高一数学必修第一册同步学与练（人教A版）第04讲 对数函数（解析版）

第04讲4.4对数函数

（4.4.1对数函数的概念+4.4.2对数函数的图象和性质）

课程标准学习目标

①理解对数函数的概念及条件，掌握对

数函数的图象与性质。通过本节课的学习，要求掌握对数函数的概念，图象及

②会利用对数函数的性质解决与对数函数性质，利用对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、

有关的函数的定义域、值域、单调性、大小利用单调性比较函数值的大小，会解对数方程及对数不

比较、对数方程与不等式等相关问题。等式，能处理与对数函数有关的函数综合问题.

知识点01：对数函数的概念

1、对数函数的概念

一般地，函数ylogax(a0,且a1)叫做对数函数，其中指数x是自变量，定义域是(0,).

判断一个函数是对数函数的依据

（1）形如ylogax；（2）底数a满足a0,且a1；（3）真数是x，而不是x的函数；（4）定义域(0,).

x

例如：ylogx是对数函数，而ylog(x1)、ylog都不是对数函数，可称为对数型函数.

5555

【即学即练1】（2022·高一课时练习）判断正误

（1）对数函数的定义域为R．()

2

（2）ylog2x与ylogx3都不是对数函数．()

（3）对数函数的图象一定在y轴右侧．()

【答案】错误正确正确

【详解】（1）对数函数ylogax（a0且a1）中，自变量x0，故该结论错误．

（）2定义域为，与对数函数（且）的定义域不同，不符合对数函数

2ylog2xxx0ylogaxa0a1

的定义；ylogx3中底数不是常数，真数不是自变量，不符合对数函数的定义，故该结论正确．

（3）对数函数ylogax（a0且a1）中，自变量x0，所以对数函数的图象一定在y轴右侧，故该结

论正确．

2、两种特殊的对数函数

特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作ylgx;称以无理数e为底的对数函数为自然对

数函数,记作ylnx.

知识点02：对数函数的图象及其性质

函数yax(a0,且a1)的图象和性质如下表：

底数a10a1

图象

定义域(0,)

性质值域R

单调性增函数减函数

【即学即练2】（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)loga(x1)2的图象恒过定点（）

A．(2,2)B．(2,1)C．(3,2)D．(2,0)

【答案】A

【详解】当x2时f(2)loga122，即函数图象恒过(2,2).

故选：A

题型01判断函数是否为对数函数

【典例1】（多选）（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有（）

2

A．ylogπxB．ylog2xC．ylog4xD．ylog2(x1)

【答案】AB

【详解】根据对数函数的定义知，ylogπx，ylog2x是对数函数，故AB正确；

2

而ylog4x，ylog2(x1)不符合对数函数的定义，故CD错误.

故选：AB

2

【典例2】（2023·全国·高一假期作业）若函数ylogaxa3a2为对数函数，则a（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

2

【详解】由题可知：函数ylogaxa3a2为对数函数

所以a23a20a1或a2，又a0且a1

所以a2

故选：B

【变式1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数为对数函数的是（）

3

A．fxlogm1x（m1，且m2）B．fxlgx

C．fxlnxD．fxlnxe

【答案】AC

【详解】形如ylogax（a0，且a1）的函数为对数函数，

对于A，由m1，且m2，可知m10，且m11，故A符合题意；

对于B，不符合题意；

对于C，符合题意；

对于D，不符合题意；

故选：AC.

【变式2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数是对数函数的是（）

x2

A．yloga2xB．ylg10C．ylogaxxD．ylnx

【答案】D

【详解】因为函数ylogax(a0且a1)为对数函数，

所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.

故选：D.

题型02求对数函数解析式

【典例1】（2023·高一课时练习）若对数函数的图象过点4,2，则此函数的表达式为.

【答案】ylog1xx0

2

22

【详解】设对数函数为ylogax，a0,1，因为对数函数的图象过点4,2，所以2loga4，即a42，

1

解得a，所以ylog1xx0.

22

故答案为：ylog1xx0

2

【典例2】（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学统考期中）已知函数fxlogax（a0且a1）

的图象过点9,2.

(1)求函数fx的解析式；

(2)解不等式f3x1fx5.

