《集合的基本运算（第1课时）》教学设计

15/161.1.3集合的基本运算（第一课时）(胡琦)一、教学目标（一）核心素养 通过集合运算的学习，理解交集与并集的概念，掌握交集与并集运算的基本特点，分清二者的区别与联系，能使用Venn图表达集合的运算，体会数学抽象、直观想象在集合运算中的作用．（二）学习目标 1．理解两个集合并集的概念及性质． 2．理解两个集合交集的概念及性质． 3．会求两个简单集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题．（三）学习重点 1．交集与并集的概念． 2．利用Venn图、数轴求解集合交并的有关问题． 3．交集、并集符号的正确使用．（四）学习难点1．对集合交集、并集的理解和运用．2．灵活使用Venn图与数轴解决集合交集、并集运算问题．3．对集合交集、并集性质的理解与应用．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第8页至第9页． （2）想一想：类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？ （3）填一填： 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集．记作：A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集．记作：A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2．预习自测（1）设A={2，4，6，8}，B={4，6，8，10}，求A∪B，A∩B．下面选项正确的是（）A．A∪B={2，4，6，8，10}，A∩B={2，4，6，8}B．A∪B={4，6，8}，A∩B={2，4，6，8，10}C．A∪B={2，4，6，8，10}，A∩B={4，6，8}D．A∪B={4，6，8}，A∩B={2，4，6，8}【解题过程】A∪B={2，4，6，8}∪{4，6，8，10}={2，4，6，8，10}；A∩B={2，4，6，8}∩{4，6，8，10}={4，6，8}．【答案】C．（2）设A={x∈N|2≤x≤6}，B={x∈N|3≤x≤5}，求A∪B，A∩B．下面选项正确的是（）A．A∪B={x∈N|2≤x≤6}，A∩B={x∈R|3≤x≤5}B．A∪B={x∈N|3≤x≤6}，A∩B={x∈N|2≤x≤5}C．A∪B={2，3，4，5}，A∩B={3，4，5}D．A∪B={2，3，4，5，6}，A∩B={3，4，5}【解题过程】A={2，3，4，5，6}，B={3，4，5}；A∪B={2，3，4，5，6}，A∩B={3，4，5}．【答案】D．(二)课堂设计 1．知识回顾 （1）元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA． （2）集合的表示方法：自然语言、图形语言、数学语言（列举法、描述法）． （3）集合间的基本关系：如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB；若集合A与集合B的元素是一样的，称集合A与集合B相等；若集合A是集合B的子集，且集合A不等于集合B，则集合A是集合B的真子集；把不含任何元素的集合叫做空集． 2．问题探究 探究一类比实数加法，认识并集★▲ ●活动①通过练习例题，回顾所学旧知 之前，我们已经学过集合的的概念与表示方法、集合中元素的三特性、元素与集合的关系以及集合与集合的关系．我们来看下面的例题：（1）下列说法中正确的是（）A．联合国所有常任理事国组成一个集合B．重庆育才中学年龄较小的学生组成一个集合C．{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素【答案】A．（2）设集合M＝{(1，2)}，则下列关系式成立的是（）A．1∈M B．2∈MC．(1，2)∈M D．(2，1)∈M【答案】C．（3）集合{1，3，5，7，9}用描述法表示可以表示为（）A．{x|x是不大于9的非负奇数} B．{x|x≤9，x∈N}C．{x|1≤x≤9，x∈N} D．{x|0≤x≤9，x∈Z}【答案】A．（4）集合{1，2，3}的子集的个数是（）A．7 B．4C．6 D．8【答案】D．（5）下列集合中表示空集的是（）A．{x∈R|x＋5＝5} B．{x∈R|x＋5＞5}C．{x∈R|x2＝0} D．{x∈R|x2＋x＋1＝0}【答案】D．【设计意图】通过实际例题，考查学生对已学知识点的掌握情况，为学习两个集合的基本运算打下基础． ●活动②类比实数加法，探究并集概念★ 我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”？ 考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}；A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}． 让学生根据这个问题各抒己见，教师根据学生的回答，适时引入并集的概念．同学们，刚才你们发现A和B相加就是C，即我们可以得到这样一种关系：集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成．