《指数函数及其性质（第2课时）》教学设计

1/162.1指数函数2.1.2指数函数及其性质(周明星)第二课时一、教学目标（一）学习目标1．掌握指数函数的定义域和值域．2．指数函数单调性的应用（幂的大小比较、解指数不等式等）．3．深入理解指数函数的单调性，并灵活应用其图像和性质．（二）学习重点1．指数函数的定义域和值域．2．指数函数的单调性及特殊点．（三）学习难点1．指数型复合函数的性质及应用．2．指数函数的单调性应用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）填一填：指数函数的定义域为R．指数函数的值域为．指数函数图像恒过定点．（2）写一写：指数函数且的单调性．①当时，函数在上是减函数；②当时，函数在上是增函数．2．预习自测（1）函数的定义域是（）A． B． C． D．【知识点】指数函数的定义域．【数学思想】【解题过程】，得，故B正确．【思路点拨】直接由指数型复合函数的定义域求得．【答案】B．（2）求函数的值域．【知识点】指数函数的定义域、值域．【数学思想】【解题过程】因为，所以，故值域为．【思路点拨】由指数型复合函数先求内层的值域，再过渡到外层的值域．【答案】．（3）函数在区间上的单调性是（）A．增函数 B．减函数 C．常数 D．有时是增函数，有时是减函数【知识点】复合型指数函数的单调性．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】设，则函数为增函数，又因为为增函数，所以函数在区间上单调递增．【思路点拨】先判断外层和内层函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”进行求解．【答案】A．（4）比较和的大小【知识点】指数函数的幂的大小比较．【数学思想】【解题过程】由指数函数的单调性知，，即，，故．【思路点拨】由指数函数的单调性找一个中间值作为桥梁进行比较．【答案】．(二)课堂设计1．知识回顾 （1）一般地，函数叫做指数函数（exponentialfunction），其中x是自变量，函数的定义域是R．（2）①若a=0，则当x>0时，；当x≤0时，无意义．②若a<0，则对于x的某些数值，可使无意义．③若a=1，则对于任意的,是一个常量，没有研究的必要性．（3）指数函数的图像和解析式之间满足“底大图高”的原则．2．问题探究探究一指数函数的定义域和值域●活动①整合新知（求解指数函数的定义域）你能迅速回答下列函数的定义域吗？（抢答）（1）（2）（3）（4）答：（1）；（2）；（3）；（4）．【设计意图】通过对比指数函数的各种形式，发现复合型指数函数和一般指数函数的异同，并熟悉求指数函数的定义域和值域．●活动②夯实基础（求解指数函数值域）函数，，，中，值域是有哪些呢？设，则此函数的值域是R，故函数的值域是．【设计意图】求出和的范围，根据指数函数的性质判断；由和再进行判断．探究二指数函数单调性的应用★▲●活动①大胆操作累积经验★试比较不同幂与；与；以及与的大小，通过三组不同幂的比较，你有怎样的发现？对于与，可构造函数，易知在R上是增函数，且，则．对于与，因为在y轴右侧满足底大图高原则，所以．对于与，因为在R上是减函数，所以；又因为在y轴右侧满足底大图高原则，所以，故．对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性判断；对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的图像的变化规律判断；对于底数不同，且指数不同的两个幂的大小比较，则应通过中间值来比较．【设计意图】通过简单的指数函数相同底数比较，到最后的底数和指数都不相同的延伸，归纳出幂的大小比较规律，培养学生学会由特殊到一般的思想方法．●活动②巩固理解发现特征★你能快速回答出下列指数不等式的解集吗？（抢答）（1）；（2）；（3）．答：（1）；（2）；（3）．【设计意图】通过从不等式中抽取指数函数的值域问题，培养学生的思维转化能力，以及图象的运用能力．●活动③反思过程深化基础★▲已知，试探究x的取值范围．利用指数函数的单调性求解，需注意底数的取值范围．∵，∴函数在在R上是增函数，∴，解得，∴x的取值范围是．【设计意图】通过从指数不等式中抽出对指数函数单调性的另外一种理解，培养学生的思维转化能力、发散思维，以及性质的运用能力．●活动④发散思维重新认识▲函数的单调区间和函数的单调区间相同吗？若不相同，那单调区间分别是什么？对于函数来说：∵，∴的单调性与的单调性相反；又∵，∴在单调递增，在单调递减；∴在单调递减，在单调递增．