB|.

（4）两种特殊的向量

零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0.

单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量

①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.

②要注意0与0的区别与联系:0是一个实数,0是一个向量,且有|0|；书写时0表示零向量,一定不能漏掉

0上的箭头.

③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.

④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.

【即学即练2】（2023下·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（）

A．向量的模是一个正实数B．零向量没有方向

C．单位向量的模等于1个单位长度D．零向量就是实数0

【答案】C

【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；

对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；

对于C，根据单位向量的定义可C知正确；

对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误.

故选：C.

知识点03：相等向量与共线向量

(1)平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a与b平行,记作ab.规定:零向量与任意向量平行,即对

于任意向量a,都有0a.

(2)相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

向量a与b相等,记作ab.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向

和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.

（3）共线向量

任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.

共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.

【即学即练3】（2022下·辽宁大连·高一校考阶段练习）下列命题正确的是（）

A．若|a|0，则a0B．若|a||b|，则ab

rrrr

C．若|a||b|，则a//bD．若a//b，则ab

【答案】A

【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确；

|a||b|时，只说明向a,b的长度相等，无法确定方向，

所以B，C均错；

ab时，只说明a,b方向相同或相反，没有长度关系，

不能确定相等，所以D错.

故选：A.

题型01向量的有关概念

【典例1】（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（）

（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；

（2）零向量没有方向；

（3）向量的模一定是正数；

（4）非零向量的单位向量是唯一的．

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【详解】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，

对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，

对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，

对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，

故选：A．

【典例2】（2023上·安徽阜阳·高二校考阶段练习）下列命题中错误的有（）

A．平行向量就是共线向量

B．相反向量就是长度相等且方向相反的向量

C．a,b同向，且ab，则ab

D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

【答案】C

【详解】根据向量的概念，可知A、B正确；

对于C项，向量不能比较大小，故C错误；

对于D项，根据平行向量以及相等向量的概念，可知D正确.

故选：C.

【变式1】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；

②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若ab，则ab.

其中正确命题的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；

对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；

对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；

对于④，若ab，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.

故选：A

【变式2】（2023上·广东湛江·高二校考开学考试）下列命题正确的个数是（）

（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；

（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；

（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；

（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；

（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确．

故选：B

题型02向量的几何表示

【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．

(1)终点A在起点O正东方向3m处；

(2)终点B在起点O正西方向3m处；

(3)终点C在起点O东北方向4m处；

(4)终点D在起点O西南方向2m处．

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析；

(3)答案见解析；

(4)答案见解析．

【详解】（1）从O向东作长度为3m的有向线段OA：

（2）从O向西作长度为3m的有向线段OB：

（3）从O点起向北偏东45方向作长度为4m的有向线段OC：

（4）从O点起向南偏西45方向作长度为2m的有向线段OD：

【典例2】（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（）．

A．ABB．ABC．ABD．AB

【答案】C

【详解】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.

故选：C.

【变式1】（2023·全国·高一假期作业）已知向量a如图所示，下列说法不正确的是（）

A．也可以用MN表示B．方向是由M指向NC．起点是MD．终点是M

【答案】D

【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D．

【变式2】（2023下·新疆·高一校考期中）已知向量a如下图所示，下列说法不正确的是（）

MaN

A．向量a可以用MN表示B．向量a的方向由M指向N

C．向量a的起点是MD．向量a的终点是M

【答案】D

【详解】由图可知，向量a可以用MN表示，故A正确；向量a的方向由M指向N，故B正确；

向量a的起点是M，故C正确；向量a的终点是N，故D不正确.

故选：D

题型03向量的模

【典例1】（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）如果一架飞机向西飞行150km，

再向南飞行350km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则（）．

r

A．saB．saC．saD．s与a不能比较大小

【答案】A

【详解】由题意，作图如下：

ruuur

则该飞机由A先飞到B，再飞到C，则AB150km，BC350km，aAC，

r

则飞机飞行的路程为s500km，a150235025058km，

所以sa.

故选：A.

【典例2】（2022·高一课时练习）如图，已知a是单位向量，求出图中向量b，c，d，e的模.

【答案】b2,c3,d10,e13

【详解】因为a是单位向量，所以图中小正方形的边长为1；

所以b2,c3，

2222

由勾股定理可知，d=1+3=10，e2313.

【变式1】（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆

心，C为半圆上一点，且OCB30，AB2，则AC等于（）

A．1B．2C．3D．2

【答案】A

【详解】如图，连接AC，

由OCOB，得ABCOCB30.