【答案】(1)f(x)log3x

3

(2)(,5)

2

【详解】（1）因为函数fxlogax（a0且a1）的图象过点9,2.

loga92，所以a3，即f(x)log3x；

（2）因为f(x)单调递增，所以3x1x50，

3

即不等式的解集是(,5)．

2

【变式1】（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）若对数函数的图象过点P8,3，则

1

f．

4

【答案】2

【详解】设对数函数fxlogax（a0，且a1），因为函数图象过点P8,3，

所以loga83，得a2，

11

所以flog22.

44

故答案为：2

【变式2】（2023春·陕西西安·高一校考开学考试）已知函数f(x)logax（a0且a1），且函数的图象

过点(2,1)．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若fm2m1成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）fxlog2x；（2）(1,0)(1,2).

【详解】(1)f21,loga21，解得a2，故函数fx的解析式fxlog2x

222

(2)fmm1即log2mm1log220mm2，解得1m0或1m2

故实数m的取值范围是(1,0)(1,2)

题型03对数（对数型复合函数）函数定义域

【典例1】（2023春·山东潍坊·高二校联考期末）函数f(x)lg(x23x2)的定义域是（）．

A．(2,1)B．[2,1]

C．(,2)(1,)D．(,2][1,)

【答案】C

【详解】由题知，x23x20，解得x<2或x1，

所以函数f(x)的定义域为(,2)(1,).

故选：C

2

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知x满足式子logx2xx2，求x.

【答案】2<x<1或x2

2

【详解】因为x满足式子logx2xx2.

x2x20

故x20，解得2x1或x2.

x21

21

【变式1】（2023春·重庆·高二校联考期末）已知函数fx2xlog2x，则fx的定义域

2

为．

1

【答案】,2

2

2x20

21

【详解】因为fx2xlog2x，所以1，

2x0

2

11

解得x2，所以fx的定义域为,2.

22

1

故答案为：,2

2

ln(2x1)

【变式2】（2023春·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）函数y的定义域为.

x1

1

【答案】,11,

2

1

2x10x

【详解】由函数解析式可得，解得2；

x10

x1

1

所以函数定义域为,11,.

2

1

故答案为：,11,

2

题型04对数函数（对数型复合函数）图象问题

ylogxylogx

【典例1】（2023·全国·高一假期作业）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数1，1，

57

ylog5x的一个是（）

A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）

【答案】B

111

【详解】因为log1log1log1，

757755

ylog1xylog1xylog1xlog5x

（3）是，（4）是，又与ylog5x关于x轴对称，

755

（1）是ylog5x．

故选：B．

【典例2】（2023春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）若函数ya|x|(a0且a1)的值域为[1,)，

则函数yloga|x|的大致图象是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【详解】∵|x|0，且ya|x|的值域为[1,)，∴a1，

当x0时，yloga|x|logax在(0,)上是增函数．

又函数yloga|x|loga|x|，所以yloga|x|为偶函数，图象关于y轴对称，

所以yloga|x|的大致图象应为选项A．

故选：A．

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）函数ylgx1的图像是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【详解】由于函数ylg(x1)的图象可由函数ylgx的图象左移一个单位而得到，函数ylgx的图象与x

轴的交点是(1,0)，

故函数ylg(x1)的图象与x轴的交点是(0,0)，即函数ylg(x1)的图象与x轴的公共点是(0,0)，显然四

个选项只有A选项满足.

故选：A.

x

【变式1】（2023·全国·高一假期作业）当0a1时，在同一坐标系中，函数ya与ylogax的图象是

（）

A．B．

C．D．

【答案】C

x

1

x1

【详解】当0a1时，1，函数ya为底数大于1的指数函数，是增函数，函数ylogax为

aa

底数大于0、小于1的对数函数，是减函数，

故选：C.

x

1

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)与g(x)log4x的大致图像是（）

4

A．B．C．

D．

【答案】A

x

1

【详解】解：因为f(x)在定义域R上单调递减，

4

g(x)logxlog1xlogx

又441，所以g(x)在定义域0,上单调递减，

4

故符合条件的只有A；

故选：A

x

1

【变式3】（2023秋·广东深圳·高一统考期末）当a1时，在同一平面直角坐标系中，y与ylogax

a

的图象是（）

A．B．C．

D．

【答案】B

1

【详解】ylogx的定义域为(,0)，故AD错误；BC中，又因为a1，所以01，故C错误，B

aa

正确.

