高一数学必修第一册同步学与练（人教A版）第09讲 二倍角的正弦、余弦和正切公式（解析版）

第09讲5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第2课时：二倍角的正弦、余弦、正切公式

课程标准学习目标

①掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式

的内容。

掌握二倍角公式的恒等变形与应用，解决与二倍角有关

②会运用二倍角的三角函数公式解决三

的三角函数式的计算与证明

角函数式的化简、求值与证明。

知识点01：二倍角的正弦、余弦正切公式

①sin22sincos

②cos2cos2sin2；cos22cos21；cos212sin2

2tan

③tan2

1tan2

【即学即练1】（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）sin15cos15.

1

【答案】/0.25

4

11

【详解】sin15cos15sin30.

24

1

故答案为：

4

ππππ

【即学即练2】（2023秋·高一课时练习）cossincossin的值为．

12121212

31

【答案】/3

22

3

【详解】原式cos2sin2cos.

121262

3

故答案为：.

2

1

【即学即练3】（2023·全国·高一随堂练习）若tan，则tan2．

2

41

【答案】/1

33

1

2

12tan4

2

【详解】因为tan，所以tan22.

12

21tan1()3

2

4

故答案为：

3

知识点02：降幂公式

1cos2

①cos2

2

1cos2

②sin2

2

【即学即练4】（2023春·山东泰安·高一校考阶段练习）2cos21的值是（）

12

33133

A．B．C．D．2

2222

【答案】D

3

【详解】2cos21cos22.

1262

故选：D.

【即学即练5】（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）函数ycos2xsin2x的最小正周期等于.

【答案】π

1cos2x31

【详解】因为函数ycos2xsin2xcos2xcos2x

222

故最小正周期等于π.

故答案为：π

题型01利用二倍角公式解决给角求值问题

π5π

【典例1】（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数fxsinxsinπx，则f（）

26

3313

A．B．C．D．

4422

【答案】A

π1

【详解】fxsinxsinπxcosxsinxsin2x，

22

5π15π1π3

故fsinsin．

623234

故选：A．

【典例2】（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知角的顶点为原点，始边为x轴的非负半

sin2

轴，若其终边经过点，则

P2,52.

cos1

45

【答案】

13

5

【详解】由三角函数的定义可知，tan，

2

sin22sincos2tan545

22225.

cos12cossin2tan213

4

45

故答案为：

13

【变式1】（2023秋·河南新乡·高三卫辉一中校联考阶段练习）已知角的终边过点(1,-2)，则tan2（）

114211

A．B．C．D．

23112

【答案】B

2

【详解】因为角的终边过点(1,-2)，根据三角函数的定义，可得tan2，

1

2tan224

则tan2.

1tan21(2)23

故选：B．

34

【变式2】（2023秋·广东湛江·高三校考阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点P,，则sin2

55

24

【答案】/0.96

25

34

【详解】因为角的终边与单位圆交于点P,，

55

43

所以sin,cos，

55

4324

所以sin22sincos2().

5525

24

故答案为：

25

题型02利用二倍角公式求角

25

【典例1】（2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知,为锐角，tan2,cos，则

5

tan2.

11

【答案】

2

2

【详解】由于为锐角，所以255sin1，

sin1,tan

55cos2

2tan44

tan2，

1tan21223

41

tan2tan3211

所以tan2.

1tan2tan412

1

32

11

故答案为：

2

723ππ

【典例2】（2023秋·河南新乡·高一校联考期末）已知sin,sin，其中0,,,0．

10522

(1)求；

(2)求sin2．

π

【答案】(1)

4

172

(2)

50

ππππ

【详解】（1）因为0,,,0，所以,，

2222

34

又因为sin，且0,，所以cos．

525

72π2

因为sin，0,，所以cos，

10210

324722

则sinsinsincoscossin，

5105102

ππ

又因为,0，所以．

24

2π

（2）由（1）可得cos，，

104

7227

因为sin22sincos2，

101025

24

则cos212sin2，

25

72242172

所以sin2sin2coscos2sin.

