《函数单调性与最大（小）值（第1课时）》教学设计

1/1第三节函数的基本性质1.3.1第一课时函数的单调性（李波)一、教学目标（一）核心素养教材以一次函数、二次函数等初等函数图象为例，来推导一般函数图象的性质——单调性，体现了由特殊到一般，由形到数的思想，让学生在图象变化趋势的精细刻画中，体会数学逻辑推理的严谨性，再现数学知识的生成过程．在实际生活中函数模型的建立及函数性态研究，体现了数学服务于社会生活有着重要的作用，也对学生直观想象、逻辑推理、数学抽象及数学建模等数学核心素养的培育奠定基础．（二）学习目标1．帮助学生通过函数图象理解增函数、减函数及其几何意义．2．数形结合的思想探究函数图象与函数单调性的本质联系．3．函数单调性的判定及证明．（三）学习重点1．理解函数单调性．2．函数单调性的判定及证明．（四）学习难点函数单调性的判定及证明．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务一般地，设函数的定义域为:（1）如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当______时，都有______，那么就说函数在区间上是_____函数（increasingfunction）（图（1））．【答案】;;增（或;;增）．（2）如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当______时，都有______，那么就说函数在区间上是_____函数（decreasingfunction）（图（2））．【答案】;;减（或;;减）．（3）如果对于定义域内某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有（严格的）______，区间叫做函数的______.【答案】单调性;单调区间．2．预习自测（1）作函数的图象，并指出单调增区间_______;单调减区间______．【答案】;．(二)课堂设计1.知识回顾（1）函数的定义，求函数的定义域、解析式、值域．（2）函数的表示法．常见初等函数的图象．（3）平方差、立方差公式．2.问题探究探究一通过函数图象理解增函数、减函数及其几何意义●活动①学生作函数图象,指出图象的变化趋势.生:随着值的增大,图象（1）呈上升趋势;图象（2）有升有降,先降后升.师:图象的观察顺序:从左往右,从右往左,中间往两边走,还是两边往中间走？生:按照约定俗成:从左往右看.师:从右往左观察,如何描述？生:图象（1）从右往左值不断变小,图象呈下降趋势;图象（2）从右往左值不断变小,图象呈先下降后上升趋势;师:至于中间往两边走,两边往中间走,都能描述图象的变化趋势,无论哪一种观察顺序,都有一定道理的,正所谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”.我们发现,对图象变化趋势的描述,是“因人而异”的,不同的观察顺序,得到的变化趋势不尽相同.我们能否进一步研究图象达成一定共识呢？【设计意图】学生通过对教材的研读，理解函数图象的变化趋势，拘泥于教材从左到右的“主观意识”的影响，跳跃性地得到函数单调性的结论．从而对“为什么研究点的坐标变化”产生不解，甚至认为“多此一举”．通过对函数图象变化趋势，不同的观察顺序进行描述，产生了“因人而异”的矛盾，为后面对图象变化趋势，进行精细化描述奠定基础．●活动②图象的变化趋势能否用坐标来刻画师:数学研究也要“求同存异”，刚才的图象变化趋势描述有“因人而异”的矛盾，我们从构成图象的点的坐标进行分析，看能否达成共识.由图象（1）:我们取整数点，便于计算：通过观察分析，得到下表:可以发现:无论观察顺序如何变化，值与值是相应共同一致变化的:值随值增大而增大，值随值减小而减小.这与函数解析式的对应方式是一致的，不以相对顺序的变化而改变.为了达成统一，我们按照约定俗成的顺序:从左至右看,图象是上升的，图象构成点的坐标变化，值随值增大而增大（或值随值减小而减小，此时是从右往左看）.师:用同样的方法研究图象（2）,取整数点,便于计算,通过观察分析,得到下表:综合从左至右观察图象（1）（2）的变化趋势,点的坐标值有如下特点:图象上升时,值随值增大而增大（或值随值减小而减小,此时是从右往左看）.图象下降时,值随值增大而减小（或值随值减小而增大,此时是从右往左看）.【设计意图】图象的变化趋势的刻画:第一,分析了观察顺序从左至右（可变化）的描述是片面的;第二,探求由点的横纵坐标、值变化来描述,这两者的结合,让学生体会从图象的形,到构成图象点的横纵坐标值的数的思维呈现,为后面单调性概念的形成打下基础.