故的单调递增区间为，单调递减区间为．对于函数来说：∵，∴的单调性与的单调性相同；又∵，∴在单调递增，在单调递减；∴在单调递增，在单调递减；故的单调递增区间为，单调递减区间为．【设计意图】通过讨论和观察指数型复合函数的复合函数的性质和应用，掌握复合函数的同增异减的原则，培养学生的类比归纳思想．探究三指数函数的单调性应用★▲●活动①巩固基础检查反馈例1求下列函数的定义域和值域：（1）（2）（3）【知识点】指数函数的定义域和值域的求法．【数学思想】【解题过程】（1）由得定义域为，值域为；（2）由得定义域为，值域为；（3）由得定义域为，又由得值域为．【思路点拨】由指数型复合函数的定义域和值域直接求解．【答案】（1）定义域为，值域为；（2）定义域为，值域为；（3）定义域为，值域为．同类训练求下列函数的定义域和值域：（1）（2）．【知识点】指数型复合函数的定义域、值域．【数学思想】换元法思想．【解题过程】（1）由得定义域为，值域为；（2）令，则，其定义域为，值域为．【思路点拨】由换元法将其复合指数函数转化为标准一元二次函数，再求其定义域和值域．【答案】（1）定义域为，值域为；（2）定义域为，值域为．●活动②强化提升灵活应用例2若函数在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为3，求实数a的值．【知识点】指数函数的值域、单调性与特殊点．【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】当0<a<1，函数在区间[0,1]上为单调减函数，所以函数在区间[0,1]上的最大值与最小值分别为1，a，故1+a=3，则a=2（舍去）；当a>1时，函数在区间[0,1]上为单调增函数，所以函数在区间[0,1]上的最大值与最小值分别为a，1，故1+a=3，则a=2．【思路点拨】分情况0<a<1和a>1讨论，根据指数函数的单调性求出a即可．【答案】2．同类训练若函数的值域为[1,7]，试确定x的取值范围．【知识点】指数型复合函数的定义域、值域、单调性．【数学思想】换元法思想．【解题过程】令，则t>0，；则有，解该双向不等式，解得，即，也即.【思路点拨】由换元法将其复合指数函数转化为标准一元二次函数，求其定义域范围即可．【答案】●活动③深入探究实际应用例3解不等式【知识点】指数函数的单调性、指数不等式．【数学思想】换元和分类讨论思想．【解题过程】当a>1时，以a为底数的指数函数在R上是增函数，所以由得，即，解得；当0<a<1时，以a为底数的指数函数在R上是减函数，所以由得，即，解得．【思路点拨】理解指数型复合函数内层和外层函数遵循“同增异减”的原则．【答案】当a>1时，；当0<a<1时，．同类训练设，解关于的不等式．【知识点】指数函数的单调性、指数不等式．【数学思想】【解题过程】因为，所以在上是减函数，又因为，所以，解得．【思路点拨】根据指数函数的单调性求解即可．【答案】．例4求函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．【知识点】指数型复合函数的单调性．【数学思想】换元思想．【解题过程】令，且，由于f(x)在区间上是增函数，则二次函数t在区间上是增函数，故对称轴，也即．【思路点拨】理解指数型复合函数内层和外层函数遵循“同增异减”的原则．【答案】C．同类训练已知函数的单调性是（）A．增函数 B．减函数C．常数函数 D．与a,b取值无关【知识点】指数函数的单调性．【数学思想】数形结合和分类讨论的思想．【解题过程】化简，f(x)上下同时除以，则：，若a=b，则f(x)=a，此时函数为常数函数，不单调；若a>b，则，则为增函数，根据复合函数单调性之间的关系可知f(x)为增函数；若a<b，则，则为减函数，根据复合函数单调性之间的关系可知f(x)为增函数，综上当a≠b时，函数f(x)单调递增．【思路点拨】将原复合函数变形（分子分母同时除以），再根据指数函数和分式函数的单调性之间的关系，即可判断函数的单调性．【答案】A．【设计意图】以函数作为基础，从而延伸到指数型复合函数的单调性，培养学生的综合运用能力，以及分类讨论的思想，综合解答指数函数单调性题型．3.课堂总结知识梳理（1）指数型复合函数的定义域和值域：形如的函数的定义域就是放f(x)的值域，再由单调性求出的值域，若a的范围不确定，则需对a进行讨论；形如的值域，要先求出的值域，再结合y=f(u)确定出的值域．（2）比较指数幂大小的方法：①异指同底：构造函数法（一个），利用函数的单调性，若底数参变量要注意分类讨论；②异底同指：构造函数法（多个），利用函数图像在y轴左右两侧的特点．