高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第04讲 事件的相互独立性（解析版）

第04讲10.2事件的相互独立性

课程标准学习目标

①理解两个事件相互独立的概念。

②能进行一些与事件独立有关的概念的计1.数学抽象：两个事件相互独立的概念；

算。2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算；

③通过对实例的分析，会进行简单的应用。

知识点01：相互独立事件的概念

对任意两个事件A与B，如果P(AB)P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually

independent)，简称为独立．

性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立

性质2：如果事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立

则：PABPAPB，PABPAPB，PABPAPB

【即学即练1】

知识点02：相互独立事件概率的求法

已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有

事件表示概率

A，B同时发生ABP(AB)P(A)P(B)

A，B都不发生ABP(AB)P(A)P(B)[1P(A)][1P(B)]

A，B恰有一个发

ABABP(ABAB)P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)

生

A，B中至少有一P(ABABAB)P(AB)P(AB)P(AB)

ABABAB

个发生或P(ABABAB)1P(AB)

A，B中至多有一P(ABABAB)P(AB)P(AB)P(AB)

ABABAB

个发生或P(ABABAB)1P(AB)

知识点03：互斥事件与相互独立事件的区别与联系

相互独立事件互斥事件

两个事件不可能同时发生，

判断方法一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响

即AB

事件A与B互斥，

概率公式事件A与B相互独立等价于P(AB)P(A)P(B)

则P(AB)P(A)P(B)

题型01相互独立事件的判断

【典例1】（2024上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）设A、B是两个事件，以下说法正确

的是（）．

A．若PAPB1，则事件A与事件B对立

B．若PAPB1，则事件A与事件B互斥

C．若PABPAPB，则事件A与事件B互斥且不对立

D．若PABPAPB，则事件A与事件B相互独立

【答案】D

【详解】对于A和B，例如抛掷一枚质地均匀的骰子，

记事件A为“出现偶数点”，事件B为“出现1点或2点或3点”，

则PA0.5，PB0.5，PAPB1，

但事件A，B既不互斥也不对立，故A和B错误；

对于C，在不同的试验下，即使PABPAPB，也不能说明事件A与事件B一定互斥，故C错误；

对于D，根据相互独立事件的定义可知，若PABPAPB，

则事件A与事件B相互独立，故D正确；

故选：D

【典例2】（多选）（2024上·山东潍坊·高二统考期末）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其

中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出

的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出

的两球同色”，则（）

A．A与D相互独立.B．A与B相互独立

C．B与D相互独立D．A与C相互独立

【答案】BCD

【详解】不放回依次取出两个，基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43，

共12种，

事件A“13,14,23,24,31,41,32,42”；

事件B“12,13,14,21,23,24”；

事件C“12,21,31,41,32,42”；

事件D=“12,21,34,43”.

事件AD，事件AB“13,14,23,24”，

事件BD“12,21,”，事件AC“31,41,32,42”，

82616141

则PA,PB，PC，PD，

123122122123

412141

PAD0，PAB，PBD，PAC，

123126123

所以PADPAPD，所以A与D不相互独立；

PABPAPB，所以A与B相互独立；

PBDPBPD，所以B与D相互独立；

PACPAPC，所以A与C相互独立；

故选：BCD

【典例3】（多选）（2024上·广东佛山·高二统考期末）有5个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5，

从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记事件A为“第一次取出的球的数字是奇数”，事件B为“两次取出

的球的数字相同”，事件C为“两次取出的球的数字之和是6”，则（）

A．A与B相互独立B．A与C相互独立

C．B与C相互独立D．AB与C相互独立

【答案】ABC

351

【详解】由题意可知，PA，PB，

5555

记第一次取出的球的数字为a，第二次取出的球的数字为b，其中a、b1,2,3,4,5，

用a,b表示两次取球的号码，

51

则事件C包含的基本事件有：1,5、2,4、3,3、4,2、5,1，则PC，

555

33

事件AB包含的基本事件有：1,1、3,3、5,5，则PAB，

5525

33

事件AC包含的基本事件有：1,5、3,3、5,1，则PAC，

5525

11

事件BC包含的基本事件有：3,3，则PBC，

5525

11

事件ABC包含的基本事件有：3,3，则PABC，

5525

313

对于A选项，PAPBPAB，则A与B相互独立，A对；

5525

313

对于B选项，PAPCPAC，所以，A与C相互独立，B对；

5525

111

对于C选项，PBPCPBC，所以，B与C相互独立，C对；

5525

313

对于D选项，PABPCPABC，所以，AB与C不相互独立，D错.