探究二:数形结合的思想探究函数图象与函数单调性的本质联系●活动①由以上探究能否给出增（减）函数定义生:从左往右看:图象是上升的,称为增函数;图象下降的称减函数;师:不够具体,函数首先考虑定义域,能否由点的坐标值来定义.生:从左往右看:图象上升,其构成的点的坐标,值随值增大而增大的函数,称为增函数;图象下降,其构成的点的坐标,值随值增大而减小的函数,称为增函数;师:图象变化趋势的刻画,是由某几个点,还是所有点的坐标刻画？生:所有点的坐标.师:所有点的坐标如何刻画值随值增大而增大（或减小）呢？在所有点中,我们任取一个点,横坐标值的不断增大,到任意另一点,因此.由的任意性,覆盖了整个定义域,即:.这里我们成功解决了横坐标值的不断增大的问题,那纵坐标的变化趋势如何刻画？生:到,横坐标值的不断增大,纵坐标变化用来表示若,纵坐标值的不断增大;若,纵坐标值的不断减小师:综合以上探究,对函数图象变化趋势的,由图象上所有点的坐标值变化刻画,再转化为任意两个点到的坐标值变化刻画,,,若,即值随的不断增大而增大,图象呈上升,称为增函数,为单增区间;若,即值随的不断增大而减小,图象呈下降,称为减函数,为单减区间;【设计意图】在教师的引导下,让学生根据图象变化趋势,从形到数的探究过程中的体会中,不断完善结论,生成出有自我特色的增（减）函数的概念.●活动②对比教材概念,加深概念理解我可以给出如下定义:一般地,设函数的定义域为:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值:当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数（increasingfunction）．当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数（decreasingfunction）．如果对于定义域内某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性,区间叫做函数的单调区间.师:教材对单调性的定义,还可以怎样定义.生:交换位置后有:．当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数（increasingfunction）．当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数（decreasingfunction）．师:这也是从图象从右至左看即由到（）到变化得到,也算殊途同归吧.师:以,为例说明函数一定有单调性吗？有单调区间吗？生:在定义域单调递增,单增区间为．在定义域有增有减,不具备单调性;单增区间,单减区间．师:如图，函数单调性,是在定义域内某个子集区间上讨论的,子集区间上的单调性不能决定定义域的单调性;同时定义域的单调性也不能决定子集区间上的单调性,若函数在定义域内严格单调另当别论了.【设计意图】让学生理解函数单调性是一种局部性质,其图形表现的实质是从左至右观察图象上升或下降趋势,反映到数的特征上即点的坐标量化与,与的相对变化关系.我们可以通过形与数的途径判断函数单调性,但对未知函数的单调性判断,更多倾向于数的定量分析,即定义法.●活动③两个函数和（差）的单调性师:由,的单调性,判断下列函数的单调性,能得出什么结论.（1）,;（2）,;（3）,;生:化简之后均为二次函数,由图象性质易判断给定区间的单调性.师:若通过原函数单调性分析:（1）,;,在均为增函数,相加之后单调性为增.其结构为:增+增=增,按照此思路总结出（2）、（3）的结构形式,还能想到哪些结构？生:增-减=增、减-增=减、减+减=减,至于乘除要因题而论了，所以（2），f1(x)为增函数，f2(x)为减函数，相减为增函数；（3），f2(x)为减函数，f1(x)为增函数，相减为减函数；【设计意图】通过初等函数单调性的判断,过渡到简单复合函数单调性判断,让学生对函数的单调性的判断方法有更新的认识.●活动④单调性定义的等价形式师:由单调性定义知:在上为增函数,时,都有,时,都有，与同号即:,,．请同学们给出减函数定义的等价形式．生:在上为减函数,时,都有,时,都有,,,．【设计意图】学生对单调性定义的不同呈现形式有一定了解,众多的形式都来自于坐标值变化的是否一直性,让学生更深刻地认识函数单调性.探究三:函数单调性的判定及证明●活动①由图象观察单调区间例1定义在区间上的函数,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数？【知识点】单调区间的判定．【数学思想】【解题过程】函数单调区间有,,,,其中函数在区间,上为减函数,在区间,上为增函数.【思路点拨】从左至右看图象的变化趋势及对应的区间范围．【答案】减区间,；增区间,.