高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第11讲 直线与直线垂直（解析版）

第11讲8.6.1直线与直线垂直

课程标准学习目标

1、本节内容包含异面直线所成的角的定义，以及直线

与直线垂直教材以正方体为载体，让学生直观认识空间

①借助长方体，了解空间中直线与直线垂直直线的位置关系和异面直线所成的角的定义通过平移

的关系。来研究异面直线所成的角是研究空间图形的一种基本

②.理解并掌握异面直线所成的角，会求任思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题

意两条直线所成的角。2.通过本节课的学习，为学生后面学习空间直线、平面

的垂直关系打下基础，同时更好地提升学生直观想象和

逻辑推理等数学学科核心素养

知识点01：异面直线所成角的概念

已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线aa，bb，我们把直线a与b所成的

角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）

知识点02：异面直线所成角的范围

由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即090.

注意：①异面直线所成角的大小不能是0，若两条直线所成角是0，则这两条直线平行，不可能异面.②

空间两直线所成的角的范围是090.

知识点3：两条异面直线垂直的定义

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，

记作ab.

注意：两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.

知识点04：异面直线所成的角的求解步骤

①构造：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的

角.

②证明：证明作出的角就是要求的角

③计算：求角度（常利用三角形的有关知识）

④结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就

是所求异面直线所成的角.

【即学即练1】（2024上·上海·高二专题练习）已知空间四边形ABCD，连接AC和BD，且

ABACADBCCDBD1，点N是线段AD的中点，则异面直线BD和CN所成的角的余弦值

是．

【答案】3

6

【详解】

如图，取AB中点M，连接MN，CM，

∵M，N分别为AB，AD中点，

11

∴MN∥BD，且MNBD，

22

∴异面直线BD和CN所成角为MNC或其补角，

2

213

在等边ABC和等边△ADC中，CMCN1，

22

∴在MNC中，由余弦定理，有

133

MN2CN2CM23

cosMNC4440，

2MNCN136

2

22

3

∴异面直线BD和CN所成的角的余弦值为.

6

3

故答案为：.

6

题型01判断两直线是否为异面直线

【典例1】（2024上·上海·高二专题练习）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C

的中点，有以下四个结论：①直线AM与C1C是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1

是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为（）

A．③④B．①②C．①③D．②④

【答案】A

【详解】∵A、M、C1三点共面，且在平面ABC1D1，但C平面ABC1D1，C1AM，

∴直线AM与C1C是异面直线，故①错误；

因为MC1D1平面ABC1D1，AB平面ABC1D1，但N平面ABC1D1，BAM，

所以直线AM与BN也是异面直线，故②错误；

因为B1B1C1平面B1BCC1，BN平面B1BCC1，但M平面B1BCC1，B1BN，

所以直线BN与MB1是异面直线，故③正确；

因为A平面A1ADD1，DD1平面A1ADD1，但M平面A1ADD1，ADD1，

所以直线AM与DD1是异面直线，故④正确．

故选：A．

【典例2】（2024上·北京海淀·高二统考期末）如图，已知E，F分别为三棱锥DABC的棱AB,DC的中点，

则直线DE与BF的位置关系是（填“平行”，“异面”，“相交”）．

【答案】异面

【详解】假设直线DE,BF共面，EB平面DEBF，

由AEB，则AB平面DEBF，

同理，DC平面DEBF，故AB,CD共面，

这与DABC是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线DE,BF异面.

故答案为：异面.

【典例3】（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图所示，在正方体

ABCDA1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是.

①DD1②AC③AD1④B1C

【答案】②

【详解】由正方体的性质易知当P为A1C1的中点时，此时PB1D1，

而DD1//BB1，所以B,D,D1,B1共面，则BP、DD1在平面BDD1B1上，故①不符题意；

因为AA1//CC1，即A,C,C1,A1共面，易知P平面ACC1A1，而B平面ACC1A1，PA1C1，PAC，

故BP与AC异面，故②符合题意；

、

当PC1重合时，易知AB//D1C1,ABD1C1，则四边形ABC1D1是平行四边形，

则此时AD1//BP，故③不符合题意；

、

当PC1重合时，显然B1C，BP相交，故④不符合题意.