故选：B

题型05求对数函数（对数型复合函数）的值域

【典例1】（2023·高一课时练习）已知函数fxlgx21,x1,3，则fx的值域为（）

A．0,B．0,1C．lg2,1D．0,1

【答案】D

【详解】因为x1,3，所以x211,10，所以fxlgx210,1，

故选：D

2

【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数ylog1x6x17的值域是．

2

【答案】(,3]

2ylogt

【详解】令tx6x17，则1，

2

因为tx26x17(x3)28≥8，

所以tx26x17的值域为[8,），

因为ylog1t在[8,）是减函数，

2

所以ylog1tlog18-3，

22

2

所以ylog1(x6x17)的值域为(,3]，

2

故答案为：(,3]

2

【典例】（秋陕西西安高一校考期末）已知，．

32023··f(x)log1x2log1x4x2,4

22

（1）设tlog1x，x2,4，求t的最大值与最小值；

2

（2）求f(x)的值域．

【答案】（1）最大值-1，最小值-2；（2）[7，12]

【详解】（1）tlog1x，x[2，4]，

2

t在x[2，4]上是减函数，

log21

x2时t有最大值1；

2

x4时t有最小值log142．

2

（2）f(x)t22t4(t1)23g(t)，

g(t)在t[2，1]单调递减，

t2（即x4)，取得最大值，g(2)12．

t1（即x2)，取得最小值，g(1)7．

所以函数f(x)的值域[7，12]．

5

21

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)＝log1(3xx)0x的最大值为.

342

【答案】0

514

【详解】解：令y3x2x3(x)2，

463

11

对称轴为x[0，]，

62

14

当x时，y，

6max3

1

当x时，y1，

2min

25

log110

函数f(x)log1(3xx)的最大值为：.

343

故答案为：0.

【变式2】（2023·全国·高一假期作业）已知函数fxlogax过(2,1)点．

(1)求fx解析式；

(2)若g(x)f(x24x5)，求gx的值域．

【答案】(1)fxlog1x，x0,

2

(2)log19,

2

1

【详解】（1）将(2,1)代入fxlogx，得1log2，解得a，

aa2

所以fxlog1x，其中x0,

2

22

（2）g(x)f(x4x5)log1(x4x5)，

2

由x24x50，解得1x5，

令ux24x5，1x5，

∵ux24x5(x2)29，

∴由二次函数的性质可知，在x(1,5)时，u(0,9]，

又ylog1u在(0,)上单调递减，

2

所以gx的值域为log19,．(注：log29,也正确)

2

【变式3】（2023·全国·高一假期作业）设fxloga1xloga3xa0,a1，且f12.

(1)求a的值及fx的定义域；

3

(2)求fx在区间0,上的最大值.

2

【答案】(1)2，(1,3)；

(2)2.

【详解】（1）∵f(1)=2，∴loga2loga22(a0,a1)，∴a=2.

1+x>0

由，解得-1<x<3，

3x>0

∴函数f(x)的定义域为(1,3).

2

（2）f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)4，

∴当x(1,1]时，f(x)是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数，

3

函数f(x)在0,上的最大值是f(1)log42.

22

题型06根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数

2

【典例1】（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知函数f(x)lnax(a6)x2既没有最

大值，也没有最小值，则a的取值范围是（）

A．,218,+B．2,18

C．0,218,D．0,218,

【答案】D

2

【详解】由yax2(a6)x2，a不等于0时，a64a2a220a36,

当a0,a220a360得2a18，

二次函数yax2(a6)x2没有最大值，有最小值，

2

f(x)lnax(a6)x2没有最大值，有最小值，不合题意.

当a0,a220a360得a18，0a2，二次函数yax2(a6)x2没有最大值，有最小值，

22

yax(a6)x20,f(x)lnax(a6)x2没有最大值，没有最小值，a0,218,

当a0,a220a360得a<0，二次函数yax2(a6)x2有最大值，没有最小值，

22

yax(a6)x20,f(x)lnax(a6)x2有最大值，没有最小值，不合题意.

当a0,a220a360无解.

