2025年初中专练09 几何题（20题）八年级数学下学期期末考点必杀200题（北师版）（解析版）

专练09几何题（20题）1．（2022·全国·八年级期末）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BPD的度数．【答案】(1)见解析(2)∠BPD＝60°【解析】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，又∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）；(2)解：由（1）得△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD，∴∠BPD＝∠BAD＋∠ABE＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝60°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键．2．（2021·云南红河·八年级期末）如图，在△ABC中，，点为的中点，边的垂直平分线交、、于点、、，连接OA、OB．(1)求证：△OBC为等腰三角形；(2)若∠ACF=23°，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明；：∵AC=BC，点F为AB的中点，∴CF⊥AB，∴CF垂直平分AB，∴OA=OB，∵DE垂直平分AC，∴OA=OC，∴OB=OC，∴△OBC为等腰三角形；(2)解：∵CA=CB，CF⊥AB，∴CF平分∠ACB，∴∠BCF=∠ACF=23°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=23°，∵∠EDC=90°，∴∠DEC=180°-90°-∠DCE=90°-23°-23°=44°，∵∠OEC=∠OBE+∠BOE，∴∠BOE=44°-23°=21°.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识；掌握相关性质和定理是解题关键．3．（2022·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）已知M是等边△ABC的边BC上的点．(1)如图①，过点M作MN∥CA，交AB于点N，求证：BM=BN；(2)如图②，连接AM，过点M作∠AMH=60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过点H作HD⊥BC，交BC延长线于点D．（ⅰ）求证：MA=MH；（ⅱ）直接写出CB，CM，CD之间的数量关系式．【答案】(1)见解析(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）BCCM2CD【解析】(1)证明：∵，∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，∴∠BMN=∠BNM，∴BM=BN；(2)（ⅰ）证明：如图2，过M点作交AB于N，则BM=BN，∠ANM=120°∵AB=BC，∴AN=MC，∵CH是∠ACB外角平分线，所以∠ACH=60°，∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，∴∠HMC+∠AMN=60°，又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，∴∠HMC=∠MAN，在△ANM和△MCH中∵，∴△AMN≌△MHC（ASA），∴MA=MH；（ⅱ）CB=CM+2CD；理由如下：证明：如图2，过M点作MG⊥AB于G，∵△AMN≌△MHC，∴MN=HC，∵△BMN为等边三角形，MG⊥AB

∴MN=MB，BM=2BG，∴HC=BM，

在△BMG和△CHD中，∴△BMG≌△CHD（AAS），∴CD=BG，∴BM=2CD，所以BC=MC+2CD．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，熟练掌握证明三角形全等的方法．4．（2022·江苏盐城·八年级期末）已知：∠AOB＝120°，OC平分∠AOB．(1)把三角尺的60°角的顶点落在射线OC上的任意一点P处，绕点P转动三角尺，某一时刻，恰好使得OE＝OF（图1），此时PE与PF相等吗？为什么？(2)把三角尺继续绕点P转动，两边分别交OA、OB于点E、F（图2），求证：△PEF为等边三角形．【答案】(1)相等，理由见解析(2)见解析【解析】(1)解：，理由如下：∵平分，∴，∵，，∴，∴；(2)证明：在OB上取OD=OP，连接PD，∵OC平分，，是等边三角形，，，，，即：，，，，，是等边三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．5．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，ΔABC，ΔADE均是等边三角形，点B，D，E三点共线，连按CD，CE；且CD⊥BE．(1)求证：BD=CE；(2)若线段DE=3，求线段BD的长．【答案】(1)见解析(2)6【解析】(1)证明：∵△ABC、△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；(2)解：∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE=∠AED=60°，∵点B，D，E三点共线∴∠ADB=120°，∵△ABD≌△ACE，∴∠AEC=∠ADB=120°，∴∠CED=∠AEC-∠AED=60°，∵CD⊥BE，∴∠CDE=90°，∴∠DCE=30°，∴BD=CE=2DE=6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．