因为C为半圆上的点，所以ACB90，

1

所以ACAB1．

2

故选：A.

【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船

航行向量OA的长度（单位：nmile）．

【答案】2nmile．

1

【详解】由题意OA2，

cos(9030)

所以向量OA的长度为2nmile．

题型04零向量与单位向量

【典例1】（2022下·高一校考课时练习）下列说法正确的是（）

A．零向量没有大小，没有方向

B．零向量是唯一没有方向的向量

C．零向量的长度为0

D．任意两个单位向量方向相同

【答案】C

【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.

故选：C.

【典例2】（2022下·湖北鄂州·高一校联考期中）下列关于零向量的说法正确的是（）

A．零向量没有大小B．零向量没有方向

C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线

【答案】D

【详解】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；

两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；

零向量与任意向量共线，D正确．

故选：D.

【变式1】（2022·全国·高一假期作业）下列说法正确的个数为（）

①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量

②零向量没有方向

③向量的模一定是正数

④非零向量的单位向量是唯一的

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【详解】①错误，只有速度，位移是向量．

②错误，零向量有方向，它的方向是任意的．

③错误，|0|0.

④错误，非零向量a的单位向量有两个，一个与a同向，一个与a反向．

故选：A.

【变式2】（2020下·高一课时练习）下列命题中正确的个数是

①向量就是有向线段②零向量是没有方向的向量

③零向量的方向是任意的④任何向量的模都是正实数

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【详解】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；

零向量有方向，其方向是任意的，故②错，③正确；

零向量的模等于0，故④错.

故选：B.

题型05相等向量

【典例1】（2023上·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）下列命题正确的是（）

A．零向量没有方向B．若ab，则ab

C．若ab，bc，则acD．若ab，bc，则ac

【答案】C

【详解】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；

对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；

对于C项：因为ab，bc，所以可得：ac，故C项正确；

对于D项：若b0，则不共线的a，c也有a0，0c，故D项错误.

故选：C.

【典例2】（2023下·山东滨州·高一统考期中）下列说法正确的是（）

A．单位向量都相等

B．若|a||b|，则a//b

C．若|a||b|，则ab

D．若ab，则|a||b|

【答案】C

【详解】对于A，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以选项A错误；

对于B，若|a||b|，说明两个向量的模长相等，但方向不一定相同或相反，所以两向量不一定共线，所以

选项B错误；

对于C，向量的相等条件为方向相同且模长相等，所以|a||b|，则ab，所以选项C正确；

对于D，此时若|a||b|，但两向量的方向不同，满足ab，但与选项D题干矛盾，所以选项D错误.

故选：C.

【变式1】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中点，则下列

判断错误的是（）

A．ABOCB．AB∥DE

C．ADBED．ADFC

【答案】D

【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形OABC为平行四边形，故ABOC，故A正确.

对于B，因为AB//DE，故AB∥DE，故B正确.

对于C，由正六边形的性质可得ADBE，故ADBE，故C正确.

对于D，因为AD,FC交于O，故ADFC不成立，故D错误，

故选：D.

【变式2】（多选）（2023下·陕西咸阳·高一校考期中）下列命题中，错误的是（）

rr

A．若a//b，则a与b方向相同或相反

rrrr

B．若a//b，b//c，则a//c

C．若ab，bc，则ac

D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等

【答案】ABD

rr

【详解】对于A选项，因为a//b，若a0，则零向量的方向任意，A错；

rr

对于B选项，取b0，则a//b，b//c，但a、c不一定平行，B错；

对于C选项，ab，bc，则ac，C对；

对于D选项，若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反，D错.

故选：ABD.

题型06共线向量

【典例1】（多选）（2023上·高二课时练习）(多选)下列命题的判断正确的是（）

A．若向量AB与向量CD共线，则A，B，C，D四点在一条直线上

B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量AB与向量CD共线

C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量AB与向量CD不共线

D．若向量AB与向量BC共线，则A，B，C三点在一条直线上

【答案】BD

【详解】对于A，平行四边形ABCD中，ABDC，满足向量AB与CD共线，而A,B,C,D四点不共线，A

错误；

对于B，A,B,C,D四点在一条直线上，则向量AB与CD方向相同或相反，即向量AB与CD共线，B正确；

对于C，平行四边形ABCD中，满足A,B,C,D四点不共线，有ABDC，即向量AB与CD共线，C错误；

对于D，向量AB与BC共线，而向量AB与BC有公共点B，因此A,B,C三点在一条直线上，D正确.