故答案为：②

【变式1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）如图，在正方体ABCDABCD中，与AB平行的是（）

A．AAB．ADC．DCD．BC

【答案】C

【详解】根据题意可知：AA、AD与AB相交，DC与AB平行，BC与AB异面，

故ABD错误，C正确.

故选：C.

【变式2】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是

棱C1D1的中点，则直线AM与直线CC1的位置关系是．

【答案】异面

【详解】如图所示：

由题意在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是棱C1D1的中点，则直线AM与直线CC1的位置关系是异面，理

由如下：

若直线AM与直线CC1共面，则A,M,C,C1四点共面，

而M,C,C1三点唯一确定平面CDD1C1，

但A平面CDD1C1，产生矛盾，故假设不成立，

综上所述，直线AM与直线CC1的位置关系是异面.

故答案为：异面.

【变式3】（2023上·上海·高二校考期中）在正方体ABCDA1B1C1D1中的12条棱所在直线中，与直线AB1是

异面直线的共有条.

【答案】6

【详解】在正方体ABCDA1B1C1D1中的12条棱所在直线中，

与直线AB1相交的棱所在直线有AD,AB,AA1,B1A1,B1B,B1C，共6条，

其余6条棱所在直线与直线AB1是异面直线，

所以与直线AB1是异面直线的共有6条.

故答案为：6

题型02求异面直线所成的角

【典例1】（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是棱CC1的中点，

则异面直线BM与AC所成角的正弦值为（）

103101510

A．B．C．D．

510510

【答案】C

【详解】如图所示，取DD1中点N，连接AN,CN,AC,MN，取AC中点O，连接ON，

则MN//CD//AB,MNCDAB，

所以四边形ABMN是平行四边形，所以BM//AN，

所以NAC或其补角是异面直线BM与AC所成角，

设正方体棱长为2，则ANCN5,AC22，

在等腰ANC中，O是AC中点，所以ONAC，

2

21

ANAC

所以ON2315，

sinNAC

ANAN55

15

即异面直线BM与AC所成角的正弦值为.

5

故选：C

【典例2】（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）如图，已知圆柱O1O2的底面半径和母线长

π

均为1，B、A分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线O1B,O2A所成的角为，则AB（）

3

A．1B．2C．1或2D．2或2

【答案】D

【详解】如图，过点A作AD平面O1于点D，则AD是母线，

连接DB,O1O2底面，AD//O1O2,ADO1O2，

则四边形ADO1O2是平行四边形，O1D//O2A，

O2A与O1B所成的角就是DO1B或其补角．

π

当DOB时，△DOB是等边三角形，BD1，

131

在Rt△ABD中，ABBD2AD22；

2π3

当DO1B时，在O1DB中，BD23，

32

在Rt△ABD中，ABBD2AD22．

综上，AB2或2.

故选：D．

【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，AB2，ADAF1，

且二面角CABF为60，则异面直线AC与BF所成角的正弦值为．

【答案】51

10

【详解】连接CE，AE，AEBFO，取CE中点M，连接OM，BM，

∵四边形ABCD，ABEF为矩形，∴ABBC，ABBE，

平面ABC平面ABFAB，BC平面ABC，BE平面ABF，

∴CBE即为二面角CABF的平面角，∴CBE60，

3

又BCAD，BEAF，∴BCBE1，∴BCE为等边三角形，∴BM；

2

1

∵O，M分别为AE，CE中点，∴OM//AC，OMAC，

2

∴MOB（或其补角）即为异面直线AC与BF所成角，

5

∵ACBF12225，∴MOOB，

2

553

OM2OB2BM27

∴cosMOB444，

2OMOB510

2

51

所以异面直线AC与BF所成角的正弦值为．

10

故答案为：51．

10

【变式1】（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA11,AD2，

则异面直线AC,A1D的夹角余弦值为（）

10426

A．B．C．D．

10536

【答案】B

【详解】连接B1C，AB1,根据正方体ABCDA1B1C1D1,得到A1DB1C

所以异面直线AC,A1D的夹角为AC,B1C的夹角,

又ABAA11,AD2,所以ACBC15,AB12,

222

ACB1CAB15524

则cosB1CA,

2ACB1C2555

4

则异面直线AC,AD的夹角的余弦值为.

