高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第04讲 向量的数乘运算（解析版）

第04讲6.2.3向量的数乘运算

课程标准学习目标

①了解向量数乘的概念。

②理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向1在熟悉课本知识的基础上，了解并充分掌握向量数乘

量数乘的运算律进行向量运算。的概念；

③理解并掌握向量共线定理及其判定方法。2.在掌握向量加减与数乘定义的基础上，理解并掌握向

④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运

两个平面向量的夹角。算；

⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条3.准确理解并掌握向量共线定理及其判定方法；

件。

知识点01：向量的数乘

（1）向量数乘的定义

一般地,我们规定实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作a.它的长度与方向规

定如下：

①|a||||a|

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0.

1

【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）任作一向量OA，再作向量OB2OA，OCOA.

3

【答案】答案见解析

【详解】由OB2OA知，OB与OA同向，模长为OA模长的2倍，由此作出OB；

11

由OCOA知，OC与OA方向相反，模长为OA模长的，由此作出OC；

33

（2）向量数乘的几何意义

对于a：①从代数角度看，是实数，a是向量，它们的积仍然是向量．a的条件是a0或0．②

从几何的角度看，对于长度来说，当1时，意味着表示向量a的有向线段在原方向(0)或相反方向

(0)上伸长了倍；当01时，意味着表示向量a的有向线段在原方向(01)或反方向

(10)上缩短了倍．

实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如a，a都无意义．

（3）向量数乘的运算律

实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，a、b是向量，则：

①结合律：aa

②第一分配律：aaa

③第二分配律：abab

知识点02：向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.

对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有.

ab12(1a2b)1a2b

知识点03：向量共线定理

（1）内容：向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数，ba.

（2）向量共线定理的注意问题：

①定理的运用过程中要特别注意a0．

特别地，若ab0，实数仍存在，但不唯一．

②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量b与a的关系．

③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定

两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．

【即学即练2】（2023·全国·高一课堂例题）设e1，e2是平面内的一组基底，AB3e12e2，BC4e1e2，

CD8e19e2，求证：A，B，D三点共线．

【答案】证明见解析

【详解】证明：因为ADABBCCD

3e12e24e1e28e19e2

15e110e253e12e25AB，

所以AD与AB共线．

又因为AD与AB有公共的起点A，所以A，B，D三点共线．

题型01几何图形中用已知向量表示未知向量

【典例1】（2023上·湖北黄石·高二阳新县第一中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，

DC2AB,BE2EC，设DCa，DAb，则DE等于（）

5121

A．abB．ab

6232

r

512r1

C．abD．a+b

6333

【答案】C

【详解】因为DC2AB,BE2EC，

111

所以DEDCCEDCCBDCDBDCDCDAABDC

333

21121151

DCDAABDCDADCab.

33333663

故选：C

【典例2】（2023下·福建福州·高一福建省连江第一中学校考期中）如图，在ABC中，BD4CD0，则AD

（）

14411551

A．ABACB．ABACC．ABACD．ABAC

55556666

【答案】A

【详解】在ABC中，BD4DC，

4414

∴ADABBDABBCAB(ACAB)ABAC.

5555

故选：A．

【典例3】（2022下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）ABC中，BD3DC，则AD（）

1331

A．ABACB．ABAC

4444

1221

C．ABACD．ABAC

3333

【答案】A

3313

【详解】ADABBDABBCABACABABAC,

4444

故选：A

【变式1】（2023下·上海嘉定·高一校考期末）已知AM是ABC的BC边上的中线，若ABa,ACb，则

AM.（用a,b表示）

1

【答案】ab

2

11

【详解】由题意知：AM(ABAC)(ab).

22

1

故答案为：ab

2

【变式2】（2023下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）在ABC中，点D为边BC的中点，记ABa,ACb，

则AD（）

111111

A．abB．abC．abD．ab

222222

【答案】C

11111

【详解】由题意可知CDCBABACab，ADACCDbabab.

22222

故选：C

1

【变式3】（2023下·四川攀枝花·高一统考期末）在ABC中，D为BC上一点，且BDDC，则AD（）

2

11

A．ABACB．ABAC

33

2112

C．ABACD．ABAC

3333

【答案】C

【详解】

1

由题意知，ADABBD，因为BDBC，且BCACAB，

3

1121

所以ADABBCABACABABAC，故答案为C.

