《圆的标准方程》教学设计

13/134.1圆的方程4.1.1圆的标准方程（熊用兵）一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，掌握圆的定义，并根据此定义得出圆的标准方程.（二）学习目标掌握圆的定义及圆的标准方程，会利用条件求圆的标准方程.（三）学习重点利用各种条件求圆的标准方程.（四）学习难点根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：阅读教材第118页到119页，填空：确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径；圆心为点，半径为的圆的标准方程为.2.预习自测（1）圆心在点，半径为5的圆的标准方程为（）A.B.C.D.【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由条件知，代入标准方程得：【思路点拨】熟记圆的标准方程，明确各字母的具体含义.【答案】D（2）若点在圆上，则实数（）A.B.C.D.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件，将点的坐标代入圆的方程得，故【思路点拨】点与圆：的位置关系：（1）点在圆上；（2）点在圆内；（3）点在圆外；【答案】B（3）已知点，则以线段为直径的圆的标准方程为（）A.B.C.D.【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由线段为直径，所以圆心为，半径，所以圆的标准方程为【思路点拨】求圆的标准方程就是要找出圆心坐标和半径.【答案】C（二）课堂设计1.知识回顾：（1）在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线；横、纵截距可以确定一条直线等等.（2）直角坐标平面中两点间的距离公式：设点，则这两点间的距离2.问题探究探究一圆的定义•活动=1\*GB3①在直角坐标平面中，如何确定一个圆？显然，当圆心位置和半径大小确定后，这个圆也就唯一确定了.因此，确定一个圆的最基本的要素就是圆心和半径.【设计意图】通过和直线的类比，引导学生分析出圆的基本要素，为后面圆的定义打基础.•活动=2\*GB3②当圆心位置C和半径r的大小确定后，如何定义一个圆？平面上到定点C的距离等于半径r的点M的集合，叫做以C为圆心，为半r径的圆.【设计意图】从理性分析到感性认识，得出圆的定义.探究二圆的标准方程•活动=1\*GB3①如果圆心C的坐标为(a,b)，半径大小为r，那么圆的方程是什么？设圆上任意一点M(x,y)，则M到圆心C的距离等于半径r，圆心为C的集合就是，由两点间的距离公式，点M适合的条件可以表示为两边平方，得：……=1\*GB2⑴若点M(x,y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标适合方程(1)；反之，若点M(x,y)的坐标适合方程(1)，这说明点M到圆心C的距离等于半径r，即点M在圆心为C的圆上.我们就把方程(1)称为圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程.【设计意图】利用两点间的距离公式和圆的定义推导出圆的标准方程，实现从几何到代数的转化.探究三点和圆的位置关系•活动=1\*GB3①由探究二我们知道，如果点在圆上，则满足.那么点在圆内又要满足什么条件呢？在圆外呢？点与圆C：的位置关系：（1）点在圆C上；（2）点在圆C内；（3）点在圆C外；【设计意图】掌握点与圆的位置关系和刻化方法.巩固基础，检查反馈例1.圆的圆心坐标和半径分别为（）A.B.C.D.【知识点】圆的圆心坐标和半径.【解题过程】由圆的标准方程可知圆心坐标为，半径【思路点拨】比较该方程与圆的标准方程即可.【答案】A同类训练圆的圆心到直线的距离为（）A.B.C.D.【知识点】由圆的方程得圆的圆心坐标以及点到直线距离公式的使用.【解题过程】由圆的方程可知该圆的圆心为，由点到直线的距离公式得所求距离为.【思路点拨】比较方程和圆的标准方程得出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式即可求解.【答案】C例2.已知点A(0,-1)，B(2,1)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为（）A.B.C.D.【知识点】求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程.【解题过程】因为线段AB为直径，所以圆心坐标为(1,0)，半径，所以圆的方程为【思路点拨】找圆心坐标和半径大小是求得方程的关键.【答案】C同类训练圆心在直线上，且过点的圆的标准方程为（）A.B.C.D.【知识点】求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程.【解题过程】圆过点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，即在直线上.由条件圆心必为与的交点，所以由，所以圆心为，半径，所以所求圆的方程为【思路点拨】如果圆过两个点，那么圆心一定在过这两点的弦的中垂线上.【答案】A强化提升、灵活应用例3、已知圆与x轴相切，圆心在直线y=2x上，且被直线x+y-3=0平分周长，求该圆的标准方程.【知识点】由条件确定圆心坐标和半径大小，进而确定圆的方程.