专题04 几何图形初步（原卷版）

专题04几何图形初步知识点1：认识平面图形、立体图形和图形分类（1）几何图形：几何图形是数学研究的主要对象之一.物体的形状、大小和位置关系是几何研究的内容.像长方体、圆柱、球、长方形、正方形、圆、线段、点、三角形、梯形……它们都是几何图形.（2）立体图形：有些几何体（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）各个部分都不在同一平面内，它们是立体图形.（3）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形.知识点2：立体图形的展开图立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为立体图形的展开图.如正方体的展开图有如下几种情况：中间四个面，上下各一面:中间三个面，一二隔河见:中间两个面，楼梯天天见:中间没有面，两两连成线:知识点3：点、线、面、体点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形.线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.面：包围着体的是面，分为平面和曲面.体：几何体也简称体.点动成线，线动成面，面动成体.知识点4：直线、射线与线段的概念知识点5：基本事实1.经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线.2.两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短.知识点6：基本概念1.两点间的距离：两个端点之间的长度叫做两点间的距离.2.线段的等分点：把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点.知识点7：双中点模型C为线段AB上任意一点，M、N分别为AC、BC中点，则.知识点8：角的概念1． 角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等；②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等；③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等；④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等.注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧.3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．知识点9：角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″．知识点10：钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．知识点11：方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正东、正西、正南、正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观测点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观测点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．知识点12：角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．知识点13：角的运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知识点14：余角和补角（1）余角：如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.∠A+∠C=90°，∠A=90°-∠C，∠C的余角=90°-∠C，即∠A的余角=90°-∠A.（2）补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角.∠A+∠C=180°，∠A=180°-∠C，∠C的补角=180°-∠C，即∠A的补角=180°-∠A.（3）补角的性质：同角的补角相等.比如：∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，则∠C=∠B.等角的补角相等.比如：∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D，则∠C=∠B.（4）余角的性质：同角的余角相等.比如：∠A+∠B=90°，∠A+∠C=90°，则∠C=∠B.等角的余角相等.比如：∠A+∠B=90°，∠D+∠C=90°，∠A=∠D，则∠C=∠B.考点剖析考点一：直线、射线、线段、角的相关概念【典例1】下列说法错误的是（）A．直线和直线表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线C．射线和射线表示不同射线 D．射线比直线短【变式1-1】把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理用几何知识解释正确的是()A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．线段的长度可以测量 D．两点之间线段最短【变式1-2】下列说法正确的是（

）A．点O在线段上 B．点B是直线的一个端点C．射线和射线是同一条射线 D．图中共有3条线段【变式1-3】图中直线、射线、线段能相交的是（

）A． B． C． D．【变式1-4】已知A、B、C三点，若过其中任意两点画一条直线，则画出的不同直线（

）A．一定有三条 B．只能有一条C．可能有三条，也可能只有一条 D．以上结论都不对【典例2】下列说法中，正确的是（

）A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为【变式2-1】如图所示，图中共有多少个小于平角的角（

）

A．10个 B．9个 C．8个 D．4个【变式2-2】下列说法中，正确的是（

）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角的边越长，角越大【变式2-3】图中角的个数是（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式2-4】如图，下列说法正确的是（

）

A． B．图中只有两个角，即和C．与表示同一个角 D．与表示同一个角考点二：根据线段间的关系判断结论【典例3】杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（）A．20种 B．15种 C．10种 D．5种【变式3-1】如图，在线段AD上有两点B，C，则图中共有_____条线段，若在车站A、D之间的线路中再设两个站点B、C，则应该共印刷_____种车票．A．3，3 B．3，6 C．6，6 D．6，12【变式3-2】将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（）A．37 B．36 C．35 D．34【变式3-3】数轴上的点所表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为18厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点数是(

)A．17个或18个 B．17个或19个 C．18个或19个 D．18个或20个【变式3-4】下列说法中，正确的是（

）A．在所有连接两点的线中，直线最短B．线段与线段是不同的两条线段C．如果点是线段的中点，那么D．如果，那么点是线段的中点考点三：根据线段间的关系求线段的长度【典例4】如图，线段，C是线段的中点，D是线段的中点．(1)求线段的长；(2)在线段上有一点E，，求的长．【变式4-1】如图，线段，，点M是的中点．

(1)求线段的长度；(2)在上取一点N，使得．求的长．【变式4-2】如图，点是线段的中点，是上一点，且，．(1)求的长；(2)若为的中点，求长．考点四：钟表中的角度计算【典例5】在上午时，钟表上的时针与分针的夹角是()A． B． C． D．【变式5-1】从分到分，时钟的分针转过的角度是（

）A． B． C． D．【变式5-2】实验中学上午时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（

）A． B． C． D．【变式5-3】钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了度．考点五：根据角与角之间的关系判断结论【典例6】如图，两个直角和有公共顶点O，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤的平分线与的平分线是同一条射线．其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式6-1】已知，，，则相等的两个角是（

）A． B． C． D．无法确定【变式6-2】在下列说法中，正确的是（

）A．比较角的大小就是比较角的度数大小B．从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线C．若，则OC是∠AOB的平分线D．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大【变式6-3】如图，为内一条射线，下列条件中能确定平分的是（

）

A． B．C． D．考点六：根据角与角之间的关系求角度【典例7】如图，已知是的角平分线，是的角平分线．（1）若，，求的度数；（2）若，且，求的度数．【变式7-1】已知：如图，在内部有（）．（1）如图1，求的度数；（2）如图2，平分，平分，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点以每秒的速度顺时针旋转秒时，使，求的值．【变式7-2】如图，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE.（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度数；（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，求∠AOE的度数.【变式7-3】如图，在直线上，射线平分，射线在内．

(1)若，求证：射线是的平分线；(2)若，，求的度数．考点七：线段中的分类讨论思想问题【典例8】点C是线段的中点，点D是线段上一点，，若线段，则．【变式8-1】点A、B、C在直线l上，线段，线段，则线段的长是（）A．10 B．2 C．2或5 D．10或2【变式8-2】已知线段，点D是线段的中点，直线上有一点C，且，则线段．考点八：角度中的分类讨论思想问题【典例9】将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分．(1)如图，若，求的度数；(2)若，求的度数；(3)将直角三角板绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中，当时，求的度数．【变式9-1】刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧，已知，射线，分别是和的角平分线．(1)如图，若射线在的内部，且，求的度数；(2)如图，若射线在的内部绕点旋转，则的度数；(3)若射线在的外部绕点旋转旋转中，均指小于的角，其余条件不变，请借助图探究的大小．过关检测一、选择题1．如图，是一个圆柱体模型，若从这个圆柱的左边向右看，则得到的平面图形是（）A． B． C． D．2．如果一个角的补角是，那么这个角的余角是（

）A． B． C． D．3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点A、B分别落在点A′B′处，若，则的度数是（）A． B． C． D．4．如图所示，O是直线AB上的一点，∠AOC=∠FOE=90°，则图中∠EOC与∠BOF的关系是（）A．相等 B．互余 C．互补 D．互为邻补角5．下列图形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一个角的是（

）A．B．C． D．6．如图，已知是的平分线，则下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（

）A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④7．如图，通常我们描述点B和点C的方向,分别为(

)A．南偏东25°,北偏西60° B．东偏南65°,西偏北60°C．北偏东155°,南偏西120° D．西偏南115°,东偏北150°8．如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（

）A． B． C． D．9．在直线上取三点、、，使线段，，则线段的长为（

）A． B． C．或 D．或10．一副三角尺按如