255125

故选：ABC.

【变式1】（多选）（2024上·辽宁大连·高一期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从

中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取

出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，

则（）

A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立

C．乙与丙不相互独立D．丙与丁不相互独立

【答案】BCD

【详解】两次取出的球的数字之和为8，有2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共5种情况，

55

所以P丙；两次取出的球的数字之和为7，有1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1共6种情况，

6636

611

所以P丁；P甲P乙=；

6666

对于A，P(甲丙)0P(甲)P(丙)，故甲与丙不相互独立，错误；

1

对于B，P(甲丁)P(甲)P(丁)，故甲与丁相互独立，正确；

36

1

对于C，P(乙丙)P(乙)P(丙)，故乙与丙不相互独立，正确；

36

对于D，P(丙丁)0P(丁)P(丙)，故丙与丁不相互独立，正确.

故选：BCD.

【变式2】（多选）（2024上·江西吉安·高一统考期末）某人连续掷两次骰子，A1表示事件“第一次掷出的

点数是2”，A2表示事件“第二次掷出的点数是3”．A3表示事件“两次掷出的点数之和为5”，A4表示事件“两

次掷出的点数之和为9”．则（）

A．A1与A2相互独立B．A1与A3相互独立

C．A2与A3不相互独立D．A2与A4不相互独立

【答案】ACD

11

【详解】由题意知PA，PA，

1626

111111111

PA，

3666666669

111111111

PA．

4666666669

111

对A：∵PAAPAPA，∴A与A相互独立，故A正确．

1266361212

111

对B：∵PAAPAPA，∴A1与A3不相互独立，故B错误．

13663613

111

对C：∵PAAPAPA，∴A2与A3不相互独立，故C正确．

23663623

111

对D：∵PAAPAPA，∴A2与A4不相互独立，故D正确．

24663624

故选：ACD.

【变式3】（2024上·上海·高二上海市行知中学校考期末）已知事件A与事件B相互独立，且PA0.3，

PB0.6，则PAB.

9

【答案】0.18/

50

【详解】因为事件A与事件B相互独立，

所以PABPAPB0.30.60.18，即PAB0.18.

故答案为：0.18.

题型02相互独立事件与互斥事件

2573

【典例1】（2024上·全国·高三专题练习）已知PAB，PA，PB，则事件A与B的关

3284

系是（）

A．A与B互斥不对立B．A与B对立

C．A与B相互独立D．A与B既互斥又独立

【答案】C

771

【详解】由PA可得PA1PA1，

888

7

因为PAPBPAB，则A与B不互斥，不对立，

8

3

由PABPAPBPAB可得PAB，

32

3

因为PAPBPAB，所以A与B相互独立

32

故选：C

【典例2】（2023上·湖南益阳·高三统考阶段练习）给定事件A,B,C，且PC0，则下列结论：①若PA0，

PB0且A,B互斥，则A,B不可能相互独立；②若PACPBC1，则A,B互为对立事件；③若

PABCPAPBPC，则A,B,C两两独立；④若PABPAPAPB，则A,B相互独立.其中

正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【详解】对于①，若A,B互斥，则PAB0，又PAPB0，

PABPAPB，A,B不相互独立，①正确；

PACPBC

对于②，PACPBC1，PACPBCPC；

PCPC

扔一枚骰子，记事件A为“点数大于两点”；事件B为“点数大于五点”；事件C为“点数大于一点”，

4215

则PACPA，PBCPB，PC，

6366

满足PACPBCPC，但A,B不是对立事件，②错误；

对于③，扔一枚骰子，记事件A为“点数大于两点”；事件B为“点数大于五点”；事件C为“点数大于六点”，

4211

则PA，PB，PC0，PABC0，PABPB，

6366

满足PABCPAPBPC，此时PABPAPB，

事件A,B不相互独立，③错误；

对于④，AABAB，事件AB与AB互斥，PAPABPAB，

又PABPAPAPB，PAPABPAPAPB，

即PABPAPB，事件A,B相互独立，④正确.

