《直线的方程（第1课时）》教学设计

4/133.2.1直线的方程(名师：张志华)一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系．（二）学习目标1.掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、斜截式，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程．2.经历直线方程的发现过程，以提高分析、比较、概括、化归的数学能力,初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养综合运用知识解决问题的能力．3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养勇于探索、勇于创新的精神．（三）学习重点1．直线方程的点斜式的推导及运用．2．直线方程的斜截式的推导及运用．（四）学习难点直线与方程对应关系的说明以及运用各种形式的直线方程时，应考虑使用范围并进行分类讨论．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第97页至第100页，填空：一般地，直线方程，我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距；直线方程由直线的斜率与其在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程．直线方程由直线上的一定点及其斜率确定，我们把方程叫做直线的点斜式方程．当直线的倾斜角为时，斜率不存在，其直线方程不能由斜截式或点斜式确定，此时直线与轴平行或重合，故其方程是．（2）写一写：直线的斜截式方程是；直线的点斜式方程是；当直线的斜率不存在时，其方程是．2．预习自测（1）直线（为常数）的倾斜角为（）A．B．C．D．答案：B．解析：【知识点】直线的倾斜角．【解题过程】．点拨：明确倾斜角与斜率的关系．（2）过点（-1,2）且倾斜角为的直线方程为（）A．B． C． D．【知识点】已知一点及倾斜角求直线的一般式方程．【解题过程】，故直线的方程为．点拨：已知一点及倾斜角先求直线的点斜式方程，再转化成一般式方程．答案：A．（3）直线在轴和轴上的截距相等，则的值是（）A．1B．-1C．-2或-1D．-2或1【知识点】考察截距的概念．【解题过程】令，得；令，得；故-2或1．点拨：分别求出横纵截距，令其相等解方程即可．答案：D．(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.（2）直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示.（3）概念辨析：①当直线和轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是；③倾斜角是90°的直线没有斜率.（4）斜率公式：经过两点的直线的斜率公式：（5）斜率公式的形式特点及适用范围：①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；②斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用；④当时，直线的倾斜角＝，没有斜率．（6）确定一条直线需要具备几个独立条件:需要知道直线经过两个已知点；需要知道直线经过一个已知点及方向（即斜率）等等．2．问题探究 探究一直线的方程的推导★ ●活动①直线的点斜式方程——已知直线的斜率及直线经过一已知点，求直线的方程问题一：已知直线经过点，且斜率为，如何求直线的方程？此问题难度较小，可由学生自行推导，得出结论：请同学们集思广益，给这个方程取一个贴切、易记的名字.根据直线的几何特征，确定命名为直线方程的点斜式.在学生推导直线方程的点斜式时，教师可帮助启发学生作如下分析：建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是惟一的，其斜率都等于.在得出方程后，要把它变成方程.因为前者表示的直线上缺少一个点，而后者才是整条直线的方程.直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为.【设计意图】点斜式方程推导对学生来说是容易接受的，因此，本环节通过问题的讨论，力求使学生对直线方程的点斜式有一个全方位的认识，以建立起完整、准确的知识结构．