祖暅原理与几何体的体积课件-高一下学期数学人教B版

11.1.6祖暅原理与几何体的体积1.掌握柱、锥、台和球体的体积的求法.（重点）2.了解柱、锥、台和球的体积计算公式，能运用柱、锥、台和球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关的实际问题.（难点）问题1

如图所示的矩形与平行四边形面积分别是多少？过程一

类比与猜想

追问1

对于等底等高的平行四边形与矩形,有怎样一般性的结论？平行四边形面积矩形面积追问2

你能把这一结论推广到空间吗？等底等高的平行四边形面积相等实验：取一摞书本堆放在桌面上.过程二推理与验证问题2一摞书本整齐的堆在一起，从外观上可看成什么几何体？体积怎么算？长方体体积公式

过程二推理与验证追问1把书本朝一个方向推歪了，体积会变化吗？为什么？追问2把书本旋转以后，体积会变化吗？为什么？祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。幂:水平截面面积势:高两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.祖暅的介绍：

祖暅是南北朝时期著名数学家祖冲之的儿子.他从小对数学具有浓厚的兴趣.祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体，球体的体积计算.他们当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利发现的.为了纪念祖氏父子的这一伟大发现，数学上称这个原理为“祖暅原理”.过程三探究与发现1.柱体的体积问题3

由祖暅原理,等底等高的柱体体积相等吗？为什么？追问柱体转化怎样的几何体求体积呢？柱体等底等高的长方体由祖暅原理可得：（1）等底等高的柱体体积_______.

（2）若柱体的底面积为S，高为h，则体积V=__________.

相等过程三探究与发现2.锥体的体积问题4

由祖暅原理,等底等高的锥体体积相等吗？为什么？过程三探究与发现追问1

锥体转化为怎样的特殊几何体求体积呢？追问2

能否直接验证棱锥体积是等底等高的棱柱体积的1/3？过程三探究与发现等底等高的柱体锥体过程三探究与发现由祖暅原理可得：（1）等底等高的锥体体积

.（2）若锥体的底面积为S，高为h，其体积是与它等底等高的柱体体积的

，体积V=

.

相等过程三探究与发现

解：长方体可以看作是直四棱柱ADD′A′－BCC′B′.设底面ADD′A′的面积是S，高为h，则它的体积为V=Sh.因此所求体积之比是1：6.

例题讲解

例题讲解

例题讲解

知识归纳问题5柱体、锥体、台体的体积有什么关系？4.球的体积将半球放在水平桌面上,球半径为R问题6

由祖暅原理，构造怎样的空间几何体能与半球的体积相同呢？半球体？问题7

构造如图所示的圆柱或者圆锥可以吗？为什么？它们的体积之间有怎样的关系？RR

发现：问题9

如何构造符合条件的几何体？实验演示:1.拿出圆锥和圆柱2.将圆锥倒立放入圆柱R3.作半球和新的几何体平行于底面的截面半球圆柱与圆锥的组合体

相等

例3中的几何体,是由球和棱柱组合而成的,类似的几何体一般称为组合体.求组合体的体积(或表面积)时,只需要算出其中每个几何体的体积(或表面积),然后再处理即可.方法归纳这节课大家学到了哪些知识？知识：柱体、锥体、台体、球体的体积公式思想：等价转化锥体柱体长方体球体方法：类比、抽象1.如图将正四棱柱底面的边3等分，过3等分点用平行于侧棱的平面截去4个三棱柱，得到一个八棱柱。求这个八棱柱与原四棱柱体积之比。答案：7:92.《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问积及为米几何。”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少。”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率为3，估算出堆放的米约有（

）A.14斛

B.22斛C.36斛

D.66斛B3.如图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD,用任意平行于