高一数学必修第一册同步学与练（人教A版）第07讲 正切函数的性质与图象（解析版）

第07讲5.4.3正切函数的性质与图象

课程标准学习目标

①理解与掌握正切函数的性质，并能运

用正切函数的性质解决与正切函数相关的

周期性、奇偶性，定义域、值域、单调性等

问题。会运用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的

②掌握正切函数的图象的画法，会运用正切周期、奇偶性、单调性及值域等问题.

函数的图象研究正切函数的性质，并能解决

与正切函数有关的相关量问题。

知识点01：正切函数的图象

【即学即练1】（2023·全国·高二专题练习）函数ytanx在一个周期内的大致图象是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【详解】由正切函数的图象与性质可知ytanx在(,)上单调递增，图象为A，

22

故选：A

知识点02：正切（型）函数的性质

正切函数f(x)tanx正切型函数f(x)Atan(x)

定义域

{x|xk,kZ}k

由xk

2x2

2

值域RR

周期性T

T

||

奇偶性奇函数k

当时f(x)Atan(x)是奇函

2

数

单调性当A0,0时，由

在(k,k)，kZ上单调

22

kxk，解出单调增区

递增22

间

对称性kk

对称中心：(,0)kZ；无对称k

令：x，对称中

2x2

2

轴

k

心为：，无对称轴

(2,0)

【即学即练2】（多选）（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考开学考试）下列说法中正确的是（）

A．对于定义在实数R上的函数fx中满足fx2fx，则函数fx是以2为周期的函数

π5ππ

B．函数fxtanx的单调递增区间为kπ,kπ，kZ

366

π

C．函数fxsinx为奇函数

2

3

D．角的终边上一点坐标为1，3，则cos

2

【答案】AB

【详解】A.若对xR，满足fx2fx，则函数fx是以2为周期的函数，故A正确；

πππ5ππ

B.令kπxkπ，解得：kπxkπ，kZ，

23266

5ππ

所以函数的单调递增区间为kπ,kπ，kZ，故B正确；

66

π

C.fxsinxcosx为偶函数，故C错误；

2

221

D.角的终边上一点坐标为1，3，r132，则cos，故D错误.

2

故选：AB

题型01正切函数的定义域

sinxcosx

【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）函数y的定义域为．

tanx

kπ

【答案】xx,kZ

2

【详解】因为函数ysinx与ycosx的定义域为R，

sinxcosx

若要使函数y有意义，必须使tanx有意义，且tanx0，

tanx

π

xkπ,kZkπ

所以有2，解得x,kZ，

2

xkπ,kZ

sinxcosxkπ

所以函数y的定义域为xx,kZ．

tanx2

k

故答案为：xx,kZ.

2

π

【典例2】（2023秋·山西朔州·高一统考期末）函数f(x)3tan(4x)的定义域为.

12

5πkπ

【答案】x∣x,kZ

484

ππ5πkπ

【详解】令4xkπ,kZ，所以x,kZ，

122484

5πkπ

即函数fx的定义域为x∣x,kZ.

484

5πkπ

故答案为：x∣x,kZ.

484

π

【变式1】（2023·全国·高一课堂例题）函数y1tanx的定义域为．

4

3π

【答案】xkπxkπ,kZ

4

ππππ

【详解】由1tanx0，得tanx1，且xkπkZ．

4442

πππ3π

由图可得kπxkπkZ，即kπxkπkZ．

2444

π3π

所以函数y1tanx的定义域为xkπxkπ,kZ．

44

3π

故答案为：xkπxkπ,kZ.

4

ππ

【变式2】（2023春·上海奉贤·高一校考期中）函数ytanx的定义域是．

63

【答案】{x|x16k,kZ}

π

【详解】由于正切函数ytanx的定义域为{x|xkπ,kZ}，

2

πππ

故令xkπ,kZ，

632

解得x16k,kZ，

ππ

即函数ytanx的定义域是{x|x16k,kZ}，

63

故答案为：{x|x16k,kZ}

题型02正切函数的值域

ππ5π

【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数ytanx，x,的值域为（）

6612

33

A．3,1B．1,C．1,3D．,1

33

【答案】A

ππ5πππ

【详解】设zx，因为x,，所以z,．

661234

ππππ

因为正切函数ytanz在,上单调递增，且tan3，tan1，

2234

所以tanz3,1．

故选：A．

【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数fx2tan2x5tanx2，x,的值域为．

44

【答案】9,1

【详解】解：因为x,，所以tanx1,1，

44

2

59

fx2tanx，

48

则当时，，

tanx1fxmax1

当时，，

tanx1fxmin9

所以函数fx的值域为9,1.