25225250

11

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知tan，tan，且，(0,π)，则2（）

37

5π3π5π3π

A．B．或C．D．或或

4444444

【答案】C

1π

【详解】∵tan0，且(0,π)，∴0,，2(0,π)，

32

1

2tan23

3π

∴tan2220，∴20,．

1tan142

1

3

1π

∵tan0，且(0,π)，∴,π，∴2(π,0)，

72

31

tan2tan47

又tan(2)1，

1tan2tan31

1

47

3π

∴2．

4

答案：C.

11

【变式2】（2023秋·陕西西安·高三西安市铁一中学校考阶段练习）已知tan，tan，且,0,π，

37

则2．

3π

【答案】

4

11

【详解】因为tan0，tan0，,0,π，

37

ππ

所以0,，,π，

22

1

2

2tan33

因为tan220，

1tan214

1

3

ππ

所以20,，,π，因此π20，

22

31

tan2tan

因为tan2471，

1tan2tan31

1

47

3π

所以2，

4

3π

故答案为：

4

题型03利用二倍角公式解决条件求值问题

π1π1

【典例1】（2023·山西运城·高三校考学业考试）已知tan，tan，则tan(2)（）

62123

92102

A．B．C．D．

1311115

【答案】B

π1

2tan2

π1π1233

【详解】由tan得，tan2，

12362π124

1tan1()

123

π1

而tan，

62

ππ

tan()tan(2)

ππ

故tan(2)tan()(2)66

ππ

661tan()tan(2)

66

13

2

24，

13

111

24

故选：B

2733

【典例2】（2023秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）已知，均为锐角，cos，sin，

714

则cos2，2.

1π

【答案】

73

27

【详解】因为cos，

7

1

所以cos22cos21，

7

π

又因，均为锐角，所以,0,，则20,π，

2

πππ43

所以20,，所以2,，sin21cos22，

2227

33213

又因sin，所以cos1sin，

1414

43131333

则sin2sin2coscos2sin，

7147142

π

所以2.

3

1π

故答案为：；.

73

π3

【变式1】（2023秋·河南新乡·高一校联考期末）若sin，则cos2（）

24

7711

A．B．C．D．

4488

【答案】C

π33

【详解】由sin，得cos，

244

2

231

则cos22cos121．

48

故选：C

4

【变式2】（2023·云南·校联考模拟预测）在ABC中，若tanA，则sin2A．

3

24

【答案】/0.96

25

2sinAcosA2tanA

【详解】sin2A2sinAcosA，

sin2Acos2Atan2A1

4

2

24

43

因为tanA，所以sin2A2.

3425

1

3

24

故答案为：

25

4π

【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）已知sin=，,π，求sin2，cos2，tan2的值．

52

24724

【答案】sin2，cos2，tan2．

25257

π

【详解】因为,π，所以cos0．

2

2

243

所以cos1sin1．

55

4324

所以sin22sincos2，

5525

22

22347

cos2cossin，

5525

sin2242524

tan2．

cos22577

题型04二倍角中的拼凑角问题

π5π

【典例1】（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知sin，则sin2

356

（）

4433

A．B．C．D．-

5555

【答案】C

πππ2π2ππ

【详解】sin2cos2cos2cos2cos2

626333

2

π53

2，

12sin12

355

故选：C

π3π

【典例2】（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知cos,0，​，则

652

2π

cos2​．

3

7

【答案】/0.28

25

π

【详解】由题意，0，，

2

ππππππππππ3

coscoscoscoscossinsin，

63363232325

π3

解得：sin，

35

π3

∴sin，

35

2

2ππ2π37

cos2cos212sin12，

333525

7

故答案为：.

25

35

【典例3】（2023春·山东青岛·高一校联考期中）已知,为锐角，tan,cos．

45

(1)求sin2的值；

(2)求tan的值．

24

【答案】(1)

25

38

(2)

41

3

【详解】（1）因为tan，

4

3

2

2sincos2tan24

所以sin22sincos4

2229

sincostan1125

16

3

2

32tan24

（2）因为tan，所以tan24，

29

41tan17

16

ππ

因为,为锐角，所以0,,0,，所以0,π，

22

125

所以sin1cos21，

55

25

sin

则tan52，

cos5

5

24

2

tan2tan38

所以tantan27

24

1tan2tan1241

7

π35π

【变式1】（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知sin，则sin2（）

656

8877

A．B．C．D．

25252525

【答案】C

5ππ5πππ2π7

【详解】sin2cos2cos2cos212sin，

62636625

故选：C.