一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记做：A∪B（读作“A并B”），即A∪B=﹛x|x∈A，或x∈B}．可用Venn图来表示：那么像刚才我们引入的题目我们就可以有C=A∪B，又C=A∪B同学们能不能得出它们的另一个关系呢？（抢答）AC、BC．【设计意图】通过类比实数加法，引出集合并集的概念，并分别用自然语言、符号表示、图形表示，突破重点，并通过集合A，B，C的关系，复习之前所学的集合间的基本关系． ●活动③通过实例，深入理解并运用并集概念▲ （1）设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B．解：A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}．若集合的并集理解为简单的实数相加，那么最终结果能够表示成{4，5，6，8，3，5，7，8}？（抢答）不能，因为集合中元素是互异的．能用Venn图反映出集合间的关系吗？CC（2）设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B．解：A∪B={x|－1＜x＜2}∪{x|1＜x<＜3}＝{x|－1＜x＜3}．能用图形语言更简洁的表达出集合的并集吗？可以，除了Venn图还可以用数轴更加直观的表示出集合的并运算过程．【设计意图】通过实例认识集合的并集运算并不是简单的两个集合相加，对前面学习集合的互异性进行巩固，强化记忆，并通过Venn图与数轴等图形语言更加直观的表示出集合的并运算．●活动④理解并掌握并集性质▲结合并集的运算特点，你们能发现哪些运算性质？（1）A∪A=A；（2）A∪B=B∪A；（3）A∪=A；（4）AA∪B；（5）A∪BB；（6）A∪B=BAB．【设计意图】通过集合并集的概念，复习集合间的基本关系，巩固所学知识． 探究二探究集合的交集运算★▲ ●活动①认识差异、探究交集概念★ 类比实数加法，我们得到了集合的并集运算，那么集合间还有哪些运算呢？考察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系？ （1）A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}，C={8}； （2）A={x|x是育才中学2017年6月在校的女学生}，B={x|x是育才中学2017年6月在校的高一年级学生}，C={x|x是育才中学2017年6月在校的高一年级女学生}． 让学生根据这个问题各抒己见，教师根据学生的回答，适时引入交集的概念．一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：A∩B（读作“A交B”），即A∩B=﹛x|x∈A，且x∈B}．可用Venn图来表示： 那么像刚才我们引入的题目我们就可以有C=A∩B，又C=A∩B同学们能不能得出它们的另一个关系呢？（抢答）AC、BC．学生可能会类比实数加法，提出集合间的差运算，可告诉学生集合间的差运算会在大学里学习．【设计意图】通过实例，引出集合交集的概念，并分别用自然语言、符号表示、图形表示，突破重点，并通过集合A，B，C的关系，复习之前所学的集合间的基本关系． ●活动②通过实例，深入理解并应用交集概念▲ （1）育才中学开运动会，设A={x|x是育才中学高一年级参加百米赛跑的同学}， B={x|x是育才中学高一年级参加跳高比赛的同学}， 求A∩B． 解：A∩B就是育才中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合．所以A∩B={x|x是育才中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}．（2）设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系．解：平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合．1、直线l1，l2相交于一点P可表示为L1∩L2={点P}；2、直线l1，l2平行可表示为L1∩L2=；3、直线l1，l2重合可表示为L1∩L2=L1=L2．除了以上两个例子，同学们还能举出其他例子，并说明其并集与交集吗？ 【设计意图】从给出的例子到学生自行举出例子，检查反馈学生对集合运算的理解，加深对分类的认识．探究三巩固集合的交并运算★▲ ●活动①巩固基础，检查反馈例1求下列两个集合的并集和交集．(1)A＝{A，B，c}，B＝{A，c，e，f}；(2)A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤3}；(3)A＝{y|y＝x2－2x}，B＝{x|y＝－x2}． 【知识点】交集及其运算，并集及其运算． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】(1)A∪B＝{A，B，c，e，f}，A∩B＝{A，c}．(2)把A和B表示在数轴上，如图． ∴A∩B＝{x|x＞－2}∩{x|x≤3}＝{x|－2＜x≤3}，A∪B＝R.(3)A＝{y|y＝(x－1)2－1}＝{y|y≥－1}，B＝R，∴A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥－1}． 