22

当a0,yax(a6)x26x2既没有最大值，也没有最小值，f(x)lnax(a6)x2没有最大

值，没有最小值，a0.

a0,218,

故选：D.

x22x3,x2

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)(a0且a1)，若函数fx的

6logax,x2

值域是,4，则实数a的取值范围是（）

22

A．,1B．,1

22

C．1,2D．1,2

【答案】B

【详解】当x2时，fxx22x3(x1)24，函数在,1上单调递增，

在1,2上单调递减，所以fxf14，即fx,4；

若函数f(x)的值域是,4，则需当x2时，6logax4．

当a1时，f(x)6logax在(2,)上单调递增，

此时fxf26loga26，不合题意；

当0a1时，f(x)6logax在(2,)上单调递减，

2

此时fxf26loga24，即loga22，则loga2logaa，

22

所以a22，显然a0，解得a，又0a1，所以a1．

22

2

综上所述，实数a的取值范围是,1．

2

故选：B

2

【典例3】（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）若函数ylogaax3ax2的值域为R，则a的取值

范围是．

8

【答案】,1(1,)

9

2

【详解】解：ylogaax3ax2的值域为R，

a0

8

∴a1，解得a1或a1，

29

Δ3a4a20

8

故答案为：,1(1,)．

9

【变式1】（2023·高一课时练习）已知函数fxlogax2（a0，且a1）在1,3上的值域为2,4，

则实数a的值是（）

13

A．3B．C．23D．

32

【答案】A

【详解】若0a1，则fxlogax2在1,3上单调递减，则loga32fx2，不符合题意；

若a1，则fxlogax2在1,3上单调递增，则2fxloga32，

又因为fx的值域为2,4，所以loga324，解得a3．

故选：A．

1

【变式2】（2023春·云南昆明·高一统考期末）已知函数f(x)logx的定义域为,m，值域为0,1，则

33

满足要求的一个m的值为.

【答案】2（写出1,3中的任意一个实数即可）

1111

【详解】当x时，flog31，因为函数f(x)log3x的定义域为,m，值域为0,1，所以

3333

0log3m1，解得1m3.取m2.

故答案为：2.

2

【变式3】（2023·全国·高三对口高考）若函数ylgxax9的定义域为R，则a的取值范围为；

2

若函数ylgxax9的值域为R，则a的取值范围为.

【答案】(6,6),66,

2

【详解】函数ylgxax9的定义域为R，则x2ax90对于xR恒成立，

故(a)2490，解得6a6，即a(6,6)；

2

若函数ylgxax9的值域为R，即x2ax9能取到所有正数，

2

故Δa490，解得a6或a6，即a,66,，

故答案为：(6,6)；,66,

题型07对数函数（对数型复合函数）的单调性

x2

【典例1】（2023春·山东青岛·高二统考期末）已知函数fxlg，则fx（）

x2

A．是奇函数，且在2,是增函数B．是偶函数，且在2,是增函数

C．是奇函数，且在2,是减函数D．是偶函数，且在2,是减函数

【答案】A

x2

【详解】由0得：x<2或x2，\f(x)的定义域为,22,；

x2

x2x2x2

fxlglglgfx，\f(x)是奇函数；

x2x2x2

x2x244

fxlglglg1，

x2x2x2

4

u1在2,上单调递增，ylgu在0,上单调递增，

x2

由复合函数单调性可知：fx在2,上是增函数.

故选：A.

【典例2】（2023春·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）函数fxln2x23x1的单调

增区间为.

【答案】1,

【详解】函数fxln2x23x1，

1

所以定义域为2x23x10，解得x1或x，

2

1

令t2x23x1（x1或x），则ylnt，

2

3

因为t2x23x1在,上单调递增，而ylnt在定义域内为增函数，

4

2

所以由复合函数“同增异减”的性质，可知函数fxln2x3x1的单调递增区间为1,故答案为：

1,

2

【变式1】（2023春·浙江衢州·高二统考期末）函数ylog0.5xx2的单调递增区间为（）

A．,1B．2,

11

C．,1和,2D．1,和2,

22

【答案】C

22

【详解】对于函数ylog0.5xx2，令xx20，解得x1且x2，

所以函数的定义域为,11,22,，

2

2xx2,x,12,

又函数yxx22，

xx2,x1,2

211

所以yxx2在2,，1,上单调递增，在,1，,2上单调递减，

22

又函数ylog0.5x在定义域0,上单调递减，

21

根据复合函数的单调性，可知ylog0.5xx2的单调递增区间为,1和,2.

2

故选：C

.

【变式2】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x)ln3x24x4，则f(x)的单调增区间为.

