福建省漳州第一中学2024−2025学年高一下学期第一次段考（4月）数学试题（含解析）

福建省漳州第一中学2024−2025学年高一下学期第一次段考（4月）数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知为虚数单位若复数，则的虚部是（

）A．1 B． C．i D．2．已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边AB上的中线的实际长度为（）

A．4 B． C． D．53．平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态.已知，，，则（）A． B．1 C． D．24．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则的值为（）A． B． C． D．5．已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（）A． B． C． D．6．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（）A．7 B． C． D．7．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有某种溶液，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1和图2中溶液体积分别为，则（

）A． B． C．1 D．8．的内角的对边分别为,边上的中线长为,则面积的最大值为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中错误的是（

）A．B．若，则的最大值为C．若，则复平面内对应的点位于第一象限D．若是关于的方程的一个根，则10．已知、、分别为内角、、的对边，下面四个结论正确的是（

）A．若，则B．若，，且有两解，则的取值范围是C．若，则为等腰三角形D．若，的平分线交于点，，则的最小值为811．如图，圆台，在轴截面中，，H，F为圆上定点，且，M为AD中点，C，H，F，M四点共面．则（

）A．该圆台高为B．该圆台体积为C．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到M点，所经过的最短路径为5D．三、填空题（本大题共3小题）12．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为．13．在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式，如图，在坡度为的观礼台上，某一列座位所在直线与旗杆所在直线共面，在该列的第一个座位和最后一个座位测得旗杆顶端的仰角分别为和，且座位的距离为米，则旗杆的高度为米．14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知复数满足为纯虚数，．(1)求以及；(2)设，若，求实数的值．16．如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设．(1)用表示；(2)如果，且，求．17．在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的周长．18．如图，在三棱锥的平面展开图中，、、三点共线，的内角、、所对的边分别为、、，且．(1)求的大小；(2)若，且，，求．19．如图，设、是平面内相交成的两条射线，，分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．

(1)在－仿射坐标系中，若，求；(2)如图所示，在－仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．

参考答案1．【答案】A【详解】解：因为复数，所以的虚部是1，故选A.2．【答案】D【详解】的实际图形应是直角三角形，两条直角边长分别是6和8，斜边AB的长度为10，边AB上的中线的实际长度为5.故选D.3．【答案】C【详解】由题意得，所以，两边平方得，即，所以.故选C.4．【答案】A【详解】因为，由正弦定理可得，又，所以，故选A5．【答案】C【详解】设，由长方体的体积为16可得：，即，长方体外接球的半径为，所以，当且仅当“”时取等，所以，当，长方体外接球表面积的最小值为.故选C.6．【答案】D【详解】由题意可得，向量在向量上的投影向量为，则，解得，则，故．故选D.7．【答案】D【详解】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为4，在图2中，中间液面四边形的边长为5，则，所以.故选D.8．【答案】D【详解】根据题意可知，而，同理，而，于是，即，又因为，代入解得.过D作DE垂直于AB于点E，因此E为中点，故，而，故面积最大值为4，答案为D.9．【答案】ACD【详解】设，则，其中，A：，，故故A错误；B：因为，由复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心的单位圆上，而表示圆上的点到点的距离，又圆心到的距离为，所以圆上的点到的最大距离为，故B正确；C：因为，所以，复平面内对应的点位于第二象限，故C错误；D：是关于的方程的一个根，所以，整理可得，所以，解得，故D错误；故选ACD.10．【答案】ABD【详解】对于A，因为，由大边对大角可得，由正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径，所以，故A正确；对于B，如图，因为，，若有两解，则，即，所以，则的取值范围是，故B正确；对于C，因为，所以，即，又，所以，所以或，即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误；选项D，的平分线交于点，，由，由角平分线性质和三角形面积公式得，得，即，得，得，当且仅当，即时，取等号，故D正确.故选ABD.11．【答案】ACD【详解】对于选项A：如图1，作交于点E，易得，则，所以圆台的高为，故A正确；对于选项B：圆台的体积为，故B错误；对于选项C：由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4，底面半径为2，侧面展开图的圆心角，M为AD的中点，连接CM，如图2，可得，，，则，此时到的距离为，故从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5，C正确；对于选项D：延长CM，BA交K点，连接HK，则F点在HK上，为中点，是与交点，如图3，过作HK垂线，垂足为N，延长，过K作KQ垂直于，垂足为Q，如图4，则，与相似，可得，，解得，由垂径定理知N为FH的中点，则与相似，且都是等腰直角三角形，所以，故D正确；故选ACD．12．【答案】【详解】将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球时，球的直径等于正方体的棱长2，则球的半径，则球的体积，故答案为.点睛：本题考查的知识点是球的体积，其中根据正方体和圆的结构特征，求出球的半径，是解答本题的关键；根据已知中，将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，结合正方体和圆的结构特征，就是正方体的内切球，我们可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案.13．【答案】30【详解】解：如图所示，依题意可知∠NBA＝45°，∠BAN＝180°﹣60°﹣15°＝105°∴∠BNA＝180°﹣45°﹣105°＝30°由正弦定理可知∴AN＝＝20米∴在Rt△AMN中，MN＝AN•sin∠NAM＝20×＝30米所以：旗杆的高度为30米14．【答案】【详解】如图，取的中点,连接.则,因为圆的直径，长度为4，故得,要求的取值范围，即要求的取值范围.根据正六边形的性质，结合图形可知，当点与正六边形的顶点重合时，当点为正六边形的边的中点时(如图点)，故.15．【答案】(1)；(2)1或5【详解】（1）设，则，由为纯虚数，得①，且，由，得②，由①②解得，验证知，满足题意.所以.（2）由（1）可知，，由，得，整理，得，解得或.故实数的值为1或5.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，；（2）因为，所以，所以，由，可得，又，所以，所以．17．【答案】(1)(2)【详解】（1），由正弦定理边化角，即，，，又，，，（2），，，，，的周长为．18．【答案】(1)(2)