同类训练函数,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数,在定义域内单调吗？【知识点】单调性的判定【数学思想】【解题过程】函数单调区间,;函数在区间,为减函数;函数在定义域内不具备单调性.【思路点拨】子集区间单调性与定义域单调性的区别．【答案】减区间,;定义域内不具备单调性.【设计意图】学生能根据图象判断函数的单调区间，弄清单调区间与定义域间的区别与联系．●活动=2\*GB3②定义法证明函数单调性例2物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积减小时，压强将增大．试用函数的单调性证明之．【知识点】定义法证明函数单调性【数学思想】【解题过程】根据单调性的定义，设,是定义域上的任意两个实数，且，则：．由,得．由,得,又,于是，即:．所以，函数在是减函数，也就是说，当体积减小时，压强增大.【思路点拨】明确定义法证明步骤.【答案】同类训练证明函数在递减.【知识点】定义法证明函数单调性．【数学思想】【解题过程】由函数单调性的定义,设,是定义域上的任意两个实数,且,则．,，,,，．即,函数在递减.【思路点拨】定义法证明的步骤:作差、变形、断号、结论.【答案】例3证明函数在定义域内是减函数.【知识点】定义法证明函数单调性．【数学思想】【解题过程】由函数单调性的定义,设,是定义域上的任意两个实数,且,则．,，,，．即,函数在递减．【思路点拨】变形时,利用根式有理化变形技巧【答案】同类训练证明函数在定义域内是增函数.【知识点】定义法证明函数单调性【数学思想】【解题过程】由函数单调性的定义,设,是定义域上的任意两个实数,且,则．,,，．即,函数在递增.【思路点拨】变形时,注意立方差公式、完全平方式的应用.【答案】【设计意图】掌握定义法证明单调性步骤:任取—作差—变形—断号—结论,特别是对变形的处理技巧,结合根式分母（子）有理化、平方差、立方差以及完全平方式等,从而准确地判定或证明函数的单调性.●活动=3\*GB3③常见函数单调性的考查例4函数在区间上是减函数,求的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】函数函数图象为:由题意:对称轴,．【思路点拨】抛物线的单调区间由开口方向与对称轴共同决定．【答案】．同类训练函数在区间上是减函数,求的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】如图:．【思路点拨】结合图象开口方向,对称轴,判断单调区间．【答案】．例5函数在区间上是增函数,求的取值范围.【知识点】一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】函数对称中心，如图:,．【思路点拨】由反比例函数图象平移而来,在定义域内不具备单调性,对各自的单调区间分开验证．【答案】．同类训练函数在上单调递减,求的取值范围．【知识点】一次函数及一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】函数．当时,在上单调递减,成立；当时,对称中心；时,对称中心在第三象限，．时,对称中心在第一象限，不满足题意,舍去．．【思路点拨】结合对称中心位置与,作大致图象,再分析.【答案】．【设计意图】含参题目的处理,要根据题意结合函数单调性分类讨论.常见的一次函数,二次函数,反比例函数及一次分函数的图象性质要求掌握.●活动=4\*GB3④单调性综合应用例6已知,且对任意实数都有．（1）求;（2）解不等式．【知识点】抽象函数的单调性．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】由题意．（1）令:,则．（2），，．【思路点拨】抽象函数的综合应用,观察题目结构,通过隐含条件结合函数单调性解题．【答案】（1）;（2）．同类训练函数在上单调递增,,．（1）解不等式；（2）求,解不等式．【知识点】抽象函数求定义域,函数单调性的应用.【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）定义在,则．……….=1\*GB3①,，,，在上单调递增,．………=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②:．（2）．定义在,则．……….=1\*GB3①．,．在上单调递增,．………=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②:．【思路点拨】定义域优先的原则,利用函数单调性构建不等式组求解．【答案】（1）;（2）．