高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第06讲 平面向量基本定理（解析版）

第06讲6.3.1平面向量基本定理

课程标准学习目标

①理解平面向量基本定理及其意义，了解向

量基底的含义。

1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理

②掌握平面向量基本定理，会用基底表示平

解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面

面向量。

向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义；

③会应用平面向量基本定理解决有关平面

2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，

向量的综合问题。

更应该学会用基底表示平面向量；

④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示

3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平

两个平面向量的夹角。

面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题；

⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条

件。

知识点01：平面向量基本定理

（1）平面向量基本定理

如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,

e1e2a12

使.

a1e12e2

若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

e1e2{e1,e2}

（2）对平面向量基本定理的理解

(1)这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向

量都可用该组基底唯一表示.

(2)对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.

e1e2

(3)同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且

01e12e2

120.

(4)这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线

性组合,且形式唯一.

知识点02：平面向量基本定理的有关结论

（1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共

e1e2a1e12e210ae220ae1

线；当120时，a0，同样的a0时，120.

xx

（2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则12.

a,bx1ay1bx2ay2b

y1y2

题型01基底的概念及辨析

【典例】（下高一课时练习）已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（）

12023·e1e2

A．e1e2和e1e2B．4e12e2和6e13e2

．和．和

C2e1e2e2De1e22e2e1

【答案】B

a1

【详解】选项，设，则，无解，故和是不共线的向量，可作为一组

Ae1e2ae1e2e1e2e1e2

a1

基底，A错误；

2

选项，∵，

B4e12e26e13e2

3

∴4e12e2和6e13e2共线，不能作为一组基底，故B正确；

20

C选项，设2eebe，则，无解，故2ee和e不共线，故可作为一组基底，C错误；

122b1122

2c1

选项，设，则，无解，和不共线，可作为一组基底，错误

De1e2c2e2e1e1e22e2e1D..

c1

故选：B

【典例2】（多选）（2023下·安徽阜阳·高一校考阶段练习）设e1,e2是平面内两个不共线的向量，则以下a,b

可作为该平面内一组基底的是（）

A．ae1e2,be1

11

B．a2ee,bee

124122

C．ae1e2,be1e2

D．ae12e2,be14e2

【答案】ABD

【详解】a不能用b表示，故a,b不共线，所以A符合；

a不能用b表示，所以a,b不共线，故B符合；

ab，故a,b共线，所以C不符合；

a不能用b表示，故a,b不共线，所以D符合.

故选：ABD.

【变式1】（2022下·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）设e1、e2是两个不平行的向量，则下列四组

向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（）

A．e1e2和e1e2B．e12e2和e22e1

．和．和

C3e12e24e26e1De2e2e1

【答案】C

【详解】依题意，e1、e2不共线，

A选项，不存在R使e1e2e1e2，

所以e1e2和e1e2可以组成基底.

B选项，不存在R使e12e2e22e1，

所以e12e2和e22e1可以组成基底.

C选项，4e26e123e12e2，

所以3e12e2和4e26e1不能构成基底.

D选项，不存在R使e2e2e1，

所以和可以组成基底

e2e2e1.

故选：C

【变式2】（多选）（2022下·广西北海·高一统考期末）如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线

的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（）

A．AD与BCB．AC与BDC．CA与DCD．OD与OB

【答案】BC

【详解】A项中AD与BC共线，D项中OD与OB共线，B，C项中两向量不共线，

故选：BC

题型02用基底表示向量

【典例1】（2023·全国·模拟预测）在ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，记AEa，CDb，则

AC（）

11112

A．abB．abC．abD．ab

32233

【答案】D

111

【详解】由题意可知，aABAC，bABCAABAC．

222

32

两式相减，得abAC，所以ACab．

23

故选：D．

【典例2】（2023·湖南·校联考模拟预测）在ABC中，D是边AB上一点，且BD2AD，点E是CD的中

uurr

点.设CAa，CBb，则AE（）

11112121

A．abB．abC．abD．ab

36363636

【答案】C

【详解】

11111121

如图，AEACADCAABCACBCAab，

22262636

故选：C.

1

【典例3】（2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知平行四边形ABCD中，DEDC，若ACBEAE，

2

则（）

33

A．B．C．2D．2

22

【答案】D

1

【详解】在YABCD中，DEDC，即E是DC的中点，则ACAD2AE，

2

1

又AEBEADDEBCCE2AD，即AD(AEBE)，

2

113

因此AC2AEAD2AE(AEBE)BEAE，

222

而ACBEAE，BE,AE不共线，

13

所以,，2.