3333

故选：C

题型02平面向量的混合运算

【典例1】（2023·高一课前预习）计算：

111

(1)a2b3a2bab；

342

127137

(2)3a2bababa；

236276

(3)23a2b3a5b54ba；

1

(4)32a8b24a2b．

6

72

【答案】(1)ab

123

(2)0

(3)14a9b

114

(4)ab

33

111

【详解】（1）a2b3a2bab

342

123111

ababab

334222

131211

ab

342322

72

ab；

123

127137

（2）3a2bababa

236276

1773

abab

2367

7171

abab0；

6262

（3）23a2b3a5b54ba

6a4b3a15b20b5a

14a9b；

1

（4）32a8b24a2b

6

1

6a24b8a4b

6

1

2a28b

6

114

ab.

33

【典例2】（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简6abc4a2bc22ac为（）

A．6a2b8cB．6a14b

C．2a14bD．6a2b

【答案】D

【详解】根据向量的四则运算可知，

6abc4a2bc22ac6a6b6c4a8b4c4a2c6a2b.

故选：D

【变式1】（2023·全国·高一课堂例题）计算：

(1)3ab2a2b；

(2)22a6b3c33a4b2c．

【答案】(1)a7b

(2)13a

【详解】（1）原式3a3b2a4ba7b．

（2）原式4a12b6c9a12b6c13a.

【变式2】（2023下·高一课时练习）计算：

(1)82abc6a2bc22ac；

11

(2)2a8b4a2b．

32

【答案】(1)6a4b

(2)2ba

【详解】（1）原式16a8b8c6a12b6c4a2c

(1664)a(812)b(862)c

6a4b．

11

（2）原式a4b4a2b3a6b2ba

33

题型03向量共线的判定

【典例1】（2022·河南·校联考三模）已知a、b、c均为非零向量，且a2b，b3c，则（）

A．a与c垂直B．b与c同向C．a与c反向D．a与b反向

【答案】C

【详解】因为a2b，b3c，所以a与b同向，b与c反向，所以a与c反向．

故选：C.

【典例2】（2023·高一课时练习）设e1，e2是两个不共线的向量，关于向量a，b有①a2e1，b2e1；

21

②aee，b2e2e；③a4e1e2；be1e2，④aee；b2e2e．其中a，b共

12125101212

线的有．（填序号）

【答案】①②③

【详解】①ab，共线；

1

②ab，共线；

2

③a4b，共线；

④a和b无法表示成ab，所以不共线.

故答案为：①②③

【典例】（全国高一随堂练习）设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否

32023··e1e2ab

共线．

(1)a2e1，b2e1；

(2)ae1e2，b2e12e2；

(3)a2e13e2，b2e1．

【答案】(1)共线(2)共线3)不共线

【详解】（1）a2e1,b2e1，则有ab，即a,b共线；

（2）ae1e2,b2e12e22e1e2，则有b2a，即a,b共线；

（3）设a，b共线，则由共线向量基本定理，得存在R，使ab，

(22)

即2e3e2e，所以ee，所以e,e共线，

12123112

这与已知条件e1,e2不共线矛盾，a,b不共线.

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）对于非零向量a,b，“ab0”是“a//b”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】对于非零向量a,b，当ab0时，ab，a//b一定成立，即充分性成立；

当a//b时，ab0，不一定满足ab0，即必要性不成立.

所以对于非零向量a,b，“ab0”是“a//b”的充分不必要条件.

故选：A

【变式2】（2023·高一课时练习）已知a、b是两非零向量，且a与b共线，若非零向量c与a共线，则c与

b必定．

【答案】共线

【详解】因为a、b是两非零向量，且a与b共线，所以1，使得a1b.

又因为非零向量c与a共线，所以2，使得c2a.

所以，c2a12b.

所以，c与b必定共线.

故答案为：共线.

【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）判断下列各小题中的向量a，b是否共线：

3

(1)a3e，be；

2

(2)a2e12e2，be1e2（其中两个非零向量e1和e2不共线）；

25

(3)ae，b3ae.

32

【答案】(1)共线；(2)共线；(3)共线.

3

【详解】（1）a3e，be，所以a2b，

2

所以a，b共线.

（2）a2e12e2，be1e2,

所以b2a，所以a，b共线.

25

（3）因为ae，b3ae，

32

51

所以b2eee，

22

4

所以ab.

3

所以a，b共线.

题型04利用向量共线证明线线平行

【典例1】（2023下·广东汕头·高一校考期中）在四边形ABCD中，ABa2b，BC4ab，CD5a3b，

则四边形ABCD的形状是（）

A．梯形B．菱形

C．平行四边形D．矩形

【答案】A

【详解】因为ABa2b，BC4ab，CD5a3b，

所以ADABBCCDa2b4ab5a3b8a2b.

uuuruuur

所以AD2BC.

所以AD//BC且ADBC，

所以四边形ABCD为梯形..

故选：A

【典例2】（2022·高一课时练习）如图，设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC,BD的中点.