【思路点拨】求两个集合的并集和交集依据它们的定义式，利用Venn图、数轴等图示法分析两个集合的元素分布情况，有利于准确写出并集和交集，注意当已知集合较复杂时应化简后再求并集和交集． 【答案】(1)A∪B＝{A，B，c，e，f}，A∩B＝{A，c}．(2)A∩B＝{x|－2＜x≤3}，A∪B＝R.(3)A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥－1}．同类训练求下列两个集合的并集和交集．(1)若A＝{x|x＝2n，n∈N*}，B＝{x|x＝2n－1，n∈N*}．(2)若A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－6x＋8＝0}． 【知识点】交集及其运算，并集及其运算． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】(1)A＝{正偶数}，B＝{正奇数}，∴A∪B＝N*，A∩B＝.(2)A＝{2，3}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{2，3，4}，A∩B＝{2}． 【思路点拨】求交集是找出集合A与集合B中的公共元素构成集合，求并集是找出所有既在A中的元素又在B中的元素构成集合．当已知集合较复杂时应化简后再求并集和交集．【答案】（1）A∪B＝N*，A∩B＝.（2）A∪B＝{2，3，4}，A∩B＝{2}．例2设集合U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，4，5}，则A∪(B∩U)＝（）．A．{1，2，3，4，5}B．{3}C．{1，2，4，5} D．{1，5} 【知识点】交、并补集的混合运算． 【数学思想】【解题过程】∵A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，∴B∩U＝{3，4，5}．∴A∪(B∩U)＝{1，2，3，4，5}． 【思路点拨】两集合A，B的并集A∪B是把集合A，B中的元素并在一起组成的，但两集合的公共元素只能出现一次，因此，在由并集A∪B确定两集合A，B时，要注意对公共元素的处理． 【答案】A．同类训练集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，C＝{x|x≤0或x≥eq\f(5,2)}，则A∪B＝________，A∪B∪C＝__________. 【知识点】并集及其运算． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】作出几个集合表示的数轴如下： 容易根据并集运算方法得到A∪B＝{x|－4≤x≤3}；A∪B∪C＝R．【思路点拨】正确使用数轴解决集合的基本运算． 【答案】{x|－4≤x≤3}；R． 【设计意图】巩固检查集合的含义、元素与集合的关系．●活动2强化提升、灵活应用例3已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x︱x＞a}．(1)若A∩B＝，求a的取值范围；(2)若A∪B＝R，求a的取值范围；(3)若1∈A∩B，求a的取值范围． 【知识点】并集与交集的应用． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】(1)画出如图(1)所示的数轴，知只有a≥2时，有A∩B＝.(2)要使A∪B＝R，如图(2)，即a所对应的点应在2的左侧，故a≤2.(3)∵1∈A∩B，1∈A，∴1∈B.故a＜1，见图(3)．【思路点拨】(1)数形结合是高中数学中非常重要的思想方法．(2)常见的错误是丢掉a取端点时的值． 【答案】（1）a≥2；（2）a≤2；（3）a＜1．同类训练设A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，当a为何值：(1)A∩B＝；(2)A∩B≠；(3)A∩B＝A. 【知识点】并集和交集的运用． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】在数轴上画出集合A与集合B，由已知条件判断a的取值范围． 【思路点拨】注意端点处的取值．【答案】(1)－1≤a≤2(2)a＜－1或a＞2(3)a＜－4或a＞5． 【设计意图】巩固集合的并集、交集运算，培养学生运用数轴解决集合运算的思想与能力．3.课堂总结 知识梳理（1）并集的概念．一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记为A∪B={x|x∈A，或x∈B}．Venn图表示为：（2）并集的性质．①A∪A=A；②A∪B=B∪A；③A∪=A；④AA∪B；⑤A∪BB；⑥A∪B=BAB．（3）交集的概念． 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记为A∩B={x|x∈A，且x∈B}．Venn图表示为：（4）交集的性质．①A∩A=A；②A∩B=B∩A；③A∩=；④A∩BA；⑤A∩BB；⑥ABA∩B=A． 重难点归纳 （1）注意区分交集与并集的含义与符号，集合A与集合B的并集是由所有要么在集合A中的元素要么在集合B中的元素组成的（满足集合中元素的互异性）；集合A与集合B的交集是由所有既在集合A中的元素又在集合B中的元素组成的． （2）在解决集合的并交运算时，要选择合适的方法，学会用venn图与数轴来解决问题，渗透数形结合的思想与方法．