15

故选：B

【变式2】（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱

ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）

4433

A．B．C．D．-

5555

【答案】A

【详解】连接A1C1,BC1，

因为AB//C1D1,ABC1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，

所以AD1//BC1，所以异面直线A1B与AD1所成角为A1BC1或其补角，

又因为AA12AB2且四棱柱为底面是正方形的直四棱柱，

所以A1BBC1145,A1C1112，

222

A1BBC1A1C15524

所以cosA1BC1，

2A1BBC12555

故选：A.

【变式3】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方

形，且AB2，AA14，经过顶点A和C1各作一个平面与平面CB1D1平行，前者与平面ABCD交于l1，后

者与平面ABB1A1交于l2，则异面直线l1与l2所成角的余弦值为.

【答案】10

10

【详解】设平面CB1D1平面ABCDm，因为//平面CB1D1，所以m//l1，

又因为平面ABCD//平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，

所以B1D1//m，B1D1//l1，

因为平面ABB1A1//平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，

同理可证CD1//l2，异面直线l1与l2所成的角即B1D1,CD1所成的CD1B1

在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且ABBC2,AA14，

22，22，

B1D12222CD1CB12425

222

CD1B1D1CB12082010

cosCD1B1，

2CD1B1D12252210

10

所以异面直线l1与l2所成的角的余弦值为.

10

10

故答案为：.

10

题型03证明异面直线垂直

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）四面体ABCD中，对棱ADBC，E，F，G，H是它们所在棱的中

点，求证：四边形EFGH是矩形．

【答案】证明见解析

【详解】如图，EF，HG分别是△ABD和ACD的中位线，

1111

∴EF//AD,EFAD,HG//AD,HGAD，所以EF//HG,EFHG，

2222

∴四边形EFGH是平行四边形，又EH是ABC的中位线，∴EH//BC，

故FEH是异面直线AD与BC所成的角或其补角，∵ADBC，∴FEH90，∴EFEH，因此四边

形EFGH是矩形．

【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，

CD的中点，EF=2．求证：AD⊥BC．

【答案】证明见解析

【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH．

因为E是AB的中点，且AD=2，

所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1．

所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．

因为EF=2，所以EH2+FH2=EF2，

所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，

所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°，

所以AD⊥BC．

【变式1】（2023下·全国·高一专题练习）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，

FG2，GE5，EF3.求证：ACBD.

【答案】证明见解析

【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE//BD，同理GF//AC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面

直线AC与BD所成的角．

在△EFG中，∵FG＝2，GE＝5，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD

所成的角是90°.

∴AC⊥BD.

【变式2】（2023·全国·高一专题练习）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，

GE＝5，EF＝3.求证：AC⊥BD.

【答案】证明见解析

【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE//BD，同理GF//AC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面

直线AC与BD所成的角．

在EFG中，∵FG＝2，GE＝5，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所

成的△角是90°.∴AC⊥BD.

题型04异面直线公垂线问题

π

【典例1】（2023上·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）如图，两条异面直线a,b所成的角为，在直

3

线a,b上分别取点A,E和点A,F，使AAa，且AAb（AA称为异面直线a,b的公垂线）．已知，

AE1,AF2，EF5，则公垂线AA．

【答案】22或32

π

【详解】如图构造一直三棱锥，使EAHGAF，则由题有：AGAE1.

3

π

在GAF中，由余弦定理，可得GFAG2AF22AGGFcos3，

3

则EGAAEF2GF222；

2π

如图构造一直三棱锥，使EAHGAF，则由题有：AGAE1.

3

2π

在GAF中，由余弦定理，可得GFAG2AF22AGGFcos7，

3

则EGAAEF2GF232.

故答案为：22或32.