6．（2021·重庆市黔江区教育科学研究所八年级期末）如图，在中，，，平分，交于点．(1)求作的垂直平分线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若交于点，连接．求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)解：以点A，B为圆心，适当长度为半径画弧，交于两点，过这两点作直线MN，则MN为所求，如图，即为所求；(2)证明：，且，，，是的平分线，，是的垂直平分线，，，，又是的一个外角，，，．【点睛】本题考查了尺规作图—作线段的垂直平分线，三角形的内角和定理及外角的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，结合题意和图形准确找到相关角的关系是解决本题的关键．7．（2022·广西百色·八年级期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AD与EF相交于点M．(1)求证：△ADE≌△ADF；(2)求证：AD垂直平分EF．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∴在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）；(2)证明：∵Rt△ADE≌Rt△ADF∴AE＝AF又∵AD是△ABC的角平分线∴AD是线段EF的垂直平分线．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、“HL”及等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、“HL”及等腰三角形的性质是解题的关键．8．（2022·河北唐山·八年级期末）已知：如图，在中，，，，垂足分别为D、E，与交于点O．发现：与有何数量关系？并说明理由；探索：判断的形状，并说明理由；拓展：连接并延长，交于点F，请你直接写出一条关于的结论．【答案】发现：BD=CE，理由见详解；探索：△BOC是等腰三角形，理由见详解；拓展：AF⊥BC，理由见详解（或者AF平分∠BAC，证明过程同AF⊥BC的证明过程）【解析】发现：BD=CE，理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠CEB=∠BDC=90°，又有BC=CB，∴，∴BD=CE，得证；探索：△BOC是等腰三角形，理由如下：在“发现”中已经证得，∴∠DBC=∠ECB，∴有OC=OB，即△BOC是等腰三角形，得证；拓展：AF⊥BC，理由如下：如图：在“探索”中已经证得BO=CO，又∵AB=AC，AO=AO，∴，∴∠EAO=∠DAO，∴AF平分∠BAC，又∵AB=AC，AF=AF，∴，∴∠AFB=∠AFC=90°，∴AF⊥BC．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．9．（2022·湖北襄阳·八年级期末）已知四边形中，，，，，，将绕点旋转．(1)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，且，求证：；(2)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，且时，小颖猜想中的仍然成立，并尝试作出了延长至点，使，连接，请你证明小颖的猜想；(3)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，见解析【解析】(1)证明：①在和中，，≌．；②由知≌，．，，∴是等边三角形．．；(2)解：延长至点使得，如图．在和.中，≌．，，，，即，，．在和中，，≌．．．；(3)解：如图，猜想．证明如下：在的延长线上取点，使，连接．在和中，≌．，，，，即．，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线和理解相关知识是解答关键．10．（2022·云南红河·八年级期末）如图，已知中，，于点，的平分线分别交，于点．(1)试说明是等腰三角形；(2)若点恰好在线段的垂直平分线上，猜想：线段与线段的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若，，求的面积．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)4【解析】(1)∵，∴，∵，∴，∴∵是的平分线，∴，∵，，∴∴．∴是等腰三角形；(2)理由如下：∵点恰好在线段的垂直平分线上，∴，∴，∵是的平分线，∴，∴，∵∴，∴∴．(3)过点作于点，由（2）得，，∵，∴，∵是的平分线，，∴∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．11．（2022·上海·八年级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1所示位置时，求证：DE=AD-BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2、图3所示位置时，补全图形，并探索线段DE、AD、BE之间的数量关系（直接写出答案）．