●活动②互动交流，课堂讨论问题二：平面上的所有直线是否都可以用点斜式表示？答：不能，因为斜率可能不存在.【设计意图】通过讨论，使学生切实掌握点斜式并不能把平面上所有的直线都表示在内，它受到斜率存在性的影响，因此，在具体运用时应根据情况分类讨论，避免遗漏.探究二探究直线的斜截式方程的推导 ●活动①直线的斜截式方程的推导问题三：已知直线经过点P（0,b），并且它的斜率为，求直线的方程.启发学生用直线方程的点斜式自行推导，得出结论：再次请同学们集思广益，给这个方程取一个贴切、易记的名字，根据已知直线的几何特征，确定为斜截式．【设计意图】斜截式方程推导对学生来说是容易接受的（与初中学习过的一次函数的表达式进行比较），因此，本环节通过问题的讨论，力求使学生对直线方程的点斜式有一个全方位的认识，以建立起完整、准确的知识结构．●活动②巩固理解，加深认识提出问题串，让学生一起交流讨论：⑴斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.⑵斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间有什么差别？只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式.⑶斜截式中，，的几何意义是什么？ 【设计意图】通过直线的斜截式方程与一次函数的表达式的比较，加深对直线的斜截式方程的理解，突破重点． 探究三直线的点斜式方程与斜截式方程的应用★▲ ●活动①巩固基础，检查反馈例1下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是()A.=3B.=－5C.2=D.=4－1 【知识点】直线的斜截式方程概念的理解． 【解题过程】方程形如的形式． 【思路点拨】把每一个选项与概念进行对比，特别注意特殊形式． 【答案】B．同类训练直线的方程是指()A.直线上点的坐标都是方程的解B.以方程的解为坐标的点都在直线上C.直线上点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都在直线上D.以上都不对答案：C．解析：【知识点】直线的方程的概念．【解题过程】对选项逐个进行判断．点拨：曲线的方程与方程的曲线的关系．例2一条直线经过点，倾斜角，求这条直线的方程.【知识点】已知直线过一点与其倾斜角，求直线方程．【解题过程】由倾斜角，知斜率，由点斜式方程，得直线的方程为，即． 【思路点拨】已知直线过一点与其倾斜角，可由点斜式求直线方程． 【答案】．同类训练经过点(2，1)且倾斜角的余弦值是的直线方程是___________.【知识点】已知直线过一点与其倾斜角的余弦值，求直线方程．【解题过程】由，知斜率，由点斜式方程，得直线的方程为，即．点拨：已知直线过一点与其倾斜角的余弦值，可由点斜式求直线方程．答案：．【设计意图】巩固掌握点斜式求直线方程的方法．●活动②强化提升、灵活应用 例3写出下列直线的斜截式方程：⑴斜率是，在轴上的截距是－2；⑵倾斜角是，在轴上的截距是3． 【知识点】直线的斜截式方程，会画出图形． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】（1）由斜率，在轴上的距截为，得直线方程为；（2）由倾斜角是，得斜率，故直线方程为．画图略． 【思路点拨】对倾斜角、斜率、纵截距的概念理解清楚． 【答案】（1）；（2）．同类训练已知直线经过点(-2，1)，且倾斜角的正弦值是，求直线的方程，并画出图形． 【知识点】直线的点斜式方程，会画出图形． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】由，注意到，得，故由点斜式方程知：直线的方程为，即或． 点拨：直线的点斜式方程，会画出图形． 答案：或． 【设计意图】巩固掌握点斜式求直线方程的方法，会数形结合画出直线图形．3.课堂总结 知识梳理 直线的点斜式与斜截式方程：直线名称已知条件直线方程使用范围点斜式斜截式设问：已知直线经过点A（3，－5），B（－2,5），如何求直线的方程.（此问题先让学生思考，再提问.）【设计意图】小结采用学生看课本及填表的形式，目的是为了让学生更加重视教科书的作用，并通过填表对比两种形式的直线方程的异同，尤其是它们适用范围要引起注意。另外，应用点斜式求通过两点的直线方程，主要是达到承前启后的作用，以引起学生“且听下回分解”的悬念．重难点归纳 （1）直线与方程对应关系的说明以及运用各种形式的直线方程时，应考虑使用范围并进行分类讨论． （2）直线的各种方程形式进行相互转化．