【典例2】（2023上·高二课时练习）（1）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则异面直线B1B与AD

公垂线是．

（2）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则异面直线A1A与B1C1距离是．

（3）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则异面直线A1B与D1C1公垂线是．

（4）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则异面直线A1C与B1C1距离是．

22a

【答案】AB/BAaA1D1/D1A1a/

22

【详解】解：由正方体的性质可知，ABBB1，ABAD

AB是异面直线AD与BB1的公垂线，

因为AA1A1B1，A1B1B1C1，所以A1B1是异面直线A1A与B1C1的公垂线，

所以异面直线A1A与B1C1的距离等于A1B1a；

A1D1D1C1，A1D1平面ABB1A1，

A1B面ABB1A1，A1D1A1B，

A1D1是异面直线A1B与D1C1的公垂线，

如图取AD的中点G，B1C1的中点M，BC的中点N，A1D1的中点H，

连接GM交A1C于点O，连接GN、GH、MH、MN、OM、ON、MC、A1M，

由正方体的性质可知O是正方体的中心，即O为MG的中点，且B1C1平面MNGH，

又OM平面MNGH，所以B1C1MN，

112

又A1MCM，所以MOA1C，所以MO为异面直线A1C与B1C1的公垂线，MOMGABa，

2212

2

所以异面直线A1C与B1C1距离为a；

2

2

故答案为：AB；a；A1D1；a；

2

【变式1】（2023上·高二课时练习）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A,E

和点A，F，使AAa，且AAb（AA称为异面直线a，b的公垂线）．已知AEm，AFn，EFl，

则公垂线AA．

【答案】l2m2n22mncos

【详解】解：因为异面直线a，b所成的角为，

则EA与AF得夹角为或π，则cosEA,AFcos，

由EFEAAAAF，

2222

得EFEAAAAF2EAAF2EAAA2AFAA，

2

即l2m2AAn22mncos00，

所以AAl2m2n22mncos，

即公垂线AAl22n22ncos.mm

故答案为：l2m2n22mncos.

【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N

分别是边AB、CD的中点.求证：MN为AB和CD的公垂线.

【答案】证明见解析

【详解】设ABp，ACq，ADr，

则pqra，且p、q、r三向量两两夹角均为60°，

111

MNANAMACADABqrp，

222

1121

MNABqrppqprppa2cos60a2cos60a20，

222

则MN⊥AB，同理可证MN⊥CD，

故MN为AB与CD的公垂线.

题型04根据异面直线所成角求参数

【典例1】（2024上·四川内江·高二统考期末）如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N

分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】C

【详解】取AD的中点P，连接PM，PN，如图，

则BD∥PM，AC∥PN，

MPN（或其补角）即异面直线AC与BD所成的角，

11

MPN90，PNAC4，PMBD3，

22

MNPM2PN232425.

故选：C.

【典例2】（2023上·广西南宁·高二南宁三中校联考期中）如图，由矩形ABCD与矩形ABEF构成的二面角

3

DABE为直二面角，M为AB中点，若AB2,AF1,FM与BD所成角为，且cos，则AD（）

3

A．1B．2C．3D．2

【答案】D

【详解】取EF的中点N，连接BN,DN,AN，如图，

矩形ABEF中，M为AB中点，则BM//NF,BMNF，即四边形BMFN是平行四边形，

有BN//FM，因此DBN是直线FM与BD所成的角或其补角，

显然ADAB,AFAB，则DAF是二面角DABE的平面角，有DAF90o，

即有ADAF，而ABAFA,AB,AF平面ABEF，于是AD平面ABEF，AN平面ABEF，

则ADAN，由AB2,AF1，得ANBN2，令ADt，则DNt22,BDt24，

BD2BN2DN2t242(t22)1

在BDN中，由余弦定理得cosDBN，

2BDBN2t2423

解得t2，所以AD2.

故选：D

【典例3】（2023·上海青浦·统考一模）已知四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD平

面ABCD．

(1)求证：BC平面CDP；

(2)若直线AD与BP所成的角大小为60，求DP的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)DP32．

【详解】（1）PD平面ABCD，BC平面ABCD，

DPBC，

又底面ABCD为正方形，则BCDC

且DCDPD，DC,DP平面CDP，

BC平面CDP．

（2）BC平面CDP，

BCCP，CBP为锐角，

又AD//BC，

CBP为直线AD与BP所成的角，

CBP60，在Rt△CPB中，BC3，

CP33，

在Rt△CDP中，CP33，CD3，于是DP32．

1

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在正四面体ABCD中，AFAD,E为AB中点，P是棱CD

3

CP

上的动点，则当异面直线BP与EF所成角的正弦值最小时，（）

CD

5678

A．B．C．D．

6789

【答案】C

1

【详解】如图，作DGDA，则AFFG.

