2024-2025学年江苏省无锡市天一中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省无锡市天一中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数y=x2cos(2x−A.y′=2xcos(2x−π3)−x2sin(2x−π32.已知随机变量X～B(2,p)，Y服从两点分布，若P(X≥1)=0.64，P(Y=1)=p，则P(Y=0)=(

)A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.83.(x2+2)(1A.3 B.−3 C.7 D.−74.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为13,35A.1115 B.415 C.2155.下列说法不正确的是(

)A.在做回归分析时，可以用决定系数R2刻画模型的回归效果，若R2越大，则说明模型拟合的效果越好

B.若随机变量ξ～N(2,σ2)，且P(ξ>5)=0.2，则P(−1<ξ<5)=0.6

C.若随机变量ξ～B(9,23)，则方差6.若函数f(x)=x2−alnx+1在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是A.[0,2] B.(−∞,2) C.[8,+∞) D.(−∞,2]7.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B).若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为A.4951000 B.9951000 C.10118.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数(a0a1a2…ak)2(k∈N∗)对应的十进制数记为mk，即mk=a0×2k+a1×2k−1+…+A.1910 B.1990 C.12252 D.12523二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某种产品的价格x(单位：元/kg)与需求量y(单位：kg)之间的对应数据如下表所示：x1015202530y1211976根据表中的数据可得回归直线方程y=bA.相关系数r>0

B.第一个样本点对应的残差为−0.2

C.b​=−0.32

D.若该产品价格为35元/kg10.一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件Ai为“第i次取到的球是红球(i=1,2)”，事件B为“两次取到的球颜色相同”，事件C为“两次取到的球颜色不同”，则(

)A.A1与A2互斥 B.P(A2)=12 C.11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵(如图所示)，在“杨辉三角”中，下列选项正确的是(

)A.第10行所有数字的和为1024

B.C32+C42+C52+⋯+C102=119

C.第9行所有数字的平方和等于C189

12.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N(6.40,0.052)，则P(6.25≤ξ≤6.45)≈______.(精确到0.01)

参考数据：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，13.某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为______.(用数字作答)14.若存在实数a，b使得ea+be2≤a+lnb+4四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ax3−x2−3x+b，且当x=3时，f(x)有极值−5．

(1)求a，b的值；

(2)16.(本小题15分)

为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如表所示：社区居民意见合计满意不满意A社区3045B社区55合计25(1)完成2×2列联表，根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？

(2)现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．

附：参考公式：χ2=n(ad−bc)P(0.100.050.0250.010x2.7063.8415.0246.63517.(本小题15分)

某单位有11名外语翻译人员(每名翻译人员都能从事英语或俄语翻译)，其中能从事英语翻译x人，且x满足A8x<6A8x−2，能从事俄语翻译6人．

(1)问既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有几人？

(2)现要从中选出8人组成两个翻译小组，其中18.(本小题17分)

同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束)；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：123456甲252127272325乙182525252517假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立．

(1)估计甲队每局获胜的概率；

(2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；

(3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与14的大小(结论不要求证明)．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−aln(x+1)，g(x)=sinx−x，其中a∈R．

(1)证明：当x∈[0,+∞)时，g(x)≤0；

(2)若x>0时，f(x)有极小值，求实数a的取值范围；

(3)对任意的x∈[0,π]，2f(x)≥g′(x)+2恒成立，求实数a的取值范围．参考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.D

6.D

7.C

8.D

9.BCD

10.BD

11.ACD

12.0.84

13.360

14.1e15.解：(1)由f(x)=ax3−x2−3x+b，得f′(x)=3ax2−2x−3，

又当x=3时，f(x)有极值−5，所以f′(3)=27a−9=0f(3)=27a−18+b=−5，解得a=13b=4，

所以f′(x)=x2−2x−3=(x+1)(x−3)，当x∈(−1,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(3,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以当x=3时，f(x)有极小值−5．

所以a=13,b=4．

(2)由(1)x−4(−4,−1)−1(−1,3)3(3,4)4f′(x)+0−0+f(x)−单调递增极大值17单调递减极小值−5单调递增−由表可知f(x)在[−4,4]上的最大值为f(−1)=173，最小值为f(−4)=−643，

即f(x)在[−4,4]16.解：(1)依题意有该2×2列联表如下表所示，社区居民意见合计满意不满意A社区301545B社区451055合计7525100则X2=100×(30×10−15×45)245×55×75×25=10033≈3.030<3.841，

因为P(X2≥3.841)=0.05，

则没有95%的把握认为居民满意度与所在社区有关．

(2)依题意有X的可能取值有0，1，2

X

0

1

2

P

3

1

7所以E(X)=0×320+1×12+2×720=65．

17.解：(1)由A8x<6A8x−2可得8!(8−x)!<6×8!(10−x)!，

整理得：x2−19x+84<0，

解得：7<x<12，

又0<x⩽8且0<x−2⩽8，x∈N∗，

所以x=8，

所以既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有8+6−11=3人．

(2)由(1)可知，只能从事英语翻译的5人，只能从事俄语翻译的3人，既能从事英语又能从事俄语的3人，

按“多面手”的参与情况分成三类情况：

①多面手有18.解(1)用频率估计概率，甲队每局获胜的概率为46=23；

(2)由题意可知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

则P(X=0)=(13)3+C31×X0123P181616所以E(X)=0×19+1×881+2×1681+3×1627=18481；

(3)记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A，

设第i场甲、乙两队积分分别为Xi，Yi，则Xi=3−Yi，i=1，2，

因两队积分相等，所以X1+X2=Y1+Y2，

即19.解：(1)证明：因为g(x)=sinx−x，则g′(x)=cosx−1≤0对任意x∈[0,+∞)恒成立，

可知g(x)在[0,+∞)内单调递减，则g(x)≤g(0)=0，

所以当x∈[0,+∞)时，g(x)≤0．

(2)因为f(x)=ex−aln(x+1)，x>0，则f′(x)=ex−ax+1=(x+1)ex−ax+1，

令ℎ(x)=(x+1)ex−a，x>0，则ℎ′(x)=(x+2)ex>0对任意x>0恒成立，

可知ℎ(x)在(0,+∞)内单调递增，则ℎ(x)>ℎ(0)=1−a，

当1−a≥0，即a≤1时，则ℎ(x)>0对任意x>0恒成立，即f′(x)>0，

可知f(x)在(0,+∞)内单调递增，无极值，不合题意；

当1−a<0，即a>1时，