2009年全国1高考理科数学试题及答案

2009年全国1高考理科数学试题及答案第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有（A）（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个解：，故选A。也可用摩根律：（2）已知=2+i,则复数z=（B）（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i解：故选B。(3)不等式＜1的解集为（D）（A）｛x(B)（C）(D)解：验x=-1即可。(4)设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于(C)（A）（B）2（C）（D）解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得:.(5)甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(D)（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种解:分两类(1)甲组中选出一名女生有种选法(2)乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D（6）设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为(D)（A）（B）（C）(D)解:是单位向量故选D.（7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（D）（A）（B）（C）(D)解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D（8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（A）（B）（C）(D)解:函数的图像关于点中心对称由此易得.故选A(9)已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为(B)(A)1(B)2(C)-1(D)-2解:设切点，则,又.故答案选B（10）已知二面角为，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（C）(A)(B)2(C)(D)4解:如图分别作，连，又当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。（11）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则(D)(A)是偶函数(B)是奇函数(C)(D)是奇函数解:与都是奇函数，，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D12.已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=(A)(a).(b).2(C).(D).3解:过点B作于M,并设右准线与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A第II卷二、填空题：13.的展开式中，的系数与的系数之和等于。解:14.设等差数列的前项和为，若,则=。解:是等差数列,由,得.15.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.16.若，则函数的最大值为。解:令,三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1),左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得:.又,。所以…………………①又，，即由正弦定理得，故………②由①，②解得。评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，,，点M在侧棱上，=60°（I）证明：M在侧棱的中点（II）求二面角的大小。解法一：（I）作∥交于点E，则∥，平面SAD连接AE，则四边形ABME为直角梯形作，垂足为F，则AFME为矩形设，则，由解得即，从而所以为侧棱的中点（Ⅱ），又,所以为等边三角形，又由（Ⅰ）知M为SC中点，故取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则,由此知为二面角的平面角连接，在中，所以二面角的大小为解法二:以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz设，则（Ⅰ）设,则又故即解得，即所以M为侧棱SC的中点（II）由，得AM的中点又所以因此等于二面角的平面角所以二面角的大小为总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。解：记表示事件：第i局甲获胜，i=3,4,5表示事件：第j局乙获胜，j=3,4（Ⅰ）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而由于各局比赛结果相互独立，故==0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（II）的可能取值为2，3由于各局比赛结果相互独立，所以===0.6×0.6+0.4×0.4=0.52=1.0.52=0.48的分布列为23P0.520.48=2×0.52+3×0.48=2.4820．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）在数列中，（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和解：（I）由已知得，且即从而……于是=又故所求的通项公式（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得=评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。21（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。（I）求得取值范围；（II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.由此得解得又所以考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点。设与的四个交点的坐标分别为：、、、。则直线的方程分别为解得点P的坐标为设，由及（I）知由于四边形为等腰梯形，因而其面积则将代入上式，并令，得求导数令，解得（舍去）当时，；时，；时，故当且仅当时，有最大值，即四边形的面积最大，故所求的点P的坐标为22.本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条件，并在下面的