3

E为AB中点，EF是ABG的中位线，则EF//BG，

则PBG是异面直线BP与EF所成的角.

当BP与BG在平面BCD里的投影重合时，PBG最小，

设AO平面BCD，易知O为等边△BCD的重心，连接

DO并延长，交BC于点M，作GH//AO交DO于点H.

11

DGDA,DHDO.

33

设正四面体ABCD的棱长为63，则BMMC33，

MD9.

在△BCD中，O为重心，MO3,OD6.

1

又DHDO,DH2,OH4，则MH7,BHBM2MH276.

3

733

在△BPC中，设CPx.PCB,sinPBC,cosPBC，

37676

CPCPsinPBCsinPBCsinPBC

CDCBsinBPCsinBCPPBC，

sinPBC

3

7

CP767

.

CD333178

276276

故选：C.

【变式2】（多选）（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）已知E，F分别是三棱锥PABC的棱PA，BC

的中点，且PC6，AB8.若异面直线PC与AB所成角的大小为60，则线段EF的长可能为（）

A．7B．13C．5D．37

【答案】BD

【详解】

取AC中点H，连接EH，FH，

因为E，F分别为PA，BC的中点，PC6，AB8，

所以AB∥HF，HE∥PC，HF4，HE3，

所以异面直线PC与AB所成角与直线HF和HE所成角相等，即EHF60或120，

HE2HF2EF2916EF21

当EHF60时，根据余弦定理得，cosEHF，解得EF13；

2HEHF242

HE2HF2EF2916EF21

当EHF120时，根据余弦定理得，cosEHF，解得EF37.

2HEHF242

故答案为：BD.

题型05与已知直线成角的直线条数问题

【典例1】（2023上·上海奉贤·高二校联考期中）若两异面直线a,b所成的角为70，过空间内一点P作与直

线a,b所成角均为70的直线l，则所作直线l的条数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【详解】在空间取一点M，经过点M分别作a//a,b//b，

设直线a,b确定平面，当直线MP满足它的射影MQ在a,b所成角的平分线上时，

MP与a所成的角等于MP与b所成的角，

因为直线a，b所成的角为70，得a,b所成锐角等于70，

所以当MP射影MQ在a,b所成锐角的平分线上时，

MP与a,b所成角的范围是35,90.

这种情况下，过点M有两条直线与a,b所成的角都是70，

当MP的射影MQ在a,b所成钝角的平分线上时，

MP与a,b所成角的范围是55,90.

这种情况下，过点M有两条直线与a,b所成的角都是70，

综上所述，过空间任意一点M可作与a，b所成的角都是70的直线有4条.

故选：D.

【典例2】（2024上·上海·高二专题练习）异面直线a，b成80°角，点P是a，b外的一个定点，若过P点

有且仅有n条直线与a，b所成的角相等且等于45°，则n＝．

【答案】2

【详解】解：如图：

先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE＝80°，∠EPD＝100°，

而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为40°，

而∠EPD的角平分线与a和b的所成角为50°，

因为45°＞40°，45°＜50°，

所以直线与a，b所成角相等且等于45°有且只有两条，

且直线在面PBE的射影为∠BPE的角平分线，

故答案为：2．

【典例3】（2023上·上海·高二上海交大附中校考期末）已知异面直线a、b所成角为，过空间定点P与a、

b成65角的直线l共有3条，则的大小是.

