甘肃省兰州市第四片区2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页甘肃省兰州市第四片区2024-2025学年高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在四边形ABCD中，若ACA.四边形ABCD一定是等腰梯形 B.四边形ABCD一定是菱形

C.四边形A2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=3A.60°或120° B.30°或150° C.3.向量a=(−1,2)，A.x=32 B.x=6 4.在△ABC中，如果(a+bA.150° B.120° C.60°5.已知cos(α−π3)=12A.5+12326 B.12+6.已知α，β∈(0,π2)，cosA.π3 B.π4 C.π67.a、b、c分别是△ABC内角∠A，∠B，∠C的对边，若△ABC的周长为A.2 B.2 C.4 D.8.在△ABC中，AD=2DB，P为CA.12 B.13 C.14二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,−1)，b=(2A.若a/​/b，则x=−2 B.若x=1，则|b−a|=5

C.10.对于△ABC，有如下命题，其中正确的有A.sin(B+C)=sinA

B.cos(B+C11.已知函数f(x)=3A.ω=2

B.函数f(x)的图象关于直线x=−π6对称

C.将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到的图象关于y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点P(3,1)是角α终边上的一点，则c13.计算tan72°−14.已知向量a与b的夹角为23π，且|a|=2，|b|=四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知向量a与b的夹角为π4，且|a|=2，|b|=2．

(1)求a⋅16.(本小题12分)

如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，∠DAB=π3，点E是AB的中点，连接DE，AC，AB=4记它们的交点为点G，设AB17.(本小题12分)

如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东75°方向、距离为60海里B处有毒贩正驾驶小船以每小时15(3−1)海里的速度往北偏东15°的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时1518.(本小题12分)

在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1．

(119.(本小题12分)

已知点P(3,1)，Q(cosx,sinx)，O为坐标原点，函数f(x)=OP⋅QP．答案和解析1.【答案】D

【解析】解：AC=AB+AD可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形．

2.【答案】A

【解析】解：∵△ABC中，a=1，b=3，A=30°，

∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=bsin3.【答案】D

【解析】解：因为a⊥b，a=(−1,2)，b=(−3,x4.【答案】C

【解析】解：根据题意，∵(a+b+c)(b+c−a)=3bc，

∴(a+b+c)⋅(b+c−a)=(b+c)5.【答案】A

【解析】解：α∈(π3,5π6)⇒α−π3∈(0,π6.【答案】D

【解析】【分析】本题两角和与差的余弦公式，利用同角三角函数基本关系化简，属于基础题．

根据同角关系，两角和差公式即可求值．【解答】

解：∵tanα⋅tanβ=sinαcosα⋅sinβcosβ=5，

7.【答案】C

【解析】解：根据正弦定理，sinB+sinC=2sinA可化为b+c=2a

∵△ABC的周长为4(2+8.【答案】B

【解析】解：如图，

∵AD=2DB，即AD=2(AB−AD)，∴AB=32AD，

因此AP=mAB+12AC=3m29.【答案】AB【解析】解：向量a=(1,−1)，b=(2,x)，

由a/​/b，可得x=−2，故A正确；

若，x=1，则b=(2,1)，|b−a|=|(2,110.【答案】AC【解析】解：依题意，△ABC中，B+C=π−A，sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，A正确；

cos(B+C)=cos(π−A)=−cos11.【答案】AB【解析】解：A：由题意可得f(x)=2sin(ωx−π6)，由T=π，可得ω=2πT=2，故正确；

B：f(−π6)=2sin[2×(−π6)−π6]=−2，即为最小值，故正确；

C：由题意f(x)的图象向右平移π6个单位长度可得y=2sin[2(x−π6)−π6]=2sin(2x−π2)=−2c12.【答案】45【解析】解：由题意可得cosα=332+12=31013.【答案】3【解析】解：根据tan30°=tan(72°−42°)=tan14.【答案】−【解析】解：由题意可得a在b上的投影向量为a⋅b|b|2b，

因为a⋅b=|a|15.【答案】2；

2；

π4【解析】解：(1)因为向量a与b的夹角为π4，且|a|=2，|b|=2，

则a⋅b=|a||b|cos〈a,b〉=2×2×22=2；

(2)|a−16.【答案】解(1)根据题意，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，

易得AEDC=AGGC=12，则有AG=12GC【解析】(1)根据题意，由平行线的性质可得AEDC=AGGC=12，则有17.【答案】解：(1)由题意可得∠ABC=15°+180°−75°=120°，

设时间为t小时缉毒船恰好能将毒贩抓捕，此时AC=156t海里，BC=15(3−1)t海里，

AB=60海里，

由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC【解析】(1)由题意可得∠ABC的大小，设t小时缉毒船恰好能将毒贩抓捕，在△ABC中，由题意及余弦定理可得t的值；

18.【答案】解：(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

已知∠BAC=120°，c=2，b=1，

由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccos120°=7，解得a=7，

【解析】(1)利用余弦定理得到a=7，由正弦定理asinA=19.