故选：B.

【典例3】（多选）（2023下·高一单元测试）下列四个命题中错误的是（）

A．若事件A，B相互独立，则满足PABPAP(B)

B．若事件A，B，C两两独立，则P(ABC)P(A)P(B)P(C)

C．若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)P(B)P(C)1

D．若事件A，B满足PAPB1，则A，B是对立事件

【答案】BCD

【详解】若事件A，B相互独立，则满足PABPAP(B)，A说法正确；

举例说明：投掷两个骰子，记事件A：第一个骰子的点数为奇数，

事件B：第二个骰子点数为奇数，

事件C：两个骰子的点数之和为奇数，

11

于是有PAPBPC，PABPBCPAC，

24

PABC0，可以看出事件A，B，C两两独立，但A，B，C不互相独立，所以P(ABC)P(A)P(B)P(C)，

B说法错误；

举例说明：投掷一个骰子三次，记事件A：第一次骰子的点数为1，

事件B：第二次骰子点数为2，

事件C：第三次骰子点数为3，

1

则P(A)P(B)P(C)

6

事件A，B，C被此互斥，则P(A)P(B)P(C)1，C说法错误；

举例说明：记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，

事件B：投掷一枚硬币，正面朝上，

1

则PAPB，满足PAPB1，但A，B不是对立事件，

2

D说法错误.

故选：BCD

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚

为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（）

A．A与B，A与C均相互独立B．A与B相互独立，A与C互斥

C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立

【答案】A

111

【详解】由题意得P(A)P(B)P(C)，PAB,P(AC)，

244

所以PABPAPB0,PACPAPC0.

所以A与B，A与C均相互独立，A与B，A与C均不互斥.

故选：A.

121

【变式2】（2023上·高二单元测试）若P(AB)，P(A)，P(B)，则事件A与B的关系是（）

933

A．事件A与B互斥B．事件A与B对立

C．事件A与B相互独立D．事件A与B既互斥又相互独立

【答案】C

12121

【详解】由P(AB)，P(A)，P(B)，可得P(A)1P(A)1，

93333

1

所以P(AB)P(A)P(B)0，

9

所以事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，则事件A与B不对立．

故选：C

【变式3】（2023下·高一单元测试）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码

的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.

（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；

（2）求恰有一人破译密码的概率.

【答案】（1）0.42；（2）0.46.

【详解】（1）事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，事件A，B相互独立，

由题意可知PA0.7,PB0.6，

所以P(AB)PAPB0.70.60.42；

（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为ABAB，且AB,AB互斥

所以PABABPABPABPAPBPAPB

10.70.60.710.60.46.

题型03独立事件的乘法公式

【典例1】（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学

21

生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、

315

3

丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，则甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家

5

庭回答正确这道题的概率为.

13

【答案】

30

【详解】甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别记为P1,P2,P3，

2214433

由题意P，(1)(1P)，P，PPP，P，

133315352325524

所以甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率是

2342342341313

PPP(1P)P(1P)P(1P)PP(1)(1)(1)故答案为：．

1231231233453453453030

【典例2】（2024上·江西上饶·高一校考阶段练习）某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安

21

全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个

315

3

家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，

5

(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.