22

【答案】(,)

33

2

【详解】令3x24x4(3x2)(x2)0，即x2，

3

21622

由y3x24x43(x)2，则y在(,)上递增，在(,)上递减，

3333

222

综上，y在(,)上递增，在(,2)上递减，而ylnx在定义域上递增，

333

22

所以f(x)的单调增区间为(,).

33

22

故答案为：(,)

33

题型08根据数函数（对数型复合函数）的单调性求参数

【典例1】（2023·高一课时练习）已知yloga(2ax)是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（）

A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．(2,)

【答案】B

【详解】令t2ax,ulogt，

a

因为a0，

所以t2ax在R上是减函数，

f(x)loga(2ax)在[0，1]上是减函数，

则ulogt在上是增函数，

a0,

a1

所以，解得1a2，

2a0

故选：B

【典例2】（2023秋·江苏连云港·高一校考期末）若函数fxlgx24x5在t,t1上单调，则实数t的取

值范围是（）．

A．,12,B．,2U5,

C．,12,D．,2U5,

【答案】D

【详解】解：函数f(x)lg(x24x5)在(t,t1)上单调，函数的定义域为,15,，因为

yx24x5(x5)(x1)，x,15,在5,上单调递增，在,1上单调递减，ylgx在

定义域上单调递增，

所以f(x)lg(x24x5)在5,上单调递增，在,1上单调递减，

要使函数f(x)lg(x24x5)在(t,t1)上单调，

t…5，或t1„1，解得t…5，或t„2，即t,2U5,，

故选：D．

(3a1)x4a,x1f(x)f(x)

【典例3】（2023·全国·高一假期作业）若函数f(x)对任意xx,都有210，

12

logax,x1x2x1

则实数a的取值范围是（）

1

A．0，1B．0，

3

111

C．(,1D．，

773

【答案】D

f(x)f(x)

【详解】由210得，f(x)在R上是减函数，

x2x1

0a1

11

则有3a10，解得a

73.

3a14aloga1

故选：D.

(3a1)x4a,x1

【变式1】（2023·高一课时练习）已知f(x)在R上单调递减，则a的取值范围

logax,x1

是．

11

【答案】,

73

(3a1)x4a,x1

【详解】若函数f(x)在R上是单调减函数，

logax,x1

3a10

11

则0a1，解得a，

73

(3a1)4a0

11

即a,，

73

11

故答案为：,．

73

2

【变式2】（2023·全国·高三对口高考）若函数f(x)log2xax6在(,2]上是减函数，则实数a的取

值范围是.

【答案】[4,5)

2

【详解】令uxax6，则f(x)log2u在u(0,)上单调递增，若f(x)在(,2]上是减函数，

a

2

则ux2ax6在(,2]上是减函数且恒大于0，从而有2，

2

umin22a60

解得a[4,5).

故答案为：[4,5).

21

【变式3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数fxlnax2x2，若fx在区间,内单调递

2

减，则a的取值范围是.

【答案】0a2

21

【详解】因为函数fxlnax2x2在区间,内单调递减，

2

设gxax22x2，

11

所以gxax22x2在区间,上为减函数，且gx0在区间,上恒成立，

22

当a0时，gx2x2，满足题意；

1

当a<0时，gxax22x2，开口向下，在区间,上不为减函数，不满足题意；

2

当a0时，gxax22x2，

a0

a

所以10，解得0a2；

4

21

2a2

所以综上可得0a2.

故答案为：0a2

题型09比较大小问题

0.70.8

【典例1】（2023春·山东德州·高二统考期末）设ae，b3，clog3e，则a，b，c的大小关系为（）

A．abcB．cbaC．cabD．b<c<a

【答案】C

0.70.80.8

【详解】因为clog3elog331，又1ee3，

所以c<a<b.

故选：C

0.85

【典例2】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）a5，b0.8，clog50.8，则a,b,c的大小关系为

（）

A．bcaB．cbaC．cabD．abc

【答案】B

【详解】根据指数函数的性质，可得a50.8501，0b0.850.801，

由对数函数的性质，可得clog50.8log510，所以cba.

故选：B.

3

【典例3】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知alog4,blog9,c，则（）

342

A．acbB．b<c<a

C．abcD．bac

【答案】A

3

【详解】alog4log33,ac，

332

3

blog9log8,bc,acb.

442

故选：A.

3

【变式1】（2023春·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）已知alog3，blog4，c，则（）

232

A．cbaB．bcaC．cabD．acb

【答案】B

3

3