高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第03讲 向量的减法运算（解析版）

第03讲6.2.2向量的减法运算

课程标准学习目标

1.通过阅读课本在向量加法的基础上，理解向量减法与

数量减法的异同，并学会有加法理解减法的运算与意

①借助实例和平面向量的几何表示，理解相义，提升数学运算能力；

反向量的含义、向量减法的意义及减法法2.熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形

则。法则，并能熟练地运用这两个法则在减法运算的题目中

②掌握向量减法的几何意义。灵活的作两个向量的加法与减法两种运算；

③能熟练地进行向量的加、减综合运算。3.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接

加法，减法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法

与减法的运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓

广；

知识点01：向量的减法

（1）相反向量

与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量，记作a.

①零向量的相反向量仍是零向量

②任意向量与其相反向量的和是零向量，即:a(a)0

③若a,b互为相反向量,则ab，ba，ab0.

（2）向量减法定义

向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即aba(b).

求两个向量差的运算叫做向量的减法.

向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的

加法进行运算.

（3）向量减法的几何意义

已知向量a,b,在平面内任取一点O,作OAa,OBb,则向量abBA.如图所示

如果把两个向量a,b的起点放在一起,则ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的

终点的向量.

【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量

abc．

【答案】答案见解析

【详解】如图，作OAa,OBb，则BA即为ab，

再作BCc，则向量CA即为abc．

知识点02：向量三角不等式

①已知非零向量a，b，则||a||b|||ab||a||b|（当a与b反向共线时左边等号成立；当a与b同

向共线时右边等号成立）；

②已知非零向量a，b，则||a||b|||ab||a||b|（当a与b同向共线时左边等号成立；当a与b反

向共线时右边等号成立）；

记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如||a||b|||ab||a||b|中，

||a||b|||ab|中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：

||a||b|||ab||a||b|中||ab||a||b|中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；

【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的是（）

rrrr

A．若a//b，b//c，则a//c

B．若a＝b则a=b或a=b

rr

C．对于任意向量a,b，有a＋ba－b

rr

D．对于任意向量a,b，有a＋ba＋b

【答案】D

rrrr

【详解】对于A，当b＝0时，满足a//b，b//c，但a,c不一定平行，故A错误；

对于B，当a＝2，1，b＝1，2时，满足a＝b，但a=b，a=b不成立，故B错误；

rr

对于C，若非零向量a,b方向相反，则a＋ba－b，故C错误；

rr

对于D，当a,b中有零向量时，a＋ba＋b；

rrrr

当a,b为非零向量时，若a,b共线且方向相同时，则a＋ba＋b，

rrrr

当a,b为非零向量时，若a,b共线且方向相反时，则a＋ba＋b，

rrrr

当a,b为非零向量时，且a,b不共线时，如图所示，a＋ba＋b，

综上，a＋ba＋b，故D正确．

故选：D．

题型01向量减法及其几何意义

【典例1】（2022·高一课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且ABa，

uuurr

ACb，AEc，试用向量a、b、c表示向量BE与CE.

uurrruurrr

【答案】BEca，CEcb

【详解】解：由平面向量的减法可得BEAEABca，CEAEACcb.

【典例2】（2023下·四川自贡·高一统考期末）已知非零向量a,b满足abab，则a与b的夹角

为．

【答案】/60

3

ruurruuurrruur

【详解】如图，设aOA,bOB,abBA，

uuruuuruur

因为abab，即OAOBBA，可知OAB为等边三角形，

π

所以a与b的夹角为AOB.

3

π

故答案为：.

3

【变式1】（2022·高一课时练习）已知向量a，b，c如图所示.

rrr

（1）求作向量abc；

（2）求作向量abc.

【答案】作图见解析

【详解】解：如图所示.