（3）学会应用集合交并运算的性质．（三）课后作业基础型自主突破1．已知A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B＝()A．{1，2，3，4，5}B．{2，3，4}C．{1，2，4} D．{2，3，5} 【知识点】并集及其运算． 【数学思想】 【解题过程】A选项中包含集合A与集合B中的所有元素． 【思路点拨】根据集合并集的概念进行判断． 【答案】A．2．设集合M＝{1，2，4，8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N＝()A．{2，4} B．{1，2，4}C．{2，4，8} D．{1，2，8} 【知识点】集合的交集． 【数学思想】 【解题过程】C选项中包含集合A与集合B中的公共元素． 【思路点拨】根据集合交集的概念进行判断． 【答案】C．3．设集合A＝{x∈Z|0≤x≤5}，B＝{x|x＝eq\f(k,2)，k∈A}，则集合A∩B＝()A．{0，1，2} B．{0，1，2，3}C．{0，1，3} D．{0，2，3} 【知识点】集合的交集． 【数学思想】 【解题过程】集合A={0，1，2，3，4，5}，B={0，，1，，2，}，A∩B={0，1，2}． 【思路点拨】正确理解集合所表示的含义． 【答案】A．4．已知集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B＝()A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3} 【知识点】集合的交集运算． 【数学思想】数形结合思想 【解题过程】在数轴上分别表示出集合A，B，由图形语言解决问题． 【思路点拨】将符号语言转化为图形语言． 【答案】A．5．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝()A．{0，1} B．{－1，0，2}C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1} 【知识点】集合的并集运算． 【数学思想】 【解题过程】M∪N＝{－1，0，1，2}． 【思路点拨】根据集合并集的概念进行判断． 【答案】C．6．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|0<x<2}，则集合A∩B＝()A．{x|－1<x<1} B．{x|－2<x<1}C．{x|－2<x<2} D．{x|0<x<1} 【知识点】集合的交集运算． 【数学思想】 【解题过程】在数轴上分别表示出集合A，B，由图形语言解决问题． 【思路点拨】根据集合交集的概念进行判断． 【答案】D．能力型师生共研7．若A＝{x|eq\f(x,2)∈Z}，B＝{y|eq\f(y＋1,2)∈Z}，则A∩B等于()A．B B．AC． D．Z 【知识点】集合的交集运算． 【数学思想】 【解题过程】A＝{x|x＝2n，n∈Z}为偶数集，B＝{y|y＝2n－1，n∈Z}为奇数集，∴A∩B＝． 【思路点拨】将集合化简后再进行运算． 【答案】C． 8．下列四个推理：①a∈(A∪B)⇒a∈A；②a∈(A∩B)⇒a∈(A∪B)；③A⊆B⇒A∪B＝B；④A∪B＝A⇒A∩B＝B.其中正确的为________． 【知识点】集合交并运算的概念及性质． 【数学思想】 【解题过程】①是错误的，a∈(A∪B)时可推出a∈A或a∈B，不一定能推出a∈A． 【思路点拨】利用集合交并运算的概念及性质判断正误． 【答案】②③④．探究型多维突破 9．已知A＝{x︱2a＜x≤a＋8}，B＝{x︱x＜－1或x＞5}，若A∪B＝R，求a的取值范围． 【知识点】集合并集的概念及性质． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】∵B＝{x|x<－1或x>5}，A∪B＝R， ∴2a≤-1a+8>5解得－3＜a≤－eq\f(1,2). 【思路点拨】集合并集的概念构造不等式组，并进行求解． 【答案】－3＜a≤－eq\f(1,2)．10．已知集合P＝{x|－1≤x≤1}，M＝{－a，a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是()A．{a|－1≤a≤1} B．{a|－1<a<1}C．{a|－1<a<1，且a≠0} D．{a|－1≤a≤1，且a≠0} 【知识点】集合并集的概念及性质． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】由P∪M＝P，得M⊆P.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤a≤1，,－1≤－a≤1，))即－1≤a≤1.又由集合元素的互异性知－a≠a，即a≠0，所以a的取值范围是{a|－1≤a≤1，且a≠0}． 【思路点拨】集合并集的概念构造不等式组，并进行求解． 【答案】{a|－1≤a≤1，且a≠0}．自助餐1．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＜0或x≥2}，则A∪B等于()A．{x