22

故选：D

【变式1】（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在ABC中，AD为BC边上的中线，2AEED，

则BE（）

5115

A．ABACB．ABAC

6666

5115

C．ABACD．ABAC

6666

【答案】A

【详解】

1

因为2AEED，所以AEAD

3

1

由已知可得，ADABAC，

2

1

所以，AEABAC，

6

151

所以，BEAEABABACABABAC.

666

故选：A.

【变式2】（2023上·河北保定·高三统考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE和

BD相交于点F．记AB=a，ADb，则（）

2121

A．CFabB．CFab

3333

1212

C．CFabD．CFab

3333

【答案】A

【详解】在平行四边形

ABCD中AB//CD，AE和BD相交于点F，

所以ABF∽EDF，又E是CD的中点，

DFDE111

所以，所以DFDBABAD，

BFAB233

12121

所以CFCDDFABABADABADab.

33333

故选：A

【变式3】（2023上·山西朔州·高三校考开学考试）如图，在ABC中，设AB=a，ACb，BD2DC，AE4ED，

则BE（）

11828

A．abB．ab

515315

28118

C．abD．ab

3151515

【答案】D

【详解】由题意

444142181118

BEAEABADa(ABBD)aBDaBCa(ba)aab,

55555351551515

故选：D．

题型03用平面向量基本定理求参数

【典例1】（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）ABC是由3个全等的三角形与中间一个小等

边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若AF3EF，AF3，且AF=ABAC，则（）.

1569419

A．B．C．D．

19191919

【答案】A

2222

【详解】由题设AFABBFABBDAB(BCCD)AB(BCCE)

3333

24248

ABBC(CAAE)ABBCCAAF

393927

248128

AB(ACAB)ACAFABACAF，

39273927

191296

所以AFABAC，即AFABAC，

27391919

15

又AF=ABAC，故.

19

故选：A

【典例2】（2023上·河北沧州·高三校联考期中）如图，△BCD与ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD

内任意一点（含边界），且APABAC,R，则的取值范围是（）

A．0,1B．0,2C．0,3D．0,4

【答案】C

【详解】根据题意，将图形特殊化，设AD垂直平分BC于点O，

因为△BCD与ABC的面积之比为2，则DO2AO，

当点P与点A重合时，可得AP0，此时0，即的最小值为0；

1133

当点P与点D重合时，可得AP3AO3(ABAC)ABAC，

2222

3

此时，即，此时为最大值为3，

2

所以的取值范围为0,3.

故选：C.

【典例3】（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）在ABC中，D是BC的中

点，E在边AB上，BE2EA，AD与CE交于点O，

(1)设DExAByAC，求xy的值；

AB

(2)若ABAC6AOEC，求的值．

AC

2

【答案】(1)xy

3

AB

(2)3

AC

121211

【详解】（1）∵DEDBBECBABABACABABAC，

232362

112

∴x,yxy；

623

（2）因为E，O，C三点共线，不妨设EOtEC,

1

所以AOAEtECAEtACAEtAC1tAB，

3

mmm

再设AOmAD，所以AOABACABAC，

222

m1

tt

24

所以，

1tm1

m

322

11

所以AOABAC，ECEAACABAC，

43

111232

因为6AOEC6ABACABACABABACACABAC，

4322

1232AB

∴ABAC0得AB3AC，即3．

22AC

【变式1】（2023·广东汕头·校考一模）在平行四边形ABCD中，G为ABC的重心，满足

AGxAByADx,yR，则x2y（）

45

A．B．C．0D．1

33

【答案】A

【详解】如图，设AC与BD相交于点O，G为ABC的重心，

可得O为BD的中点，BG2GO，

1111

所以AGAOOGAOOBAODBABADABAD

3626

21

ABAD，

33

因为AGxAByADx,yR，

21214

所以x,y，则x2y2.

33333

故选：A.

【变式2】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考期中）在三角形ABC中，点D是AB边上的四等分点且

AD3DB，AC边上存在点E满足EACE0，直线CD和直线BE交于点F，若FCDF0，

则的值为（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【详解】由已知EACE0，

111

则BEBCCEBCCABCBABCBABC

1111

11

同理可得BFBCBDBCBA，

11141

因为直线CD和直线BE交于点F，

mm

所以设BFmBEBABC

11

m1

11

即

m

141

解得4.

故选：C.