(1)试用向量的方法证明：PQ//AB；

【答案】(1)证明见解析

11

【详解】（1）P,Q分别为AC,BD中点，CQCBCD，CPCA，

22

11

PQCQCPCBCDCAABCD；

22

QAB//CD，可设CDAB0，

1

PQAB，又ABCD，1，PQ//AB.

2

【变式1】（2023·高一课时练习）四边形ABCD中，ABm2n，BC4mn，CD5m3n，试判断

四边形ABCD的形状（其中m，n为不平行的非零向量）．

【答案】四边形ABCD为梯形．

【详解】ADABBCCD8m2n，BC4mn，

uuuruuur

∴AD2BC，

AD//BC,ADBC

所以四边形ABCD为梯形．

【变式2】（2023·高一课时练习）设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC2BD，CE2EA，

AF2FB，则（）

A．ADBECF与BC反向平行B．ADBECF与BC同向平行

C．3BE3CFBC与CA反向平行D．3BE3CFBC与CA不共线

【答案】A

1

【详解】因为DC2BD，所以BDBC，

3

1

因为CE2EA，所以AEAC，

3

2

因为AF2FB，所以AFAB，

3

1121

ADABBDABBCAB(ACAB)ABAC，

3333

1

BEAEABACAB，

3

2

CFAFACABAC，

3

21121111

所以ADBECFABACACABABACABACCBBC，

33333333

所以ADBECF与BC反向平行，故A正确，B错误；

12

3BE3CFBC3(ACAB)3(ABAC)BC

33

2ACABBC2ACAC3AC3CA，

所以3BE3CFBC与CA同向平行，故CD错误.

故选：A

题型05已知向量共线（平行）求参数

【典例1】（2023下·山西运城·高一统考期中）已知向量a，b不共线，且向量ab与a(21)b方向相

同，则实数的值为（）

111

A．1B．C．1或D．1或

223

【答案】A

【详解】因为向量ab与a(21)b方向相同，

所以存在唯一实数k(k0)，使a(21)bk(ab)，

因为向量a，b不共线，

1

k11

所以，解得或2（舍去），

21kk1

k2

故选：A

rurur

【典例】（上江西高一统考期中）已知，为平面内向量的一组基底，，，

22023··e1e2a2e1e2be11e2

若a∥b，则.

【答案】2

【详解】由a//b得，2，解得2.

1

故答案为：2.

【典例3】（2023下·山西朔州·高一校考阶段练习）已知两个非零向量a,b不共线，且ka3b与2akb共线，

求实数k的值．

【答案】6或6．

【详解】因为ka3b与2akb共线，

所以存在实数，使ka3b2akb，

即k2ak3b．

k20

由于a,b不共线，所以k6．

k30

即实数k的值为6或6．

【变式1】（2023上·山东泰安·高三统考阶段练习）已知向量e1,e2是平面内的一组基底，若向量a2e13e2

与be12e2共线，则的值为（）

44

A．1B．1C．D．

33

【答案】D

【详解】因为向量与共线，

a2e13e2be12e2

所以存在唯一实数k，使akb，即2e13e2k(e12e2)，

所以2e13e2ke12ke2，

k2

因为向量e1,e2是平面内的一组基底，所以，

2k3

34

解得k，，

23

故选：D

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知a，b是两个不共线的平面向量，向量ABab，

uuuruuur

ACab,R，若AB//AC，则有（）

A．2B．1C．1D．1

【答案】C

uuuruuur

【详解】因为AB//AC，所以设ABkAC，

因为ABab，ACab,R，

k

所以abkab，可得，

1k

所以1，

故选：C．

【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知向量e1、e2不共线，且向量e13e2与2e15e2平行，则实数

.

6

【答案】

5

【详解】因为向量与平行，设，其中，

e13e22e15e2e13e2k2e15e2kR

2k6

因为向量e、e不共线，则，解得.

1235k5

6

故答案为：.

5

题型06三点共线问题

【典例1】（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）已知不共线的向量a,b，且ABa2b，BC5a6b，

CD7a2b，则一定共线的三点是（）

A．A，B，DB．A，B，C

C．B，C，DD．A，C，D

【答案】A

uuuruuuruuuruuurrr

【详解】对A，ADABBCCD3a6b,

所以AD3AB，则A,B,D三点共线，A正确；

对B，ACABBC4a8b,

则不存在任何R，使得ACAB，所以A,B,C不共线,B错误；

uuuruuuruuurrr

对C，BDBCCD2a4b,

uuuruuur

则不存在任何R，使得BDBC，所以B,C,D不共线，C错误；

对D，ACABBC4a8b,

则不存在任何tR，使得CDtAC，所以A,C,D不共线，D错误；

故选:A.