【设计意图】抽象函数定义域方面结合函数单调性的考察也是热点之一,对于抽象函数综合性问题,要定义域优先的原则,结合函数的单调性,建立不等式组求解.3.课堂总结知识梳理（1）从图象变化趋势探究,生成函数单调性的概念.（2）根据函数图象求单调区间.（3）利用定义法证明函数的单调性.（4）函数单调性的应用.重难点归纳（1）从图形变化趋势到单调性概念的生成.（2）单调性概念的深层次理解.（3）单调性的综合应用.（三）课后作业基础型自主突破1.画出下列函数图象,并根据图象说出的单调区间,以及在各单调区间上,函数是增函数还是减函数．（1）；（2）．【知识点】二次函数、一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）对称轴为,开口向下，如图:函数在为增函数,在为减函数.（2）的对称中心为,且如图:函数在为减函数.【思路点拨】（1）二次函数的单调区间,由开口方向与对称轴共同决定;（2）一次分函数作图时,先确定对称中心,再取特殊点定象限.【答案】（1）增;减；（2）减,．2.证明:函数在上为增函数．【知识点】定义法证明单调性．【数学思想】【解题过程】且，．,，,,,即．函数在上为增函数．【思路点拨】证明题用定义法较严谨.初步判断函数单调性,可作函数图象观察单调区间,也可分析法在为减,在为增,在为增.【答案】3.讨论函数的单调性,并证明你的结论．【知识点】定义法证明函数单调性．【数学思想】【解题过程】且，．,，,,即．在上是减函数.【思路点拨】定义法证明函数单调性,式子变形为几个因式相乘的形式,要有利于符号判断.【答案】4.函数在上是减函数,则实数的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】函数图象对称轴为,开口向上.如图:．【思路点拨】结合图象开口方向,对称轴,判断单调区间．【答案】．5.若二次函数在上是增函数,那么的取值范围．【知识点】二次函数的单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在上是增函数，．．【思路点拨】结合图象开口方向,对称轴位置,判断单调区间．【答案】．6.函数在定义域上是减函数,且,求的范围．【知识点】抽象函数定义域、函数单调性的应用．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】由题意,定义域,则．在定义域上是减函数．．综上所述．【思路点拨】抽象函数关注定义域的原则,结合函数单调性,构建不等式组求解.【答案】．能力型师生共研7.判断函数在其定义域内的单调性．【知识点】定义法证明函数单调性.【数学思想】【解题过程】,定义域为．且，．,且，,，，,即．在上单调递减．【思路点拨】定义法证明单调性步骤:作差、变形、断号、结论．【答案】8.若定义在上的二次函数在区间上是增函数,,求实数的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】函数对称轴为．在区间上是增函数,如图:．【思路点拨】二次函数图象的对称性．【答案】．探究型多维突破9.讨论函数的单调性．【知识点】定义法证明函数单调性．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】且．．,,,,,．,．当时,在单减，当时,在单增，当时,为常值函数,在不具备单调性．【思路点拨】在变形成功后,用分类讨论的思想,判断符号的正负确定函数单调性.【答案】10.已知的定义域为,对任意实数,都有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当时,．（1）证明:,且当时,；（2）证明:在单调递减．【知识点】抽象函数的单调性．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）证明:令,代入f(m＋n)＝f(m)·f(n)，∴f(1)＝f(1)·f(0)．,,．当时,,．令,代入f(m＋n)＝f(m)·f(n)．．,．（2）证明:且，．,,．,即．在单调递减．【思路点拨】抽象函数单调性的证明,利用已知条件,构造利于判断正负的结构.自助餐1.在区间上不是增函数的是（）A.B.C.D.【知识点】初等函数图象．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】分别作出各函数图象,观察得结论．【思路点拨】一次函数的单调性由的正负确定,时,函数在定义域内单增,函数在定义域内单减；二次函数单调区间由开口方向与对称轴决定；一次分函数的单调区间由对称中心决定.【答案】C．2.已知函数在上是减函数,,且,则有（）A.B.