故选：BD

【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与FE共线的向量；

(2)确定与FE相等的向量；

(3)OA与BC相等吗？

【答案】(1)BC和OA；

(2)BCFE；

(3)不相等.

【详解】（1）由O为正六边形ABCDEF的中心，得与FE共线的向量有BC和OA.

（2）由于BC与FE长度相等且方向相同，所以BCFE.

（3）显然OA//BC，且OABC，但OA与BC的方向相反，所以这两个向量不相等.

【变式1】（多选）（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）下列说法错误的是（）

A．有向线段AB与BA表示同一向量

B．两个有公共终点的向量是平行向量

C．零向量与单位向量是平行向量

D．单位向量都相等

【答案】ABD

【详解】对A,有向线段AB与BA表示相反向量，不是同一向量，A错误；

对B，两个有公共终点的向量不一定是平行向量，B错误；

对C，我们规定：零向量与任意向量是平行向量，C正确；

对D，单位向量仅是模长相等，方向不确定，D错误；

故选:ABD.

【变式2】（多选）（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）下列命题中错误的有（）

A．起点相同的单位向量，终点必相同；

B．已知向量AB∥CD，则四边形ABCD为平行四边形；

C．若a//b,b//c，则a//c；

D．若ab,bc，则ac

【答案】AC

【详解】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误；

四边形ABCD中，AB∥CD，则AB//CD且ABCD，四边形ABCD为平行四边形，B选项正确；

当b0时，满足a//b,b//c，但不能得到a//c，C选项错误；

由向量相等的条件可知，若ab,bc，则ac，D选项正确.

故选：AC

第01讲6.1平面向量的概念

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1．（2023下·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（）

A．身高是一个向量

B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量

C．有向线段由方向和长度两个要素确定

D．有向线段MN和有向线段NM的长度相等

【答案】D

【分析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.

【详解】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；

B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；

C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；

D：有向线段MN和有向线段NM的长度相等，故D对.

故选：D

2．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）若向量a与向量b不相等，则a与b一定（）

A．不共线B．长度不相等

C．不都是单位向量D．不都是零向量

【答案】D

【分析】向量相等为长度和方向都相同，所以若向量与向量不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至

少有一个不同，分析选项可得结果.

【详解】若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同，

所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，

所以A，B，C都是错误的，

但是a与b一定不都是零向量．

故选：D.

3．（2023下·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向

量，其终点必相同；②若a∥b，则a与b的方向相同或相反；③若a∥b，且b∥c，则a∥c.其中，正确

的命题个数为（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【分析】根据平面向量的基本概念一一判定即可.

【详解】相等向量即方向相同大小相等，故两个相同向量同起点比同终点，即①正确；

零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当a∥b，若a0，而b是非零向量，

则不满足两向量方向相同或相反，即②错误；

同理若a∥b，且b∥c时，b0，a、c是非零向量，也得不到a∥c，即③错误.

综上正确的是1个.

故选：B

4．（2018·高一课时练习）如图，在四边形ABCD中，若ABDC，则图中相等的向量是（）

A．AD与CBB．OB与ODC．AO与OCD．AC与BD

【答案】C

【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可.

【详解】因为ABDC，所以四边形ABCD是平行四边形，

所以ADCB，OBOD，AOOC，ACBD，故ABD错误，C正确.

故选：C.

5．（2022·高一课时练习）给出下列四个命题：①若a0，则a0；②若ab，则ab或ab；

③若a//b，则ab；④若a0，则a0.其中的正确命题有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【分析】根据向量的概念及零向量，平行向量的概念进行判断.

【详解】对于①，前一个零是实数，后一个应是零向量，故①错误；

对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定，故②错误；

对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等，③错误；

对于④，若a0，则a0，④正确.

故选：A.

6．（2022·高一课时练习）已知向量a,b是两个非零向量，AO,BO分别是与a,b同方向的单位向量，则以下

各式正确的是（）

A．AOBOB．AOBO或AOOB

C．AOOBD．AO与BO的长度相等

【答案】D

【分析】利用已知条件，结合方向相同的向量、单位向量的意义判断作答.

rrrr

【详解】依题意，a0,b0，显然向量a,b的关系不确定，

而AO与a同方向，BO与b同方向，因此AO与BO关系不确定，A，B，C都错误，

又AO,BO都是单位向量，所以AO与BO的长度相等，D正确.