34

【答案】(1)，

45

5

(2)

6

【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”为事件A，“乙家庭回答正确这道题”为事件B，

“丙家庭回答正确这道题”为事件C，

213

则P(A)，P(A)P(C)，P(B)P(C)，

3155

13

即[1P(A)][1P(C)]，P(B)P(C)，

155

34

所以P(B)，P(C)，

45

34

所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，；

45

2342

（2）有3个家庭回答正确的概率为PP(ABC)P(A)P(B)P(C)，

33455

有2个家庭回答正确的概率为：

PP(ABCABCABC)，

234534534530

1325

所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率PPP.

233056

【典例3】（2023下·全国·高一校联考开学考试）甲、乙两位同学独立地参加某高校的入学面试，入学面试

时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答

3

对每道题目的概率均为，乙答对每道题目的概率依次为2，2，1，且甲、乙两人对每道题能否答对相互

5332

独立.

(1)求乙3道题都回答且通过面试的概率；

(2)求甲没有通过面试的概率；

(3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率.

2

【答案】(1)

9

44

(2)

125

169

(3).

375

【详解】（1）由题意得，乙3道题都回答且通过面试的概率为

2111212

P.

3323329

（2）设事件A表示“甲最终通过面试”，

3332323381

则PA，

55555555125

8144

∴甲没有通过面试的概率为1PA1，

125125

（3）设事件B表示“乙最终通过面试”，

222111212

则PB，

333323323

设事件C表示“甲、乙两人恰有一人通过面试”，则CABAB，

∵AB与AB为互斥事件，A与B，A与B相互独立，

∴PCPABABPABPABPAPBPAPB

442811169

，

12531253375

169

∴甲、乙两人恰有一人通过面试的概率为.

375

【变式1】（2024上·湖北十堰·高二统考期末）甲、乙、丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分

2

别为p，1p，，其中0p1．

3

1

(1)若p，求这三人中恰有一人答对该试题的概率；

4

(2)当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的概率．

1

【答案】(1)

3

7

(2)

12

11113313121

【详解】（1）因为p，所以这三人中恰有一人答对该试题的概率P．

414434434433

2

（）这三人都没答对该试题的概率11111，

2P21ppp

3321212

1

当且仅当p时，等号成立，

2

1111111121

此时这三人中恰有一人答对该试题的概率P，

32232232233

这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，三人至少有两人答对该试题的概率

117

P1PP1．

42312312

【变式2】（2024上·江西赣州·高一统考期末）我省从2024年开始，高考不分文理科，实行“312”模式，

其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择

1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知某高校临床医

学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．

(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率；

(2)假设甲、乙两人每人选择任意1个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合

符合某高校临床医学类招生选科要求的概率．

5

【答案】(1)

12

35

(2)

72

【详解】（1）用a，b分别表示“选择物理”“选择历史”，c，d，e，f分别表示“选择化学”“选择生物”“选

择思想政治”“选择地理”，

则所有选科组合的样本空间

{acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd,bce,bcf,bde,bdf,bef}

则n()12

设M表示“从所有选科组合中任意选取1个，有选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求”

则M{acd,ace,acf,ade,adf}

则n(M)5

n(M)5

则P(M)．

n()12

（2）设甲、乙两人每人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别为N1，N2，由题

意知事件N1，N2相互独立

5

由（1）知PNPN

1212

记N“甲、乙两人中恰好有一人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求”，

则NN1N2N1N2

易知事件N1N2，N1N2两两互斥，

根据互斥事件概率加法公式得

P(N)PN1N2PN1N2

5555

11

12121212

35

．

72

【变式3】（2023上·河南安阳·高一校联考期末）甲、乙两人在某商场促销活动中各自获得了两轮抽奖机会，

1

每轮由甲、乙各自抽取一次，假设每次抽奖的结果互不影响，已知每轮抽奖中，甲中奖的概率为，两人

4

1

同时中奖的概率为．

20

(1)求甲在两轮抽奖中，恰好中一次奖的概率；

(2)求两人在两轮抽奖中，共有三次中奖的概率

3

【答案】(1)