1

【变式3】（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知ABC中，D为AB的中点，AEAC

，若DEABBC，

3

则.

1

【答案】

6

11111111

【详解】因为DEDAAEBAACBABCBABABCABBC,

23236363

111

所以,,故;

636

1

故答案为：.

6

题型04平面向量基本定理的综合应用

【典例1】（2023上·北京·高三101中学校考阶段练习）如图，在ABC中，M，N分别为AB，AC边上的

中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，ADAB，AEAC，

11

则的最小值为（）

A．2B．4C．6D．8

【答案】C

【详解】设MPtMN，则t0,1，

1

因为M，N分别为AB，AC边上的中点，所以MNBC，AMMB,ANNC，

2

1

故MPtBC，

2

1

因为DMP∽△DBC，所以DMtBD，

2

11

设BDx，则DMtx,MBxtx，ADAMDMxtx，

22

ADxtx1t1t

故，故，

AB2xtx2t2t

1

同理可得NP1tMN，NP1tBC，

2

1

因为ENP∽ECB，所以EN1tEC，

2

111

设ECy，则EN1ty,CNy1ty1ty，

222

AC1ty，AE1tyyty，

AEtt

故，，

AC1t1t

112t1t11111

则1122

1tt1tt1ttt1t

2

t1t1

因为t0,1，由基本不等式得t1t，

24

1

当且仅当t1t，即t时，等号成立，

2

111

故2246.

t1t

故选：C

【典例2】（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知O是ABC所在平面内一点，若

OAOBOC0,AMxAB,ANyAC,MOON,x,y均为正数，则xy的最小值为（）

144

A．B．C．1D．

293

【答案】B

【详解】因为OAOBOC0，所以点O是ABC的重心，

211

所以AOABACABAC.

323

11

因为AMxAB,ANyAC，所以ABAM,ACAN，

xy

11

所以AOAMAN.

3x3y

1111

又因为MOON，所以M,O,N三点共线，所以1，即3.

3x3yxy

11113

因为x,y均为正数，所以3=2，即，

xyxyxy2

41132

所以xy（当且仅当，即xy时取等号），

9xy23

4

所以xy的最小值为，

9

故选：B

【典例3】（2023·陕西·校联考模拟预测）等边ABC外接圆圆心为O，半径为2,O上有点

M,BMxBAyBC．

(1)若M为弧AC中点，求xy；

(2)求AMAB最大值．

4

【答案】(1)；

3

(2)643．

【详解】（1）设D是AC的中点，则BDAC，且B,O,D三点共线，

若M为弧AC中点，则B,O,D,M四点共线，

由于OAOMOC,AOMMOC60，

所以三角形AOM和三角形MOC是等边三角形，所以OAOCAMCM2，

所以四边形AOCM是菱形，ODMD，

44122

所以BMBDBABCBABCxBAyBC，

33233

24

所以xy,xy.

33

（2）因为OAOBOC2，

23

所以COAB2，AB23，

32

AMABAOOMABAOABOMAB

AOABcos30OMABcosOM,AB

3

223223cosOM,AB643cosOM,AB，

2

所以当OM,AB同向时，AMAB取得最大值为643.

3

【变式1】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）ABC中，D为AC上一点且满足CDCA，若P

4

为BD上一点，且满足APABAC，,为正实数，则下列结论正确的是（）

1

A．的最小值为B．的最大值为1

16

1111

C．的最大值为16D．的最小值为4

44

【答案】D

3

【详解】AB选项，因为CDCA，所以AC4AD，

4

故APABACAB4AD，

因为B,P,D三点共线，设PBmBD，即ABAPmADmAB，

故AP1mABmAD，

令1m,4m，故41，

1

,为正实数，由基本不等式得41244，解得，

16

111

当且仅当,时，等号成立，所以的最大值为，AB错误；

2816

111144

CD选项，411224，

4444

411

当且仅当，即,时，等号成立，C错误，D正确.

428

故选：D

【变式2】（2023上·山东济宁·高三统考期中）在ABC中，点D,E是线段BC上的两个动点，且

y12

ADAExABAC，则的最小值为（）．

2xy

24

A．B．C．2D．8

33

【答案】C

【详解】如图所示：

不妨设CDCB,01，则ADACCDACCBACCAABAB1AC，

同理设CECB,01，则AEACCEACCBACCAABAB1AC，

所以ADAEAB1ACAB1ACAB2AC

y

又由题意ADAExABAC，

2

yy

所以x,2,x22,0x2,0y4，

22

xy

从而1,0x2,0y4，

24

12xy12yxyx

当x0,y0时，由基本不等式可得1122，

xy24xy4xy4xy

等号成立当且仅当x1,y2.