（1）（2）

【变式2】（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）在ABC中，ACCBACABABBC，则ABC

是（）

A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形

【答案】A

【详解】因为ACCBAB，ACABBC，ABBCAC，ACCBACABABBC，

所以ABBCAC，

所以ABC是等边三角形．

故选：A．

题型02利用向量加减法运算化简表达式

【典例1】（2023·全国·高一假期作业）化简

(1)ABADDC；

(2)(ABCD)(ACBD)．

【答案】(1)CB

(2)0

【详解】（1）ABADDCDBDCCB

（2）(ABCD)(ACBD)ABCDACBDABDCCABD

(ABBD)(DCCA)ADDA0

【典例2】（2023·高一课前预习）化简下列各式：

(1)(AB＋MB)＋(OBMO)；

(2)ABADDC；

(3)(ABCD)(ACBD)；

(4)OAODAD；

(5)ABDABDBCCA

【答案】(1)AB(2)CB(3)0(4)0(5)AB

【详解】（1）法一：原式ABMBBOOM(ABBO)(OMMB)AOOBAB；

法二：原式ABMBBOOMAB(MBBO)OMABMOOMAB0AB；

（2）法一：原式DBDCCB

法二：原式AB(ADDC)ABACCB

（3）方法一：(ABCD)(ACBD)ABACCDBDABBDDCCAADDA0；

方法二：(ABCD)(ACBD)ABCDACBDABACCDBDCBCDBDDBBD0；

uuruuuruuuruuuruuurr

（4）OAODADDAAD0

（5）ABDABDBCCAABDAACBDBCABDCCDAB

【典例3】（2022·高一课时练习）化简下列各式：

(1)AOOBCACB；

(2)MNMDNQDQ.

【答案】(1)0

(2)0

【详解】（1）AOOBCACBAOOBCACB

ABBA0；

（2）MNMDNQDQMNMDNQQD

DNND0

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）化简下列各式：

(1)OMONMPNA；

(2)ADBMBCMC．

【答案】(1)AP

(2)AD

【详解】（1）OMONMPNANMMPNANPNAAP.

（2）(ADBM)(BCMC)ADMBBCCMAD(MBBCCM)

AD0AD

【变式2】（2022·高一课前预习）化简：

(1)BAODOABC；

(2)ACBOOADCDOOB.

【答案】(1)CD

(2)0

【详解】（1）解：BAODOABCBABCODOACAADCD；

（2）解：ACBOOADCDOOBACBAOBOCACCBBAABBA0.

【变式3】（2022·高一课前预习）化简下列式子：

(1)NQPQNMMP；

(2)ABCDACBD；

【答案】(1)0

(2)0

uuuruuuruuuruuuruuurr

【详解】（1）原式NPMNMPNPPN0

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuruuurr

（2）原式ABCDACBDABACDCDBCBBC0

题型03向量的模

【典例1】（2021·高一课时练习）已知四边形ABCD是边长为2的正方形，求：

(1)ABBC；

(2)ABCABC．

【答案】(1)22

(2)4

【详解】（1）如图：

ABBCAC22

（2）ABCABCCBBC2CB4

r

【典例2】（2023·高一课时练习）已知向量a，b满足|a|3，|b|4，则|ab|的最大值为．

【答案】7

rrrr

【详解】因为|ab|ab7，当且仅当a，b反向时，等号成立，

所以|ab|的最大值为7.

故答案为：7.

【变式1】（2022·高一课时练习）已知菱形ABCD的边长为1.且A120，求ABBCCD的值.

【答案】3

【详解】因为|AC||AB|1

22

所以ABBCCDACBAACABACAB2ACAB

1

112113

2

【变式2】（2022·高一课时练习）证明：当向量a，b不共线时，ababab.

【答案】证明见解析

【详解】证明：因为向量a，b不共线，如图，在OAB中，

由三角形两边之和大于第三边得：abab，

由三角形两边之差小于第三边得：abab，

所以ababab.

题型04利用已知向量表示其它向量

uuurruuurur

【典例1】（2022·高一课时练习）如图所示，已知OAa，OBb，OCc，ODd，OEe，OFf，

试用a,b,c,d,e,f表示下列各式：

(1)ADAB；

(2)ABCF；

(3)EFCF．

urr

【答案】(1)db

(2)bafc

rr

(3)ce

【详解】（1）ADABODOAOBOAdabadb

（2）ABCFOBOAOFOCbafc

（3）EFCFOFOEOFOCfefcce

【典例2】（2022·高一课时练习）如图，在五边形ABCDE中，四边形ACDE是平行四边形，且ABa，ACb，

uuurr

AEc，试用a，b，c表示向量BD，BC，BE，CD及CE．

【答案】BDabc；BCab；BEac；CDc；CEbc

uuurr

【详解】解：由四边形ACDE是平行四边形，且ABa，ACb，AEc，

可得BDBCCDACABAEabc，

BCACABab，

BEAEABac，

CDAEc，

CEAEACbc.

