高三数学复习第一篇专题突破专题一集合常用逻辑用语平面向量不等式复数算法推理与证明刺第1讲集合常用逻辑

第1讲集合、惯用逻辑用语1/28考情分析2/28总纲目录考点一

集合概念及运算考点二命题真假判断是否定考点三充分、必要条件判断3/28考点一

集合概念及运算集合运算性质及主要结论(1)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A.(2)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A.(3)A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U.(4)A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.4/28经典例题(1)(课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则

()A.A∩B=

B.A∩B=⌀C.A∪B=

D.A∪B=R(2)(课标全国Ⅲ理,1,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},

则A∩B中元素个数为

()A.3

B.2

C.1

D.0(3)(湖北四校联考)已知集合A={x∈N|πx<16},B={x|x2-5x+4<0},则A

∩(∁RB)真子集个数为

()A.1

B.3

C.4

D.75/28答案(1)A(2)B(3)B解析(1)由3-2x>0得x<

,则B=

,所以A∩B=

,故选A.(2)集合A表示单位圆上全部点,集合B表示直线y=x上全部点.A∩B表示直线与圆公共点,显然,直线y=x经过圆x2+y2=1圆心(0,0),故

共有两个公共点,即A∩B中元素个数为2.(3)因为A={x∈N|πx<16}={0,1,2},B={x|x2-5x+4<0}={x|1<x<4},故∁RB={x|x≤1或x≥4},故A∩(∁RB)={0,1},故A∩(∁RB)真子集个数为3,故选

B.6/28方法归纳1.集合运算中惯用方法(1)若给定集合是不等式解集,则用数轴求解;(2)若给定集合是点集,则用数形结正当求解;(3)若已知集合是抽象集合,则用Venn图求解.2.在写集合子集时,易忽略空集;在应用A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时,

易忽略A=⌀情况.7/28跟踪集训1.(天津,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},则(A∪B)∩C=

()A.{2}

B.{1,2,4}

C.{1,2,4,6}

D.{1,2,3,4,6}答案

B由题意知A∪B={1,2,4,6},∴(A∪B)∩C={1,2,4},故选B.8/282.(湖南湘中名校联考)已知集合A={x|x2-11x-12<0},B={x|x=2(3n+1),

n∈Z},则A∩B等于

()A.{2}

B.{2,8}

C.{4,10}

D.{2,8,10}答案

B因为集合A={x|x2-11x-12<0}={x|-1<x<12},集合B为被6整除

余数为2数.又集合A中整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,其中被6整除余

数为2数有2和8,所以A∩B={2,8},故选B.9/283.(河南洛阳模拟)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-4>0},B={x|-2≤x≤

2},则如图所表示阴影部分所表示集合为

()

A.{x|-2≤x<4}

B.{x|x≤2或x≥4}C.{x|-2≤x≤-1}

D.{x|-1≤x≤2}答案

D题图中阴影部分所表示集合为(∁RA)∩B.依题意得A={x|

x<-1或x>4},所以∁RA={x|-1≤x≤4},所以(∁RA)∩B={x|-1≤x≤2},选D.10/28考点二

命题真假判断是否定1.四种命题关系(1)若两个命题互为逆否命题,则它们同真同假.(2)若两个命题为互逆命题或互否命题,则它们真假没相关系.2.全(特)称命题及其否定(1)全称命题p:∀x∈M,p(x),它否定为¬p:∃x0∈M,¬p(x0).(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它否定为¬p:∀x∈M,¬p(x).3.复合命题真假判断命题p∨q,只要p,q有一真,即为真;命题p∧q,只有p,q均为真,才为真;¬p和

p真假相反.11/28经典例题(1)(河南郑州质量检测(一))命题“∃x0∈R,

-x0-1>0”否定是

()A.∀x∈R,x2-x-1≤0B.∃x0∈R,

-x0-1≤0C.∀x∈R,x2-x-1>0D.∃x0∈R,

-x0-1≥0(2)(山东,5,5分)已知命题p:∃x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a2<b2,则a<b.