故选：D

7．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（）

A．任一非零向量都可以平行移动B．e1,e2是单位向量，则e1e2

C．CDDCD．若ABCD，则ABCD

【答案】D

【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确；

由单位向量对于可知，e1e2，故B正确；

因为CDDC，所以CDDC，故C正确；

因为两个向量不能比较大小，故D错误；

故选：D

8．（2023下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）关于向量a，b，下列命题中，正确的是（）

A．若ab，则abB．若ab，则a∥b

C．若ab，则abD．若a∥b，b∥c，则a∥c

【答案】B

【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，当ab时，a,b方向可能不同，ab未必成立，A错误；

对于B，若ab，则a,b反向，a//b，B正确；

对于C，ab只能说明a,b长度的大小关系，但a,b还有方向，无法比较大小，C错误；

对于D，当b0时，a//b，b//c，此时a,c未必共线，D错误.

故选：B.

二、多选题

9．（2023下·四川泸州·高一泸县五中校考阶段练习）下面关于向量的说法正确的是（）

A．单位向量：模为1的向量

B．零向量：模为0的向量

C．平行（共线）向量：方向相同的向量

D．相等向量：模相等，方向相同的向量

【答案】ABD

【分析】由单位向量、零向量、相等向量、共线向量的概念可知.

【详解】C项，方向相反的向量也是共线向量，故错误；

ABD项，由单位向量、零向量、相等向量概念可知，正确.

故选：ABD.

10．（2023下·四川眉山·高一校考期中）若a,b都是非零向量，且ab，则（）

A．a,b方向相同B．a,b方向相反C．abD．ab0

【答案】AC

【分析】根据相等向量的概念判断各选项即可.

【详解】由相等向量的概念可知，由a,b都是非零向量，且ab，

则a,b方向相同，长度相等，故AC正确，B错误；

而ab2a0，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

11．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的向量a,b,c,d,e中（小正方形的边长为1），找出存在下列关

系的向量：

①共线向量：；

②方向相反的向量：；

③模相等的向量：.

【答案】a与d，b与ea与d，b与ea,c,d

【分析】观察图形，利用共线向量、方向相反向量、模相等的向量的意义判断作答.

【详解】观察图形，a//d,b//e，因此a与d是共线向量，并且方向相反；b与e是共线向量，并且方向相

反，

显然|a|5,|c|5,|d|5，因此a,c,d的模相等.

故答案为：a与d，b与e；a与d，b与e；a,c,d

12．（2023下·海南儋州·高一校考阶段练习）下列各量中，向量有：．（填写序号）

①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．

【答案】③⑤⑥

【分析】根据向量的概念判断即可.

【详解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度.

故答案为：③⑤⑥.

四、问答题

13．（2023·全国·高一课堂例题）在图中的45方格纸中有一个向量AB，分别以图中的格点为起点和终点

作向量，其中与AB相等的向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个（AB除外）？

【答案】7个，15个.

【分析】根据给定条件，利用相等向量的定义，确定给定图形中的向量起点即可判断作答.

【详解】当向量CD的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与AB相等的向量，

这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与AB相等；

与AB长度相等的共线向量（除AB外），有与AB相等的向量，还有与AB方向相反且长度相等的向量，

所以与AB长度相等的共线向量共有72115（个）.

14．（2023下·高一课时练习）如图所示，ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，

在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的所有有向线段表示的向量中：

(1)写出与EF相反的向量；

(2)写出与EF的模相等的向量；

(3)写出与EF相等的向量.

【答案】(1)FE，BD，DC

(2)FE，BD，DB，DC，CD

(3)DB，CD

【分析】（1）根据已知可推得EF//BC，且EFBDDC.结合图象，即可得出答案；

（2）根据已知，结合（1）的结论以及图象，即可得出答案；

（3）根据（1）（2），结合图象，即可得出答案.

【详解】（1）因为E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，

所以，EF//BC，且EFBDDC.

所以，与EF相反的向量为FE，BD，DC.

（2）因为ABC的三边均不相等，

又EFBDDC，

所以，与EF的模相等的向量为FE，BD，DB，DC，CD.

（3）由（1）（2）可知，与EF相等的向量为DB，CD.

B能力提升

1．（2023下·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（）

A．CDDC

B．e1、e2是单位向量，则e1e2

C．若CDDC，则ABCD

D．任一非零向量都可以平行移动

【答案】C

【详解】对于A项，因为CDDC，所以|CD||DC|，故A项正确；

对于B项，由单位向量的定义知，|e1||e2|，故B项正确；

对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；

对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确.

故选：C.

2．（2023下·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）下列命题：①若ab，则ab；

②若ab，