3

【变式2】（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知是第一象限角，满足cos，则cos2

45

（）

724247

A．B．C．D．

25252525

【答案】B

【详解】因为是第一象限，则为第一象限角或第二象限角，

4

324

且cos0，所以sin1cos，

45445

πππππ24

由题意可得：cos2cos2sin22sincos.

4244425

故选：B.

π73π

【变式3】（2023秋·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知sin，则cos2．

535

5

【答案】

9

3πππ2π5

【详解】cos2cos2πcos212sin．

55559

5

故答案为：.

9

题型05二倍角公式与数学文化的结合

【典例1】（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》

中建立了影长l与太阳天顶距0180的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角

学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即lhtan．对同一“表高”测量两次，第

一次和第二次太阳天顶距分别为,，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的

4倍，则tan22（）

668484

A．B．C．D．

771313

【答案】D

【详解】由第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，得tan2，

由第二次的“晷影长”是“表高”的4倍，得tan4，

tantan246

所以tan，

1tantan1247

6

2

2tan84

7

所以tan22tan222．

1tan613

1

7

故选：D

【典例2】（2023秋·山东威海·高三校考阶段练习）黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例

51

关系，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比，其比值为0.618，

2

上述比例又被称为黄金分割．将底和腰之比等于51的等腰三角形称为黄金三角形，若某黄金三角形的一

2

个底角为C，则cos2C．

51

【答案】

4

【详解】

设这个黄金三角形的另一个底角为B，顶角为A，

BC51

因为，

AC2

BC51

所以cosC，

2AC4

51

则cos2C2cos2C1．

4

51

故答案为：.

4

【变式1】（2023春·广东揭阳·高二校联考期中）五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少

国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以找到许多线段之间的长度关系是符合黄金分割比的，也就是

PTPTTE

说正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形.如图所示的五角星中、、等

BPAPTB

51

都是黄金分割比，已知五角星的顶角是36°，则利用上面信息可求得sin126（）

2

51625151

A．B．C．D．

4442

【答案】C

1

PT

【详解】由图形可知A36，则15151，

sin182

AP224

2

25151

所以cos3612sin1812，

44

51

所以sin126sin9036cos36，

4

故选：C

【变式2】（2023春·福建漳州·高一漳州三中校考期中）黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广

51

泛运用于艺术创作、工艺设计等领域，黄金分割的比值为无理数该值恰好等于2sin18，则cos36（）

2

515151

A．52B．C．D．

442

【答案】C

5151

【详解】由题意2sin18，sin18，

24

2

2513551

cos3612sin181212，

484

故选：C．

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

π

1．（2023秋·北京·高三统考开学考试）已知函数f(x)12sin2x，则f的值为（）

8

123

A．B．C．D．1

222

【答案】B

πππ2

【详解】f()12sin2cos.

8842

故选：B

2．（2023春·甘肃陇南·高一统考期末）sin145cos35（）

11

A．sin70B．sin70C．sin70D．sin70

22

【答案】D

1

【详解】sin145cos35sin18035cos35sin35cos35sin70.

2

故选：D

3．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）函数ysinxcosxcos2x的最小正周期是（）

ππ

A．2πB．πC．D．

24

【答案】C

11

【详解】因为ysinxcosxcos2xsin2xcos2xsin4x，

24

2ππ

所以所求最小正周期为T.

42

故选：C.

4．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考开学考试）已知sin68m，则cos11（）

1m1m1m1m

A．B．C．D．

2222

【答案】B

【详解】由sin68m，有sin68m(m0)，得cos22m，

1m

可得2cos2111m，所以cos11.故A，C，D错误.

2

故选：B.

5π

5．（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知tan2，则cos2的值为（）．

4

4141

A．B．C．D．

5252

【答案】C

5ππtan1

【详解】由题意得，tantan2，

441tan

解得tan3，

cos2αsin2α1tan2α194

所以cos2αcos2αsin2α．

cos2αsin2α1tan2α195

故选：C

2023π1

6．（2023·贵州·校联考模拟预测）若sin，则cos2（）

24

8778

A．B．C．D．

988