【变式1】（2021·高一课时练习）如图所示，BC=a，CDb，DEc.

(1)用a,b表示DB；

(2)用b,c表示EC.

【答案】(1)ab；

(2)bc.

【详解】（1）DBCBCDBCCDab.

（2）ECCECDDEbc.

【变式2】（2019·全国·高三专题练习）已知点B是平行四边形ACDE内一点，且AB＝a，AC＝b，AE＝

c，试用a,b.c表示向量CD、BC、BE、CE及BD．

【答案】答案见解析.

【详解】∵四边形ACDE为平行四边形．

∴CD＝AE＝c；

BC＝AC－AB＝ba；

BE＝AE－AB＝ca；

CE＝AE－AC＝cb；

BD＝BC＋CD＝ba

c．

题型05向量加减法运算的实际应用

【典例1】（2021下·高一课时练习）某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风向相同，此时风速大小为v，

则此人实际感到的风速为（）

A．avB．va

C．avD．v

【答案】A

【详解】由题意，某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风向相同，此时风速大小为v，

根据向量的运算法则，可得此人实际感到的风速为av.

故选：A.

rr

【典例2】（2023·高一课时练习）在a“向北走20km”，b“向西走15km”，则|ab|，ab与

a的夹角的余弦值为．

4

【答案】25/0.8

5

ruurruuur

【详解】如图，在矩形OACB中，设aOA,bOB，则aOA20,bOB15，

rruuruuuruur

空1：|ab|OAOBBA20215225；

空2：因为abOAOBOC，则ab与a的夹角即为AOC，

OAOA204

所以cosAOC.

OCAB255

4

故答案为：25；.

5

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）在ABC中，若AB|AC|ABAC，则ABC的形状为（）

A．等边三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

【答案】A

【详解】因为ABACCB，AB|AC|ABAC，

所以ABACCB，

所以ABC为等边三角形．

故选：A

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1．（2023上·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）化简ABBCAD等于（）

A．DCB．CDC．ADD．CB

【答案】A

【分析】根据向量加减运算法则计算出结果.

【详解】ABBCADACADDC.

故选：A

2．（2023·全国·高三专题练习）已知下列各式：①ABBCCA；②OAOBBOCO；

③ABACBDCD.其中结果为零向量的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【分析】根据平面向量的加法、减法运算法则，逐一计算即可求得结果.

【详解】①中ABBCCAACCAACAC0；

②中OAOBBOCOOACOCA；

③ABACBDCDCBBC0；

即①③结果为零向量，

故选：C.

3．（2019下·北京东城·高一统考期末）如图，向量AB=a，ACb，CDc，则向量BD（）

rrrrrrrrrrrr

A．abcB．abcC．bacD．bac

【答案】C

【分析】根据向量的加减法求解即可.

【详解】依题意，得BDADABACCDABbca，

故选：C．

4．（2023下·云南西双版纳·高一校考期中）在四边形ABCD中，若ACABAD，且|ABAD||ABAD|，

则（）

A．在四边形ABCD是矩形

B．在四边形ABCD是菱形

C．在四边形ABCD是正方形

D．在四边形ABCD是平行四边形

【答案】A

【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可判断ABCD为平行四边形，再由向量加法、减法运算和模的

含义可得对角线相等，然后可判断四边形形状.

【详解】因为ACABAD，所以四边形ABCD为平行四边形，

又|ABAD||ABAD|，所以|AC||DB|，即对角线相等，所以四边形ABCD为矩形.

故选：A

uuur

5．（2023·高一课时练习）若|OA|12，|OB|5，则|AB|的取值范围是（）

A．7,17B．(7,17)C．7,12D．(7,12)

【答案】A

【分析】由向量模长的三角不等式可求得|AB|的取值范围．

【详解】由向量模长的三角不等式可得ABOBOA7，当且仅当OA、OB的方向相同时，等号成立；

ABOAOB17，当且仅当OA、OB的方向相反时，等号成立，

因此，|AB|的取值范围是7,17，

故选：A．

6．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）在ABC中，若|AB||AC||ABAC|，

则ABC的形状为（）

A．钝角三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等边三角形

【答案】D

【分析】根据向量的减法法则可得ABACCB，由三边相等关系即可得出结果.