故答案为：9,1.

【典例3】（2023·高一课时练习）函数ytan2xtanx2,x,的值域为.

44

7

【答案】，4

4

2

217

【详解】由x,得tanx1,1，ytanxtanx2tanx，

4424

17

故当tanx时，有最小值，当tanx1时，有最大值4.

24

7

故答案为：，4.

4

ππ

【变式1】（2023·高一课时练习）函数y13tanxx的值域为．

43

【答案】2,13

ππ

【详解】当x时，1tanx3，213tanx13，

43

ππ

即y13tanxx的值域为2,13.

43

故答案为：2,13.

【变式2】（2023·全国·高一假期作业）函数ytanx,x,的值域为.

663

【答案】0,

【详解】设zx，因为x,，可得z(0,)，

6632

因为正切函数ytanz在0,上的值域为0,，

2

即函数ytanx在,的值域为0,.

663

故答案为：0,.

【变式3】（2023秋·高一课时练习）函数ytan2x4tanx1的值域为

【答案】5,

【详解】解：因为ytan2x4tanx1

令ttanx，则tR

2

所以ftt24t1t25，所以ft5,，故函数的值域为5,

故答案为：5,

题型03求正切函数的单调区间

【典例1】（2023春·高一单元测试）函数ytan3x的单调区间是（）

6

ππ2

A．kπ,kπ(kZ)B．k,k(kZ)

3399

kk2kk2

C．,(kZ)D．,(kZ)

39393939

【答案】D

【详解】因为ytan3xtan3x，

66

kk2

令k3xk，kZ，解得x，kZ，

2623939

kk2

所以函数ytan3x的单调递减区间为,(kZ).

63939

故选：D.

πx

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）y3tan的单调递减区间为.

64

48

【答案】4kππ,4kππkZ

33

πxxπ

【详解】函数y3tan3tan，

6446

πxππ

由正切函数的性质知kπkπkZ，

2462

48

解得4kππx4kππkZ

33

48

所以函数的单调递减区间为4kππ,4kππkZ

33

48

故答案为：4kππ,4kππkZ

33

【变式1】（2023·全国·高一假期作业）若函数ytan(x)在,上为严格减函数，则实数的取值范

44

围是．

【答案】(2,0)

ππ

【详解】因为函数y2tanx的单调递增区间为kπ,kπ，kZ，

22

且函数y2tanx在,上为严格减函数，

44

42

所以，解得20，即(2,0).

42

0

故答案为：(2,0).

π

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数ytan3x的单调递减区间为．

4

πkππkπ

【答案】,(kZ)

12343

ππ

【详解】ytan3xtan3x．

44

ππππkππkπ

由kπ3xkπkZxkZ，

24212343

ππkππkπ

故函数ytan3x的单调递减区间为,(kZ)

412343

πkππkπ

故答案为：,(kZ)

12343

题型04正切函数单调性的应用

ππ

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)Atan(x)(0)，若（fx）在区间，π内单调

32

递减，则的取值范围是（）

117117117

A．0，B．(,)C．(0,][,]D．(0,)(,)

636636636

【答案】C

πππ

【详解】因为（fx）在区间，π内单调递减，所以A0，ytan(x)(0)在区间，π内单调递增，

232

πππkπ5πkππ

由kπxkπ，kZ，得x，kZ，

23266

πkπ5πkππ

所以ytan(x)(0)的单调递增区间为,，kZ，

366

πkπ5πkππ

依题意得，π,，kZ，

266

kπ5ππ

62

所以，kZ，

kππ

π

6

51

所以2kk，kZ，

36

511111

由2kk得k，由0k得k，

36666

111

所以k且kZ，

66

所以k0或k1，

511

当k0时，，又0，所以0，

366

17

当k1时，.