【答案】(1)见解析；(2)如图2所示：DE=BE-AD；如图3所示：DE=BE+AD【解析】(1)证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90，在Rt△CEB中，∠CBE+∠BCE=90，又∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC与△CEB中，，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CE-CD=AD-BE；(2)如图2所示：DE=BE-AD；如图3所示：DE=BE+AD，理由：如图2，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90，在Rt△CEB中，∠CBE+∠BCE=90，又∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC与△CEB中，，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CD-CE=BE-AD；图3的证明方法与图2相同，均是通过证明△ADC≌△CEB(AAS)来得到结论．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，证明△ADC≌△CEB(AAS)是解答本题的关键．12．（2022·河南南阳·八年级期末）解决问题(1)感知：如图1，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD．则线段BC与DE的数量关系是_____，△BCD的面积为______（用含x的式子表示）；(2)应用：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含x的式子表示△BCD的面积，并说明理由．(3)拓展：如图3所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，将边AB绕点B顺时针旋转，当AB⊥BD，连接CD，若△BCD的面积为9，则CD的长为_______.【答案】(1)BC=DE，x2；(2)S△BCD=x2，理由见解析；(3)【解析】(1)解：由题意得：△BDE≌△ABC，∴DE=BC=x，∴S△BCD=BC•DE=x2，故答案是：BC=DE，x2；(2)解：如图1，S△BCD=x2，理由如下：作DE⊥CB于E，∴∠E=∠ACE=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°，∴∠A=∠DBE，在Rt△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴DE=BC=x，∴S△BCD=BC•DE=x2；(3)解：如图2，作AF⊥BC于F，作DE⊥CB于E，由（2）知：△ABF≌△BDE，∴DE=BF，BE=AF，∵AC=AB，∴BF=BC，∴S△BCD=BC•DE，∴BF2=9，∴BF=3，∴AF==4，BC=2BF=6，在Rt△CDE中，CE=BC+BE=6+4=10，DE=3，∴CD=．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“一线三等角”模型．13．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，在等边△ABC中，D为BC上一点，DEAB，且DE＝BD．(1)如图1，若点E在AC边上，求证：AE＝CE；(2)如图2，若点E在△ABC内，连接CE，F为CE的中点，连接AF、DF，求证：AF⊥DF；(3)如图3，点N为AB边上一点，连接BE，AN＝BE．若CN＋CE的值最小时，∠NCE的度数为___________°（直接写出结果）．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)30【解析】(1)证明：连接，在等边中，∠ABC=60°，∵，∴∠EDC=∠ABC=60°，且，∴，∴平分，∴；(2)证明：连接，延长到点，使，连接，，∵为的中点，∴，又，∴，∴，，∴，又，∴，∴∠ABC+∠BCG=180°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ACG=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠ACG=60°，又，∴，又，∴，∴，；(3)将△CAN绕点C逆时针旋转60°，到△CBM，点N的对应点为点M，连接ME，MN，EN，则∠A=∠CMB=60°,AN=BM，∴∠EBM=∠EBC+∠CBM=30°+60°=90°，∵AN=BE，∴BM=BE，∴△BEM是等腰直角三角形，∵∠MCN=∠ACB=60°，CM=CN，∴△CMN是等边三角形，∴CM=CN，∴CE+CN=CE+CM，当△CEM是直角三角形，∠MCE==90°时，CE+CM的值最小，CE+CN的值就最小，此时∠ECN=∠MCE-∠MCN=30°，故当CE+CN的值最小时，∠ECN=．故答案为30【点睛】本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，全等三角形，旋转．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，旋转性质，是解决此类问题的关键．14．（2022·江苏宿迁·八年级期末）问题背景：如图1，在等边中，点为边上一个动点（点不与，重合），连接，把绕点顺时针旋转60°到，连接．探究、、之间的数量关系．小明同学的探究思路是：过点作，交边于点（如图2），易证是等边三角形，并且，所以，从而．(1)结论应用：①在图1中，若，，则______cm；②在图1中，若，点为的中点，则的最小值为______cm；(2)类比探究：如图3，若点为等边边延长线上一点，连接，把绕点顺时针旋转60°到，连接．