【详解】解：因为ABACCB，AB|AC|ABAC，

所以ABACCB，

所以ABC为等边三角形．

故选：D

7．（2022下·广东广州·高一华南师大附中校考期中）下列向量运算结果错误的是（）

A．abdeB．cfd

C．acbD．cdeg

【答案】A

【分析】根据向量加减法的线性运算，直接判断选项即可.

【详解】对于A，abdABBCCDADfe，A错误；

对于B，fdADCDADDCACc，B正确；

对于C，cbACBCACCBABa，C正确；

对于D，cdeACCDDEAEg，D正确；

故选：A

uuur

8．（2022·高一课时练习）若AB5，AC8，则BC的取值范围是（）

A．3,8B．3,8

C．3,13D．3,13

【答案】C

【分析】利用向量模的三角不等式可求得BC的取值范围.

【详解】因为BCACAB，所以，ACABBCACAB，即3BC13.

故选：C.

二、多选题

9．（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）已知A，B，C，D四点不共线，下列等式能判断ABCD为平行

四边形的是（）

A．ABDCB．OBOAOCOD（O为平面内任意一点）

C．ABADACD．OAODOBOC（O为平面内任意一点）

【答案】ABC

【分析】根据平面向量线性运算法则及相等向量的定义判断即可.

【详解】因为A，B，C，D四点不共线，

对于A：ABDC，所以AB//DC且ABDC，所以ABCD为平行四边形，故A正确；

对于B：因为OBOAOCOD，所以ABDC，所以AB//DC且ABDC，

所以ABCD为平行四边形，故B正确；

对于C：因为ABADAC，即ABADABBC，

所以ADBC，所以AD//BC且ADBC，

所以ABCD为平行四边形，故C正确；

对于D：因为OAODOBOC，所以OAOBOCOD，

所以BADC，所以四边形ABDC为平行四边形，故D错误；

故选：ABC

10．（2022·湖南·模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（）

A．若线段ACABBC，则向量ACABBC

B．若向量ACABBC，则线段ACABBC

C．若向量AB与BC共线，则线段ACABBC

D．若向量AB与BC反向共线，则|ABBC|ABBC

【答案】AD

【分析】A选项，根据ACABBC得到点B在线段AC上，进行判断A正确；BC选项，可举出反例；D

选项，根据向量线性运算推导出答案.

【详解】选项A：由ACABBC得点B在线段AC上，则ACABBC，A正确：

选项B；三角形ABC，ACABBC，但ACABBC，B错误；

对于C：AB，BC反向共线时，ACABBCABBC，故ACABBC，C错误；

选项D：AB,BC反向共线时，ABBCAB(BC)ABBC，故D正确．

故选：AD．

三、填空题

11．（2023上·广东东莞·高二校考阶段练习）简化ABCDACBD．

【答案】0

【分析】根据向量加减法法则运算即可.

【详解】ABCDACBDABACCDBDCBBDCDCDCD0，

故答案为：0

12．（2023下·高一单元测试）任给两个向量a和b，则下列式子恒成立的有．

①ab≥ab②abab

③abab④abab

【答案】②③

【分析】根据向量加法的平行四边形法则可判断①；根据向量减法的三角形法则可判断②③④.

【详解】①根据向量加法的平行四边形法则，得abab，则①不恒成立；

②根据向量减法的三角形法则，得abab，则②恒成立；

③根据向量减法的三角形法则，得abab，则③恒成立；

④根据向量减法的三角形法则，得abab，则④不恒成立.

故答案为：②③.

四、解答题

13．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a、b，求作ab．

(1)(2)

(3)(4)

【答案】【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面向量的减法法则可作出向量ab.

【详解】（1）解：作OAa，OBb，则abOAOBBA，即BA即为所求作的向量.

（2）解：作OAa，OBb，则abOAOBBA，即BA即为所求作的向量.

（3）解：作OAa，OBb，则abOAOBBA，即BA即为所求作的向量.

（4）解：作OAa，OBb，则abOAOBBA，即BA即为