36

117

综上所述：(0,][,].

636

故选：C.

【典例2】（2023·高一课时练习）已知函数ytanx在,上是严格减函数，则实数的取值范围

22

是．

【答案】1,0

【详解】因为函数ytanx在,上是严格减函数，

22

所以0，x，,,，

222222

22

10.

22

故答案为：1,0

【变式1】（2023·高一课时练习）已知函数ytanx在,内是减函数，则的取值范围为（）

22

A．2,0B．1,0C．0,1D．1,2

【答案】B

【详解】由函数ytanx在,内是减函数，可得0，

22

由x,，可得x,，

2222

22

则，所以10.

22

故选：B.

aπaπ

【变式2】（2023·高一课时练习）若函数fxtanx在区间,上是增函数，则实数a的取值范围

32

是．

【答案】0,1

aπaπ

【详解】解：因为，所以a0，

23

a0

aππ

所以，解得0a1，即a0,1．

32

aππ

22

故答案为：0,1

题型05正切函数的周期性与奇偶性

πx

【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数ytan的最小正周期为．

53

【答案】3π

π

πx3π

【详解】由题意函数ytan的最小正周期为1，

53||

3

故答案为：3π

x

【典例2】（2023秋·广西贵港·高三平南县中学校考阶段练习）已知f(x)atanbsinx4（其中a、b为

2

常数且ab0），如果f35，则f(20103)的值为（）

A．3B．3C．5D．5

【答案】B

x

【详解】设g(x)f(x)4atanbsinx，x2kππ,kZ

2

xx

则g(x)atanbsin(x)atantanbsinxg(x)，

22

则函数g(x)是奇函数；

x2πx

g(x2π)atanbsin(x2π)atanbsinxg(x)，

22

则函数g(x)是周期为2π的周期函数；

由f(3)5，可得g(3)f(3)41，则g(3)1，

所以g(2010π3)f(2010π3)4g(3)1，

则f(2010π3)413

故选：B.

【变式1】（2023秋·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数fxx5tanx3，且fm2，则fm

（）

A．4B．1C．1D．4

【答案】A

【详解】设gxfx3x5tanx，定义域为R，

5

则gxxtanxx5tanxgx，故gx是奇函数，

从而gmgm，即fm3fm3，

即fmfm64.

故选：A

π

【变式2】（2023秋·高一课时练习）函数y2tan3x的最小正周期是（）

4

ππ

A．B．

63

π

C．D．π

2

【答案】B

ππ

【详解】函数y2tan3x的最小正周期是.

43

故选：B.

【变式3】（2023春·山东潍坊·高一校联考期中）已知fx2023sinx2024tanx1，

f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=.

【答案】5

【详解】令gx2023sinx2024tanx，

由ysinx与ytanx为奇函数，则gxgx，

则f2f1f0f1f2

g21g11g01g11g21

g2g2g1g1g05=5.

故答案为：5.

题型06正切函数图象的对称性

kπ

【典例1】（2023·全国·高二专题练习）以点,0(kZ)为对称中心的函数是（）．

2

A．ysinxB．ycosx

C．ytanxD．y|tanx|

【答案】C

【详解】对于A选项，对称中心为kπ,0(kZ)，故不选A；

π

对于B选项，对称中心为kπ,0(kZ)，故不选B;

2

kπ

对于C选项，对称中心为,0(kZ)，故C选项正确；

2

对于D选项，不是中心对称图形，故不选D.

故选：C.

【典例2】（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数fxsinx0,0π的

2π

最小正周期为π，其图像的一个对称中心的坐标为,0，则曲线gxtanx的对称中心坐标为（）

34

kππkππ

A．,0，kZB．,0，kZ

312612

kππkππ

C．,0，kZD．,0，kZ

312612

【答案】B

222π

【详解】函数fxsinx0,0π的最小正周期为π，则有π，3，则

33

fxsin3x，

ππ3π

函数图像的一个对称中心的坐标为,0，则fsin0，

444

π

由0π，，

4

ππkπkππ

则gxtan3x，由3xkZ，解得xkZ，

442612

kππ

所以曲线gxtanx的对称中心坐标为,0，kZ.