12

综上所述：的最小值为2.

xy

故选：C.

【变式3】（2023上·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，在ABC中，ABC1200,ABBC，△ABD

xy

是正三角形，点M是△ABD的中心，若xMAyMBzMC0，则

z

【答案】4

【详解】如图，MC交AB于点E，ABC120,ABBC

MAEBAC30，设AB=a，则AC3a，

AMME1

因为AB是MAC的角平分线，所以，

ACEC3

3a1

所以AM，MEMCmMAnMB，

34

因为E，A，B三点共线，所以mn1，

1

MEMCmMAnMB，MC4mMA4nMB

4

xy

由题干可知xMAyMBzMC0，即MC=MAMB

zz

xy

所以4m，4n

zz

xy

4

z

故答案为：4.

题型05运用平面向量基本定理解决证明问题

【典例1】（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）在ABC中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B

的三等分点．

(1)分别用向量AB，AD表示向量AC，BE；

(2)若点N满足4AN2AB3AC，证明：B，N，E三点共线．

3

【答案】(1)AC2AB3AD，BE2ABAD

2

(2)证明见解析

【详解】（1）因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点，

所以CD2DB,AEEC，

则ACABBCAB3BDAB3(ADAB)2AB3AD，

113

BEBAAEABACAB(2AB3AD)2ABAD.

222

13

（2）因为4AN2AB3AC，所以ANABAC，

24

1313

则ANAB2AEABAE，

2422

所以2ANAB3AE,AEAB2(ANAE)，即BE2EN，所以BE//EN，

又因为BE,EN有公共点E，

所以B，N，E三点共线.

【典例2】（2023下·河北保定·高一校联考期中）已知m0,n0，如图，在ABC中，点M,N满足AMmAB，

1

ANnAC,D是线段BC上一点，BDBC，点E为AD的中点，且M,N,E三点共线．

3

(1)求3m6n的最小值．

(2)若点O满足2AOOBOC，证明：OE//BC．

【答案】(1)4

(2)证明见解析

1121

【详解】（1）由题可知ADABBDABBCABACABABAC，

3333

111

因为点E为AD的中点，所以AEADABAC.

236

11

AMmAB,ANnAC,AEAMAN，

3m6n

11

因为M,N,E三点共线，所以1，

3m6n

116n3m

3m6n3m6n2224，

3m6n3m6n

21

当且仅当m,n时，等号成立．

33

所以3m6n的最小值为4.

（2）

1

由2AOOBOC，则2AOOAABOAAC，即AOABAC，

4

111111

OEAEAOABACABACABACCB，

364121212

所以OE//CB，又E,C,B三点不共线，所以OE//BC．

1

【变式1】（2023下·福建漳州·高一统考期末）如图，在ABC中，ADAB，点E是CD的中点，设

3

ABa,ACb，

(1)用a,b表示CD,AE；

rr

(2)如果a3b，CD,AE有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.

111

【答案】(1)CDab，AEab.

362

(2)CDAE，证明见解析

111

【详解】（1）解：因为ADAB，所以CDADACABACab，

333

因为E是CD的中点，

1111111

可得AEADACABACABACab.

2236262

（2）解：CDAE.

因为a3b，

1111211121212

则CDAEababaababbab

36218662182

12121212

|a||b|(3|b|)|b|0

182182

以CDAE，所以CDAE.

【变式2】（2023下·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）如图，在ABC中，CD2DB,AEEC．

(1)用AB，AD表示AC，BE；

13

(2)若点M满足AMABAC，证明：B，M，E三点共线．

24

3

【答案】(1)AC2AB3AD，BE2ABAD

2

(2)证明见解析

【详解】（1）因为CD2DB,AEEC，

ACABBCAB3BD

AB3ADAB2AB3AD，

1

BEBAAEABAC

2

111

ABBCBAABBC

222

1111

AB3BDAB3ADAB

2222

3

2ABAD.

2

13

（2）由AMABAC，

24

1313

可得AMAB2AEABAE，

2422

所以2AMAB3AE，AEAB2AMAE，即BE2EM，

所以B，M，E三点共线.

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1

1．（2023下·江西萍乡·高一统考期中）在ABC中，AB=a，ACb，若BDBC，M为线段AD的中点，