【典例2】（2023下·安徽合肥·高一统考期中）设e1,e2是不共线的两个向量，

ABe1ke2,CBe13e2,CD2e1e2.若A,B,D三点共线，则k的值为.

【答案】4

【详解】因为A,B,D三点共线，故AB∥BD,

则R，使得ABBD，

又，

BDCDCB2e1e2(e13e2)e14e2

1

故e1ke2(e14e2)，则，解得k4，

4k

故答案为：4

【典例3】（2023上·江西·高二校联考开学考试）已知a,b是平面内不共线的单位向量，O,A,B,C是该平面

内的点，且OAa2b，OB2ab，OC3atb.

(1)若AB3，求ab；

(2)若A,B,C三点共线，求实数t的值.

1

【答案】(1)

6

(2)t4

2222

【详解】（1）ABOBOAa3b，ABa3ba6ab9b106ab9，

1

ab.

6

（2）ABa3b，ACOCOA2at2b，

又A,B,C三点共线，即AB,AC共线，

1t232，解得：t4.

【变式1】（2023下·上海浦东新·高一校考期中）设a，b是两个不共线向量，AB2apb，BCab，

CDa2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为．

【答案】1

【详解】由题意BDBCCD2ab，因为A,B,D三点共线，所以AB,BD共线，

所以存在实数，使得2apb2ab，

所以22，p，所以1,p1．

故答案为：1．

【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在YABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，3BNBD.

求证：M，N，C三点共线.

【答案】证明见解析

【详解】设CDa,CBb，

11112

则CMab,CNbBDbabab,

23333

3

所以CMCN，

2

又因为CM,CN有公共起点C，所以M，N，C三点共线.

11

【变式3】（2023下·山东泰安·高一校考阶段练习）如图，在ABC中，AMAB,BNBC.设

32

ABa,ACb.

(1)用a,b表示BC,MN；

51

(2)若P为ABC内部一点，且APab.求证：M,P,N三点共线，并指明点P的具体位置.

124

11

【答案】(1)BCba，MNba

26

(2)证明见解析，P是MN的中点

【详解】（1）依题意，BCACABba，

1212a11

MNBNBMBCABbaba.-

232326

1111151

（2）由AMANABACCNABACBCabbaab，

3323262

5111

又APab，所以APAMAN，

12422

11

=1，故M,P,N三点共线，且P是MN的中点.

22

题型07利用向量共线定理求参数

3

【典例1】（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在ABC中，ADDC，P是直线BD上的一

2

2

点，若APtABAC则实数t的值为（）

5

1122

A．B．C．D．

3333

【答案】B

35

【详解】因为ADDC，所以ACAD，

23

又P是直线BD上的一点，所以APxAB1xAD，

22

又APtABACtABAD，

53

xt

1

所以2，所以xt.

1x3

3

故选：B

【典例2】（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）如图，在ABC中，AD2DB，P为CD上一

1

点，且满足APmACAB(mR)，则m的值为．

2

1

【答案】

4

13

【详解】因为APmACAB，AD2DB即，ABAD

22

13

所以APmACABmACAD,

24

又C,P,D三点共线，

31

所以m1，解得m.

44

1

故答案为：.

4

【典例3】（2023下·四川绵阳·高一三台中学校考阶段练习）已知向量a，b不共线，且OA2ab，OB3ab，

OCab.

(1)将AB用a，b表示；

(2)若OA//OC，求的值；

【答案】(1)ABa2b

1

(2)

2

【详解】（1）因为OA2ab，OB3ab，所以ABOBOA3ab2aba2b；

（2）因为OA//OC，OA2ab，OCab，

所以OAtOC，即2abtab，

2=t

又向量a，b不共线，所以，

1=t

11

解得t2,，即的值为.

22

【变式1】（2023下·江苏南通·高一校考期中）已知e1,e2是两个不共线的向量，向量a2e1e2,bke1e2．若

a//b，则k（）

11

A．2B．C．2D．

22

【答案】A

k2

【详解】由题设ab且R，故2e1e2ke1e2，则，可得k2.

1

故选：A

【变式2】（2023上·四川南充·高三四川省南部中学校考阶段练习）在平行四边形ABCD中，点E满足

13

ACAE且DEABAD，则实数．

44

【答案】4

【详解】由题意可得：

11

DEAEADACADABADAD

1113

AB1ADABAD,

44

4

故答案为：4.

rr

【变式】（下山东日照高一校考阶段练习）已知不共线，向量，，且，

32023··e1,e2a3e14e2b6e1ke2a//b

则k的值为.

【答案】8