（三）课后作业基础型自主突破1.下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是()A.B.C.D.答案：B．解析：【知识点】斜截式的概念．【解题过程】B符合的形式．点拨：逐项判断．2.直线过(a,b)、(b,a)两点，其中a与b不相等，则()A.l与轴垂直B.与轴垂直C.过一、二、三象限D.的倾斜角为π答案：D．解析：【知识点】已知两点求斜率，倾斜角与斜率的关系．【解题过程】由直线过(a,b)、(b,a)两点，得斜率，故．点拨：已知斜率会求倾斜角．3.若ac＞0且bc＜0，直线不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【知识点】直线一般式方程与斜截式方程的互化，会由直线特征量画直线．【解题过程】由ac＞0且bc＜0，知；由直线，故斜率，截距，所以直线过一、二、三象限，不过第四象限．点拨：会由直线特征量画直线．答案：D．1.若点A(x0，y0)在直线上，则_________,若点A不在直线上，则_________.【知识点】点在直线上的充要条件．【数学思想】数形结合思想【解题过程】点A(x0，y0)在直线上；点A不在直线上．点拨：点在直线上的充要条件．答案：；．2.经过点(2，1)且倾斜角的余弦值是的直线方程是___________.答案：．解析：【知识点】已知直线过一点与其倾斜角的余弦值，求直线方程．【解题过程】由，知斜率，由点斜式方程，得直线的方程为，即．点拨：已知直线过一点与其倾斜角的余弦值，可由点斜式求直线方程．【设计意图】巩固掌握点斜式求直线方程的方法．3.已知P(3，m)在过M(2，－1)和N(－3,4)的直线上，则m的值是_________.答案：．解析：【知识点】已知两点求直线方程，点在直线上的充要条件．【解题过程】由M(2，－1)和N(－3,4)，得，则直线方程为，即；点P(3，m)在上，则．点拨：已知两点求直线方程，点在直线上的充要条件．【设计意图】巩固已知两点求直线方程，点在直线上的充要条件．能力型师生共研7．已知点P(x1，y1）在直线l：(＞0)的下方，求证：答案：见解析解析：【知识点】点与直线的位置关系的充要条件．【解题过程】直线l：(＞0)，过点P作直线轴于M．若时易得；若时．则，则点P(x1，y1）在M的下方，于是，即，整理得；若，同理可证．点拨：点与直线的位置关系的充要条件．8．若光线从点A(－3，5）射到轴上被轴反射后反射到点B(3，9)，求此光线所经过的路程的长．答案：．解析：【知识点】点关于直线的对称性．【数学思想】数形结合思想【解题过程】点A(－3，5）关于轴的对称点为，根据反射光线与入射光线的对称性，知：光线所经过的路程的长为．点拨：根据反射光线与入射光线的对称性．探究型多维突破9．已知直线在轴上的截距为－3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程．答案：．解析：【知识点】直线与坐标轴所围成的三角形面积．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设直线，令得，则三角形面积为，故直线的方程为．点拨：三角形的面积表示．10．已知直线与直线3x+4－7=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线的方程．答案：3x+4±24=0．解析：【知识点】直线与坐标轴所围成的三角形面积．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设直线，令，令，故三角形面积为，则直线的方程为．点拨：直线与坐标轴所围成的三角形面积．自助餐1．已知直线的方程是，则（）A．直线经过点（-1,2），斜率为-1B．直线经过点（2，-1），斜率为-1C．直线经过点（-1,-2），斜率为-1D．直线经过点（-2，-1），斜率为1【知识点】直线的点斜式方程．【解题过程】方程变形为，故直线经过点（-1,-2），斜率为-1 ．点拨：化为直线的点斜式方程．答案：C．2．直线的倾斜角及在轴上的截距分别是（）A．B．C．D．答案：B．解析：【知识点】直线的斜截式方程．【解题过程】直线的斜率为，当时，，故在轴上的截距为．点拨：直线的斜截式方程．3．直线的斜率为，在轴上的截距为，则有（）A.B．C．D．答案：C．解析：【知识点】直线的斜截式方程．【解题过程】原方程可化为，故．点拨：直线的斜截式方程．4．斜率为4，经过定点（2，-3）的直线方程是________．答案：．解析：【知识点】直线的点斜式方程．【解题过程