【解题过程】∵圆被直线平分周长，∴圆心必在直线x+y-3=0上，所以由条件可知圆心为直线y=2x和x+y-3=0的交点，即圆心C(1,2)；又圆与x轴相切，所以半径即为圆心纵坐标，即r=2，故圆的标准方程为【思路点拨】直线平分圆周长，则圆心必在该直线上.【答案】例4.已知点在圆的外部，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【知识点】圆的标准方程以及点与圆的位置关系.【解题过程】条件等价于，解得：【思路点拨】要注意圆的标准方程中等号后面是半径的平方（容易遗漏）【答案】D同类练习已知过点的直线始终与圆相交，则实数的取值范围是___________.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】条件等价于点在圆的内部，所以有，解得【思路点拨】过定点的直线始终与圆相交等价于定点必在圆内部.【答案】3.课堂总结知识梳理（1）确定圆的基本要素是圆心和半径；（2）圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为（3）点与圆C：的位置关系：点在圆C上；点在圆C内；点在圆C外重难点归纳（1）圆的标准方程的推导思想和过程；（2）在各种条件下会求圆的圆心坐标和半径大小，进而求出圆的方程.（三）课后作业基础性自主突破1.经过点，圆心为的圆的方程为（）A.B.C.D.【知识点】圆的标准方程【解题过程】有条件知，圆的半径为，所以圆的方程为【思路点拨】圆上一点到圆心的距离即为半径.【答案】B2.已知圆，则点与该圆的位置关系是（）A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.以上都不对【知识点】点和圆的位置关系.【解题过程】由于，所以在圆内.【思路点拨】点和圆的位置关系由点到圆心的距离和半径的关系决定.【答案】A3.圆关于原点对称的圆的方程为（）A.B.C.D.【知识点】圆关于点的对称圆.【解题过程】圆的圆心关于原点的对称点即为所求圆的圆心，半径保持不变任为，故所求圆的方程为【思路点拨】圆关于点的对称圆只是圆心对称，半径不变.【答案】C4.已知点在圆的内部，则（）A.B.C.D.【知识点】点与圆的位置关系【解题过程】由点与圆的位置关系可知【思路点拨】点和圆的位置关系由点到圆心的距离和半径的关系决定.【答案】D5.已知圆的圆心在直线上，且圆与轴交于两点，则圆的标准方程为（）A.B.C.D.【知识点】圆的标准方程【解题过程】线段为圆的弦，圆心在线段的中垂线上，又圆心在直线上，圆心为，半径，圆的标准方程为【思路点拨】求圆的方程就是想办法确定圆心坐标和半径大小.【答案】A6.已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（）A.B.C.D.【知识点】线段的垂直平分线和圆的标准方程.【解题过程】线段为所求圆的两条弦，圆心在的垂直平分线的交点，即在直线和的交点，半径，所以所求圆的方程为【思路点拨】圆的圆心必在弦的垂直平分线上.【答案】C能力型师生共研7.与圆有相同的圆心，且过点的圆的标准方程为（）A.B.C.D.【知识点】同心圆问题.【解题过程】由条件知所求圆的圆心为，半径为另解：由条件设圆的方程为，将点代入可求得【思路点拨】同心圆问题可以直接找圆心和半径求解，也可以用同心圆系方程解决.【答案】B8.圆关于直线的对称圆的方程为（）A.B.C.D.【知识点】圆关于直线的对称圆问题.【解题过程】设对称圆的圆心为，则由条件有，半径不变仍为【思路点拨】圆关于直线的对称圆，只需将圆心对称，半径不变.【答案】A探究型多维突破9.已知圆过点和，且圆在两坐标轴上的截得的弦长相等，则圆的方程为（）A.B.C.或D.或【知识点】圆的标准方程和弦长问题.【解题过程】如图，由于截得的弦长相等，即，所以它们的一半也相等，即，又，所以直角，，设圆心，则……=1\*GB3①，又圆心在线段的垂直平分线上，所以……=2\*GB3②，联立=1\*GB3①=2\*GB3②解得：或，半径或5.【思路点拨】根据几何关系，用待定系数法求圆心坐标是关键.【答案】C10.已知四点，那么这四点共圆吗？如果共圆，求出圆的方程；如果不共圆，说明理由.【知识点】圆的方程和点共圆问题.【解题过程】设的外接圆的标准方程为，把点的坐标代入得到：，即外接圆为，将代入圆的方程得，即点不在圆上，故四点不共圆.【思路点拨】多点共圆问题可以先求三点所共的圆的方程，在用点与圆的位置关系判断其他的点在不在圆上.【答案】不共圆自助餐1.已知点，则以线段为直径的圆的方程为（）A.B.C.D.【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由于线段为直径，所以圆心为的中点即，半径，所以圆的方程为【思路点拨】【答案】B2.过点，且圆心在直线上的圆的方程为（）A.B.C.D.【知识点】圆的标准方程.【解题过程】线段的垂直平分线与直线的交点即为所求圆的圆心，半径，所以圆的方程为【思路点拨】圆的弦的垂直平分线必过圆心.【答案】C3.若点在圆的内部，则实数的取值范围是（）A.B.C.或D.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件有【思路点拨】点在圆内即点到圆心的距离小于半径.【答案】A4.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A.B.C.D.【知识点】圆关于直线的对称圆.【解题过程】设圆的圆心为，则依题意有，对称圆的半径保持不变任为1，故圆的方程为【思路点拨】圆关于直线的对称圆，即为圆心的对称，半径不变.【答案】B5.设点，若线段为外接圆的直径，则点的坐标为（）A.B.