以下命题为真命题是

()A.p∧q

B.p∧¬q

C.¬p∧q

D.¬p∧¬q(3)(北京,13,5分)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题一组整数a,b,c值依次为

.12/28答案(1)A(2)B(3)-1,-2,-3解析(1)命题“∃x0∈R,

-x0-1>0”否定是“∀x∈R,x2-x-1≤0”.(2)p:x2-x+1=

+

>0恒成立,∴∃x∈R,x2-x+1≥0成立.故命题p为真.q:a2<b2⇒a2-b2<0⇒(a+b)(a-b)<0,∴

或

解得

或

故命题q为假,从而¬q为真.∴p∧¬q为真,故选B.(3)答案不唯一,如:a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,但不满足a+b>c.13/28方法归纳1.命题真假判断方法(1)普通命题p真假由包括相关知识区分.(2)四种命题真假判断:一个命题和它逆否命题同真假,而与它其

他两个命题真假无此规律.(3)形如p∨q,p∧q,¬p命题真假依据p,q真假与逻辑联结词含义判

断.14/282.全称命题与特称命题真假判断(1)全称命题:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中每

一个元素x验证p(x)成立,要判断其为假命题时,只需举出一个反例即可.(2)特称命题:要判断一个特称命题为真命题,只要在限定集合M中最少

能找到一个元素x0,使得p(x0)成马上可;不然,这一特称命题是假命题.3.“否命题”是对原命题“若p,则q”既否定其条件,又否定其结论;而

“命题p否定”即¬p,只是否定命题p结论.15/28跟踪集训1.(安徽合肥第二次教学质量检测)已知命题q:∀x∈R,x2>0,则

(

)A.命题¬q:∀x∈R,x2≤0为假命题B.命题¬q:∀x∈R,x2≤0为真命题C.命题¬q:∃x0∈R,

≤0为假命题D.命题¬q:∃x0∈R,

≤0为真命题答案

D由题意知¬q:∃x0∈R,

≤0,为真命题,故选D.16/282.(山西八校联考)已知命题p:存在n∈R,使得f(x)=n

是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增;命题q:“∃x0∈R,

+2>3x0”否定是“∀x∈R,x2+2<3x”.则以下命题为真命题是

()A.p∧q

B.(¬p)∧qC.p∧(¬q)

D.(¬p)∧(¬q)答案

C当n=1时,f(x)=x3,为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,故p是

真命题,则¬p是假命题;“∃x0∈R,

+2>3x0”否定是“∀x∈R,x2+2≤3x”,故q是假命题,¬q是真命题.所以p∧q,(¬p)∧q,(¬p)∧(¬q)均为假命

题,p∧(¬q)是真命题,选C.17/28考点三

充分、必要条件判断1.若p⇒q,则p是q充分条件;2.若q⇒p,则p是q必要条件;3.若p⇒q且q⇒p,则p是q充要条件;4.若p⇒q且q⇒/p,则p是q充分无须要条件;5.若p⇒/q且q⇒p,则p是q必要不充分条件;6.若p⇒/q且q⇒/p,则p是q既不充分也无须要条件.18/28经典例题(1)(天津,2,5分)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”

(

)A.充分而无须要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也无须要条件(2)(北京,7,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是

“m·n<0”

()A.充分而无须要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也无须要条件19/28答案(1)B(2)A解析(1)由2-x≥0,得x≤2;由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,因为[0,

2]⫋(-∞,2],所以“2-x≥0”是“|x-1|≤1”必要而不充分条件,故选B.(2)由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n夹角为钝角或180°,故必要性不

成立.故选A.20/28方法归纳判断充分、必要条件方法(1)定义法.(2)集正当.(3)等价法.21/28跟踪集训1.(安徽百所重点中学二模)“a3>b3”是“lna>lnb”

()A.充分无须要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也无须要条件答案

B由a3>b3可得a>b,当a<0,b<0时,lna,lnb无意义;反之,由lna>

lnb可得a>b,故a3>b3.所以“a3>b3”是“lna>lnb”必要不充分条件.22/282.(福建八校适应性考试)已知函数f(x)=3ln(x+

)+a(7x+7-x),则“a=0”是“函数f(x)是奇函数”

()A.充分无须要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也无须要条件答案

C由题意知f(x)定义域为R,易知y=ln(x+

)是奇函数,y=7x+7-x是偶函数.当a=0时,f(x)=3ln(x+

)为奇函数,充分性成立;当f(x)为奇函数时,a=0,必要性成立.所以“a=0”是“函数f(x)为奇函数”充

要条件,故选C.23/281.(课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中

元素个数为

()A.1

B.2

C.3

D.4随堂检测答案

B因为集合A和集合B有共同元素2,4,所以A∩B={2,4},所以A

∩B中元素个数为2.24/282.(课标全国Ⅱ理,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B

={1},则B=

()A.{1,-3}

B.{1,0}

C.{1,3}

D.{1,5}答案

C∵A∩B={1},∴1∈B,∴1-4+m=0,∴m=3.由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.∴B={1,3}.经检验符合题意.故选C.25/283.(山西八校第一次联考)已知集合A={x|(x-3)(x+