（3）同底的指数不等式的解法：①当a>1时，，②当0<a<1时，．（4）复合型指数函数单调性遵循“同增异减”原则，列表如下：增增增减减增增减减减增减重难点归纳（1）在解决含参指数型复合函数的定义域和值域时，一定要记得讨论0<a<1和a>1的两种讨论情况．（2）在求解复合型指数函数的单调性时，一定要注意遵循“同增异减”原则，并且要掌握解指数不等式和幂的大小比较．（三）课后作业基础型自主突破1．若函数的定义域、值域分别是（）A．定义域是，值域是 B．定义域是，值域是C．定义域是，值域是 D．以上都不对【知识点】指数函数的定义、定义域和值域．【数学思想】【解题过程】由指数函数的定义得．【思路点拨】由指数函数的定义和解析式即可求解．【答案】C．2．已知全集为，集合，集合，则（）A． B．C． D．【知识点】集合、因式分解、指数不等式．【数学思想】转化思想．【解题过程】由题意可得，集合，集合，那么有．【思路点拨】综合利用集合交集补集、因式分解、指数不等式的求解．【答案】C．3．函数的定义域是（）A． B． C． D．【知识点】指数函数的定义域．【数学思想】【解题过程】由题可得，解得，即，故选B．【思路点拨】直接利用函数存在得到指数不等式，求解定义域即可．【答案】B．4．下列函数中，值域是的是（）A． B．C． D．【知识点】指数函数的定义域、值域．【数学思想】【解题过程】由于且所以，故选C．【思路点拨】直接利用指数函数的定义域求得其值域．【答案】C．5．已知，则的大小关系为（）A． B． C． D．【知识点】指数函数的单调性．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由指数函数的单调性可得，又因为，可得，综上可得，故选A．【思路点拨】根据指数函数“异底同指”和“异指同底”的幂的大小比较法比较即可得出大小关系．【答案】A．6．已知，求实数的取值范围．【知识点】指数函数单调性的应用．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】当时，，解得；当时，，解得．【思路点拨】．由指数函数的解析式和单调性可得．【答案】当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．能力型师生共研7．函数的单调递减区间是________．【知识点】指数函数的单调性、指数型复合函数的性质．【数学思想】【解题过程】外层函数为增函数，内层函数的单调递减区间为，故复合函数的单调递减区间是．【思路点拨】正确理解复合函数的外层函数和内层函数，根据同增异减原则求解．【答案】．8．已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是．【知识点】指数型复合函数的应用．【数学思想】换元法和转化思想．【解题过程】令，设，则，则，∴当时，取最小值，即的最小值为；若不等式恒成立，只需．【思路点拨】利用换元法将其不等式转化为求函数最值的形式进行求解．【答案】．探究型多维突破9．求函数的单调区间，并证明．【知识点】指数函数的单调性应用．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】解法一：运用函数值的大小关系．设,则∵，则，当时，,这时,即∴，函数单调递增．当时，，这时,即∴，函数单调递减．∴函数在上单调递增，在上单调递减．解法二：用复合函数的单调性．设,则,即对任意的，有，又∵是减函数，则，∴在是减函数．对任意的，有，又∵是减函数．∴∴在是增函数．【思路点拨】复合函数的单调性判断．【答案】在上单调递增，在上单调递减．10．若，则（）A． B． C． D．【知识点】指数函数单调性的应用．【数学思想】构造法的思想．【解题过程】设，由于和均为增函数，则为增函数，又因为，即，所以，即．【思路点拨】把握不等式特征，构造函数，由指数函数的单调性判断的单调性，最后利用函数的单调性解不等式即可．【答案】C．自助餐1．若函数的值域为（）A． B． C． D．【知识点】指数函数的值域．【数学思想】【解题过程】由得，即，故选B．【思路点拨】直接利用函数的存在性解指数等式即可．【答案】B．2．已知在上是减函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【知识点】指数函数的单调性．【数学思想】【解题过程】由题知，，解得，故选C．【思路点拨】利用指数函数的单调性求解即可．【答案】C．3．函数的值域是________．【知