【答案】50

【详解】解：分别将直线a,b平移得到a,b，使得a,b经过点P，如图所示，

设a,b所成角的角平分线为c，过点P垂直于a,b所在平面的直线为d，

因为异面直线a、b所成角为，所以直线a,b所成角为，

所以，当直线l经过点P且直线l在直线a,b所在平面，垂直于直线c时，直线l与直线a,b所成角相等，为

65时，a,b成角为18026550，即50；

当直线l在直线c,d平面内时，若直线l绕着点P旋转，此时直线l与直线a,b所成角相等，且所成角从变

2

化到90，再从90变化到，此时满足条件的直线有两条，

2

180

所以，65，解得50.

2

所以，过空间定点P与a、b成65角的直线l共有3条时，50.

故答案为：50

【变式1】（2023上·安徽·高二合肥一中校联考阶段练习）已知两条异面直线a，b所成角为70，若过空间

内一定点的直线l和a，b所成角均为60，则这样的直线l有（）

A．2条B．3条C．4条D．5条

【答案】C

【详解】如图：

通过平移过点P作a∥BD，b∥CE，由题意，BPE70,EPD110,

70

而BPE的角平分线与a和b的所成角为35，

2

110

EPD的角平分线与a和b的所成角为55，

2

因为6035,6055，所以直线l和a，b所成角均为60的直线有4条，

其中直线l在平面BPE的射影为BPE的角平分线时存在2条直线满足条件，

当直线l在平面EPD的射影为EPD的角平分线时存在2条满足条件，故共4条.

故选：C.

【变式2】（2023下·上海·高二专题练习）正方体中ABCDA1B1C1D1，过D1作直线l，若直线l与平面ABCD

π

中的直线所成角的最小值为，且直线l与直线BC1所成角为，则满足条件的直线l的条数为.

64

【答案】2

【详解】设立方体的棱长为1，过D1作直线l，

若直线l与平面ABCD中的直线所成角的最小值为，

6

即l与平面ABCD所成角为，

6

DD1为轴的圆锥母线（母线与DD1成60）是直线l的运动轨迹，

π

连接DA，由题意得DA∥BC，直线l与直线BC所成角为，

11114

π

直线l与直线DA所成角为.

14

此时D1A为轴的圆锥母线（母线与D1A成45）是直线l的运动轨迹，

两个圆锥相交得到两条交线.

故答案为：2

【变式3】（2023·上海·高二专题练习）已知异面直线a,b所成角为，过空间一点P有且仅有2条直线与a,b

3

所成角都是，则的取值范围是.

【答案】,

63

【详解】将直线a,b平移交于点P，设平移后的直线为a,b，

过点P作aPb及其外角的角平分线l,l，则aPb；

123

在l方向，要使过空间一点P的直线，且与a,b所成角都是的直线有两条，则；

16

在l方向，要使过空间一点P的直线，且与a,b所成角都是的直线不存在，则；

23

综上所述：,.

63

故答案为：,.

63

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1．（2012·北京·统考一模）若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（）

A．一定平行B．一定垂直

C．一定是异面直线D．一定相交

【答案】B

【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断.

【详解】∵a⊥b，bc，∴a⊥c.

故选：B.

-

2．（2019上·山西朔州·高二阶段练习）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，

，则异面直线与所成的角为（）

ABBC2,BB11,AC22BDAC

A．30B．45C．60D．90

【答案】C

【分析】取B1C1的中点E，连接BE,DE，易得BDE（或其补角）为异面直线BD与AC所成的角，进而求

其大小即可.

【详解】如图，取B1C1的中点E，连接BE,DE，则AC//A1C1//DE，则BDE（或其补角）即为异面直线BD

与AC所成的角.

由条件知：BDDEEB2，则BDE60，

故选：C.

3．（2017上·陕西西安·高一西安中学校考期末）在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AD1与BD所成的

角为（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

【答案】C

【分析】根据题意，求异面直线所成角，找到平行线，转化成平面角，即可求解.

【详解】由题意，作正方体ABCDA1B1C1D1，如下图所示：

连接BC1,DC1，QAD1∥BC1，

∴异面直线AD1与BD即所成的角为DBC1.

由题可得DBC1为等边三角形，DBC160.

∴异面直线AD1与BD所成的角为60°.

故选：C.

4．（2014·全国·高三专题练习）如图是某个正方体的平面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在该正方体

中，l1与l2

A．互相平行B．异面且互相垂直C．异面且夹角为