专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型（原卷版）

专题03平行线中的拐点模型之牛角模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：牛角模型图1图2如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°图1图2∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。例1．（2023下·重庆巴南·七年级阶段练习）如图，，，则．例2．（2023下·湖南长沙·七年级校考期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则．

例3．（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（

）

A． B． C． D．例4．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，已知，，点C在直线上方，连接，．若，，则的度数为．

例5．（2023下·浙江宁波·七年级校考期中）已知，(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若平分平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由

例6．（2023下·北京海淀·七年级校考期中）已知，，点C在上方，连接、．(1)如图1，若，，求的度数；(2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．

例7．（2023·广东七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．

（1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由．【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．课后专项训练1．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023下·吉林长春·九年级校考开学考试）已知直线，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．3．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，，两点分别在直线，上，且，，，若，则的度数等于（）

A． B． C． D．4．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，，含的直角三角板的直角顶点在直线上，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．5．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图，，则（

）

A． B． C． D．6．（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，将一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边，之间，则下列结论中：①；②：；③；④若，则．其中正确结论的个数是（

）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2023·山西·统考模拟预测）已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式旋转，若，则等于（

）A．35° B．45° C．55° D．65°8．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，已知，点E为上方一点，、分别为，的角平分线，若，则的度数为（）

A． B． C． D．9．（2023·河南信阳·校考三模）如图，，，，则的度数为．

10．（2023下·山东潍坊·七年级统考期末）如图，已知直线，，，则的度数为°．11．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）如图所示，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形(挖去一小半圆)，刀片上下是平行的，转动刀片时会形成、，若，则的度数为．

12．（2023下·江苏淮安·七年级统考期中）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图数学问题：已知，，，则．

13．（2023上·辽宁铁岭·八年级校考阶段练习）如图，若，，，则．14．（2023下·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，已知，，，则的度数为．

15．（2013下·河南信阳·七年级统考期末）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是．

16．（2023下·海南省直辖县级单位·八年级校考期末）如图，已知，的顶点、分别落在直线、上，交于点，平分，如果，，求的度数．

解：因为（三角形的三个内角和等于），又因为，（__________），所以__________．因为平分（已知），所以__________（角平分线的意义）．因为（已知），所以__________（两直线平行，同位角相等）．所以（等量代换）．所以．因为__________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），又因为（已知），所以__________．17．（2023下·河南濮阳·七年级统考阶段练习）如图，已知，，．(1)求的度数；(2)若，判断与的位置关系，并说明理由．

18．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图①，直线，直线EF和直线、分别交于C、D两点，点A、B分别在直线、上，点P在直线上，连接、．(1)如图①，若点P在线段上，，，求的大小；(2)猜想：如图①，若点P在线段上移动，直接写出、、之间的数量关系；(3)探究：如图②，若点P不在线段上，则（2）中的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出正确的结论．

19．（2023下·山东青岛·七年级校考期中）已知如图1，直线分别是直线上的点，点是直线上一定点，点是直线上一动点，过点作直线，点是直线上的动点（点不与点重合）．设

(1)当点在点左侧运动，点在线段上运动时，如图之间有什么数量关系？证明你的结论．(2)当点在点左侧运动，点在线段外运动时，之间有什么数量关系？直接写出你的结论：___________．(3)当点在点右侧运动，点也同时运动时，之间有哪些数量关系？请在备用图中画出相应的图形，并直接写出结论：___________．（备用图不够时，可以自己添图形）20．（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中，ABCD．（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．（2）请你从中任选一个加以说明理由．解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．21．（2023下·四川泸州·七年级统考期中）如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点．

(1)若与都是锐角，如图甲，写出与之间的数量关系并说明原因；(2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；(3)将图乙中的三角尺进行