2024-2025学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷（B卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷（B卷）一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在△ABC中，“sinA>cos(π2−B)”是“A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件2.李善兰是中国近代著名数学家，辅助角公式是他提出来的一种三角公式，其主要作用是将多个三角函数化成单个三角函数.辅助角公式的正弦型为：asinx+bcosx=a2+A.当a>0，b>0时，辅助角φ=arctanba

B.当a>0，b<0时，辅助角φ=−arccosaa2+b2

C.当a<0，3.如图是根据某港一天中记录的潮汐高度y(cm)与相应时间t(ℎ)的有关数据绘制的简图，若选择函数y=Asin(ωx+φ)+c来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是(

)A.y=180sin(π12x+π3)+300 B.y=180sin(4.已知下列命题，其中假命题有(

)A.要得到函数y=cos(x−π6)的图像，需把函数y=sinx的图像上所有点向左平行移动π3个单位长度．

B.已知函数f(x)=2cos2x−2acosx+3，当a≤−2时，函数f(x)的最小值为g(a)=5+2a．

C.已知角A、B、C是锐角△ABC的三个内角，则点P(sinA−cosB,cosA−sinC)在第二象限．二、填空题：本题共12小题，共60分。5.函数y=−sinx的单调递减区间是______．6.若sinθ=12cosθ，则1−sin2θcos2θ7.若α为第一象限角，则log(1+tan28.函数y=cos(x+φ)(其中0<φ<π)为奇函数，则φ=______．9.若函数y=tan3x在区间(m,π6)上是严格增函数，则实数m10.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．11.已知cos(x+π6)=112.已知关于x的方程sinx+cosx=m在[0,π]有两个不等的实根，则m的取值范围为______．13.锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3且b2+c2−bc=914.在△ABC中，若AC=2,B=π3，且sinAsinC=928，则15.已知a，b，c分别为△ABC三内角的对边，且acosC−3asinC=b−c，若c=2，角B的平分线BD=616.已知ω∈R，φ∈[0,2π).若命题：“存在x∈R，使得sinx<cos(ωx+φ)”是假命题，则满足条件的有序实数对(ω,φ)为______.(写出所有可能的结果三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．

(1)若acosC+(2b+c)cosA=0，求：A的大小；

(2)若BC边上的高等于a2，且0<A<π2，求：18.(本小题14分)

某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=253米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．

(1)设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；

(2)经核算，三条走廊每米建设费用均为400019.(本小题14分)

已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x(x∈R)．

(1)化简y=f(x)的解析式，并写出函数y=f(x)的最小正周期；

(2)求函数y=f(x)的单调增区间；

(3)用五点法画出函数y=f(x)，x∈[−π1220.(本小题14分)

已知函数f(x)=2sin2(π4+x)−3cos2x．

(1)求函数y=f(x)的单调减区间；

(2)若f(x)−m<2在x∈[π4,π2]21.(本小题14分)

若函数y=f(x)满足f(x)=f(x+3π2)且f(π4+x)=f(π4−x)(x∈R)，则称函数y=f(x)为“M函数”．

(1)试判断y=sin43x是否为“M函数”，并说明理由；

(2)函数f(x)为“M函数”，且当x∈[π4,π]时，y=sinx，求y=f(x)的解析式，并写出在[0,3π2]上的单调增区间；参考答案1.C2.D

3.D

4.C

5.[2kπ−π2,2kπ+π6.137.−18.π29.[−π10.7

11.111612.[1,13.(14.2+815.316.(0,π),(1,3π17.18.解：(1)∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，

∴OE=25cosα

在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，

∴OF=25sinα．

又∠EOF=90°，

∴EF=OE2+OF2=25cosαsinα，

∴l=OE+OF+EF=25(sinα+cosα+1)cosαsinα．

当点F在点D时，这时角α最小，此时α=π6；

当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=π3．

故此函数的定义域为[π6,π3]；

(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．

由(1)得，l=25(sinα+cosα+1)cosαsinα，α∈[π6,π3]，

设19.(1)解：由函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1，

所以函数f(x)的最小正周期为T=2πω=π．

(2)解：由(1)知f(x)=2sin(2x+π6)+1，

令−π2x+0ππ3π2πx−π5π2π11πf(x)131−11描点、连线

由函数g(x)=k+1−f(x)在[0,2π3]内有两个相异的零点，

即f(x)=k+1在[0,2π3]内有两个相异的实根，

即y=f(x)和y=k+1的图象在[0,2π3]内有两个不同的交点，

因为x∈[0,2π3]，可得2x+π6∈[π6,3π2]，

当2x+π6=π6时，即x=0，可得f(0)=2；

当2x+π6=π2时，即x=π6，可得f(0)=3；20.解：(1)f(x)=2sin2(π4+x)−3cos2x

=2⋅1−cos(π2+2x)2−3cos2x

=sin2x−3cos2x+1

=2sin(2x−π3)+1，

由π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ⇒5π12+kπ≤x≤11π12+kπ(k∈Z)，

所以函数y=f(x)的单调递减区间为[5π12+kπ,11π12+kπ](k∈Z)；

(2)因为不等式f(x)−m<2在x∈[π4,π2]上恒成立，21.解：(1)f(x)=sin(43x)不为M函数，理由如下：

因为f(x)=f(x+3π2)，所以函数f(x)的周期为3π2，

又因为f(π4+x)=f(π4−x)，所以函数f(x)的图象关于x=π4对称，

因为y=sin43x的周期为3π2，

当x=π4时，y=sin(43×π4)=sinπ3=32≠1，

所以f(x)的图象不关于x=π4对称，

∴f(x)=sin(43x)不是“M的函数”；

(2)由f(π4+x)=f(π4−x)