若，，求的长．(3)拓展延伸：如图4，是等腰直角三角形，，，点为边上一个动点（点不与、重合），连接，把绕点顺时针旋转90°到，连接．直接写出、、之间的数量关系．【答案】(1)①3；②(2)(3)【解析】(1)解：①作PE∥AB，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠PEC=∠CPE=∠B=60°∴△PEC为等边三角形∴PE=PC又∵∠APE+∠EPD=∠EPD+∠DPC=60°∴∠APE=∠DPC在△PEA与△PCD中，∴△PEA≌△PCD(SAS)∴CD=AE∵PC=CE∴AC=AE+EC=CD+PC∵AC=5，CD=2∴PC=AC-CD=3故答案为：3；②∵O为AC的中点∴AO=CO==2（cm）由①知，∠AEP=∠PCD=120°∵∠ACB=60°∴∠ACD=60°为定角，∵OC=2∴当OD⊥CD时，OD最小∴此时∠DOC=30°∴CD=OC=1∴OD=（cm）故答案为：．(2)解：如图，过点作，交边延长线于点，则∠CPE=∠B=60°，∠E=∠BAC=60°∴是等边三角形，∴PC=PE=CE∵绕点顺时针旋转60°到∴∠APD=∠CPE=60°∴∠CPD=∠APE在△PCD和△PEA中∴（SAS）∴，∴(3)解：作PM⊥AB交AC于M．如图，∵△ABC是等腰直角三角形∴△PMC是等腰直角三角形∴MC=∵∠PMC=45°∴∠AMP=135°又∵∠APM+∠MPD=∠MPD+∠DPC=90°∴∠APM=∠DPC在△AMP和△DCP中，∴△AMP≌△DCP（SAS）∴AM=CD∵AC=AM+MC，AM=CD，MC=∴【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，采取类比的方法是解题的关键．15．（2022·上海·八年级期末）已知□，是对角线与的交点，是的中位线，联结并延长与的延长线交于点，联结．求证：四边形是平行四边形．【答案】证明见解析【解析】证明：∵四边形是平行四边形，∴且，∵是的中位线，∴点是的中点，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵即，∴四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的定义等知识．注意证得是解此题的关键．16．（2022·上海·八年级期末）如图，在中，，是上一点，交于点，且，是上一点，，连接．(1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)求证：．【答案】(1)四边形是等腰梯形；证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)解：结论：四边形是等腰梯形．理由：∵、是的两边，∴与不平行，即与不平行，∵，∴四边形是梯形，∵，∴，∴梯形是等腰梯形．(2)证明：∵梯形是等腰梯形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、等腰梯形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识．解题的关键是掌握等腰梯形的判定方法，平行四边形的判定方法．17．（2022·上海·八年级期末）如图，平行四边形的对角线、交于点，，，连接．(1)求证：；(2)求证：四边形是平行四边形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴．(2)∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、平行线的性质和判定等知识．解题的关键是首先证明四边形是平行四边形．18．（2022·上海·八年级期末）在等边中，点是线段BC的中点，与线段AB相交于点与射线AC相交于点F．(1)如图，若，垂足为求BE的长；(2)如图，将（1）中的绕点顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：．(3)如图，将（2）中的继续绕点顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交于点F作于点N，若设，写出y关于x的函数关系式．【答案】(1)BE＝1(2)见解析(3)y=【解析】(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝BC＝2．∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝BD＝1；(2)过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝BC＝AB；(3)过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．∵DN＝FN，∴DM＝DN＝FN＝EM，∴BE+CF＝BM+EM+FN－CN＝NF+EM＝2DM=x+y，BE﹣CF＝BM+EM﹣（FN－CN）＝BM+NC＝2BM=x－y，在Rt△BMD中，∵∠BDM=30°，∴BD=2BM，∴DM＝，∴，整理，得．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．19．（2022·湖南永州·八年级期末）△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．(1)问题发现：如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度数．(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角