8

7

(2)．

200

【详解】（1）设A表示甲在一轮抽奖中中奖的事件，

13

则由条件可知PA,PA，

44

两轮抽奖中中奖一次的情况为：第一轮中奖，第二轮未中奖；第一轮未中奖，第二轮中奖，

3

故概率为PPAPAPAPA．

8

1

（2）设B表示乙在一轮抽奖中中奖的事件，由已知可得PABPAPB，

20

14

所以PB,PB．

55

两人在两轮抽奖中，共有三次中奖，分两种情况：

第一种情况，其中一轮甲中奖乙未中奖，另一轮两人间时中奖，

1411

概率为P2PAPBPAB2．

1452050

第二种情况，其中一轮乙中类甲未中奖，另一轮两人同时中奖，

1313

概率为．

P22PBPAPAB2

5420200

137

故所求概率为PPP．

1250200200

题型04独立事件的实际应用

【典例1】（2024上·全国·高三期末）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老

4

师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，

5

3

乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个

4

成语的概率为（）

31971

A．B．C．D．

5202020

【答案】B

【详解】设事件A“甲猜对”，B“乙猜对”，C“几何队至少猜对一个成语”，

4311

所以PA,PB，则PA,PB.

5454

由题意知，事件A,B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立，

法一：CABABAB，且AB,AB,AB两两互互斥，

则P(C)P(AB)P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)

13414319

.

54545420

法二：事件C的对立事件C“几何队一个成语也没有猜对”，即CAB，

1119

则P(C)1P(C)1P(AB)1P(A)P(B)1.

5420

故选：B.

【典例2】（2024上·北京石景山·高一统考期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，

乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.

(1)求丙投篮命中的概率；

(2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；

(3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.

【答案】(1)0.5

(2)0.21

(3)0.29

【详解】（1）设甲投篮命中为事件A，乙投篮命中为事件B，丙投篮命中为事件C，

由题意可知，PA0.6，PB0.3，PBCPBPC0.35，

0.35

则PB1PB0.7，PC0.5,

0.7

所以丙投篮命中的概率为0.5；

（2）甲和乙命中，丙不中为事件D，

则PDPABCPAPBPC0.60.70.50.21，

所以甲和乙命中，丙不中的概率为0.21；

（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件E，

则PEPABCABCABC,

PAPBPCPAPBPCPAPBPC

0.60.30.50.40.70.50.40.30.5

0.29

【典例3】（2023下·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）甲､乙､丙三位重剑爱好者决定进行一场

111

比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为.

543

因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），

每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比

赛结束.

(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；

(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙､甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大.

1

【答案】(1)

20

(2)甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大.

【详解】（1）若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：

①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，

2111

其概率为；

35430

②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，

1111

其概率为.

34560

111

所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为.

306020

（2）若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：

甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙

胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，

11132141111

所以甲能获得冠军的概率为.

545435534512

若第一局为甲丙比，

111411321111

则同上可得甲获得冠军的概率为.

4545344354120

若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，

1

则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果.

20

1111

因为，

1201220

所以甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大.

【变式1】（2024上·上海·高二同济大学第一附属中学校考期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4

个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为．

9

【答案】/0.5625

16

【详解】设答错第一道选择题为事件A，答错第二道选择题为事件B,两事件相互独立，

3

且PAPB，

4

339

两个题都选错为事件AB，则PABPAPB.

4416

9

故答案为：

16

【变式2】（2024上·上海·高二上海中学校考期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0

1112

时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.

2233

(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；

(2)依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号；②事件B：至少收到两

个0，是否互相独立，并给出证明.

20

【答案】(1)；

27

(2)事件A与事件B不互相独立，证明见解析.

【详解】（1）重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：

(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，

因为信号的传输相互独立，

22221222112220

故“至少收到两次1”的概率为：.

33333333333327

（2）事件A与事件B不互相独立，证明如下：

1111

若依次发送1，1，0，则三次都没收到正确信号的概率为，

33218

117

故至少收到一个正确信号的概率为PA1；

1818

若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为：

(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，

11111112121161

故PB，

332332332332183

若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：

(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，

1111212115

故PAB，

33233233218

因为PAPBPAB，所以事件A与事件B不互相独立.

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2

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3