612

故选：B

1π

【典例3】（2023春·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习）函数f(x)3tanx的图象的

23

对称中心为.

2π

【答案】kπ,0,kZ

3

kπ

【详解】∵ytanx的对称中心为,0,kZ，

2

1πkπ2π

∴令x,kZ，则xkπ,kZ，

2323

2π

即fx的对称中心为kπ,0,kZ.

3

2π

故答案为：kπ,0,kZ.

3

π

【变式1】（2023春·河南平顶山·高一校联考阶段练习）函数fxtan2x图象的对称中心可能是()

7

ππππ

A．,0B．,0C．,0D．,0

771414

【答案】C

πkππkπ

【详解】由2x,kZ，得x,kZ，

72144

π

当k0时，x．

14

故选：C．

π

【变式2】（多选）（2023春·安徽芜湖·高一校联考期中）下列坐标所表示的点是函数ytan2x的图

6

像的对称中心的是（）

ππ5ππ

A．,0B．,0C．,0D．,0

126123

【答案】ACD

ππkπ

【详解】对于函数ytan2x，令2x,kZ，

662

πkππkπ

解得x,kZ，所以函数的对称中心为,0,kZ，

124124

π5ππ

当k0时为,0，当k2时为,0，当k1时为,0.

12123

故选：ACD

π

【变式3】（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知函数fxtanx，则下列叙述中，正确的是（）

4

πππ

A．函数fx的图象关于点,0对称B．函数fx在,上单调递增

444

π

C．函数fx的图象关于直线x对称D．函数yfx是偶函数

2

【答案】AB

π

【详解】ftan00，A正确；

4

ππππ

当x,时，x0,，因此此时fx单调递增，B正确；

4442

π

函数ytanx的图象不是轴对称图形，函数fx的图象是由ytanx的图象向左平移个单位得到的，所

4

以其图象也不是轴对称图形，C错误；

ππ

因为f0，但f不存在，D错误，

44

故选：AB．

题型07与正切（型）函数有关的值域（最值）问题

【典例1】（2023·高一课时练习）函数ytan2x2tanx,x,的值域为．

64

123

【答案】,3

3

3

【详解】∵x,，∴tanx[,1]，

643

ytan2x2tanx(tanx1)21，

123

∴3时，123，时，y3，∴所求值域为,3．

tanxymintanx1max

333

123

故答案为：,3．

3

ππ

【典例2】（2023·全国·高一专题练习）若函数ytan2xk，x0,的图象都在x轴上方，则实数

36

k的取值范围为.

【答案】3,

ππ

【详解】因为函数ytan2xk，x0,的图象都在x轴上方，

36

ππ

所以ytan2xk0对于x0,恒成立，

36

ππ

所以ktan2x对于x0,恒成立，

36

ππππ

因为x0,，所以2x,0，tan2x3,0，

6333

π

所以tan2x0,3，

3

所以k3，

所以实数k的取值范围为3,，

故答案为：3,.

【变式1】（2023·全国·高一假期作业）函数f(x)tan2xtanx2,x,的值域是

44

9

【答案】,0

4

【详解】x,，tanx[1,1]

44

2

219

f(x)tanxtanx2tanx

24

9

f(x)0

4

9

故答案为：,0

4

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若函数ytanx在,上单调递减，且在,上的

43333

最大值为3，则.

1

【答案】/-0.25

4

【详解】因为函数ytanx在,上单调递减，

433

23

所以0，，则0，

32

又因为函数在,上的最大值为3，

33

1

所以k,kZ，即3k,kZ，

3434

1

所以.

4

1

故答案为：

4

题型08正切函数图象与性质的综合应用

【典例1】（2023秋·高一课时练习）画出函数y|tanx|的图象．

(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；

(2)求不等式|tanx|1的解集．

【答案】(1)答案见解析；

ππ

(2){x|kπxkπ,kZ}.

44

π

tanx,kπxkπ

2

【详解】（1）函数y|tanx|，化为y,kZ，