小学数学教学研究自考复习资料

小学数学教学研究自考复习资料（精品合集）

第一章小学数学课程目标及内容

一、数学是一种研究客观世界中数量关系和空间形式的一门科

学。

数学本质：数学是一种研究思想事物的科学一一恩格斯。

二、数学的作用：一种科学只有在成功运用数学时，才算达到

了真正完美的地步。数学是一切科学技术的基础，数学的内容、思

想、方法和语言已广泛渗入自然和社会科学中，数学作为一种文

化，已成人们的共识。

三、我国数学课程及演变过程：

（1）萌芽时期（公元前600年前）

（2）初等数学时期（公元前600年一一17世纪中叶）

（3）变量数学时期（17世纪中叶一一19世纪20年代）

（4）近代数学时期（19世纪20年代一一第二次世界大战）

（5）现代数学时期（第二次世界大战以来）

作为一门学科，在我国却迟到隋唐时期，才在国子监设算学

馆。置博士、助教，选定和注释从汉朝以来的十部算经，

以《算经十书》著。《算经十书》是我国古代数学发展和成就的

代表文献，构成了我国古代传统数学体系。①《周髀算经》勾股定

理；②《九章算术》方程章中第13题是著名“五家共井"最早的不定

方程问题；③《孙子算经》“知客几何""鸡兔同笼"尤其是"物不知数〃

是后来驰名于世的“大衍求一术〃的起源，是中国古代数学最具独创

精神的成就之一。④《张丘建算经》

提出了有趣的不定方程和解法"百鸡问题〃；⑤《缉古算经》三

次方程的代数解法；《数学记遗》"九宫图"。⑥三国时期刘徽用割

圆术求出了圆周率值为3.14,之后法国数学家伟达用解析方法求出冗

值。⑦

世界上第一本讨论排列组合的书是《周易》

算学作为小学课程则从近代光绪二十八年（1902年）才正式开

始。

1892年编《笔算数学》，则是我国学校里的第一部算学教科书。

1903年春编制《最新教科书》我国自己编写的第一本正式的小

学算学课本问世。

1978年2月《全日制十年制小学数学教学大纲（试行草案）》

明确将小学算术改为统一的数学。

1992年三个面向“面向现代化"、"面向世界"、"面向未来"。

四、国外数学课程变革的简况及趋势。

20世纪初，德国数学家克莱因发起并领导了数学教育近代化运

动。

现代数学运动发展是不平衡的，分三种类型：1.革新型如英

美；2.进化型如苏联；3.中间型如日本。

相似之处：

1.精简传统的算术内容：

2.增减或渗透集合、函数、统计等现代数学内容；

3.用结构思想处理传统内容。

"回归基础〃改为“走向基础〃。

大众数学:目标让全体学生学好数学、学习更多的数学而且是需

要的数学。

五、小学数学课程目标与分析（参考课标）

小学数学课程目标是小学教育方向和性质的表征，也是小学数

学教育活动，包括组织教学内容、确定教学要求、选择教学方法、

进行质量评估、决定考试命题等进行的依据。

1、小学数学课程目标制定的依据

2、小学数学课程目标

3、小学数学课程内容

六、学科数学与科学数学

课程内容的载体是教材一一教科书。

学科数学的内容是依赖于科学数学二建立和发展的。

1.作为科学的数学，它不考虑人们是否能够理解和接受，只要

能完备而又精确地阐明某种数学理论，更深刻地反应世界的空间形

式和数量关系就行。而作为学科的数学必须遵循学生的认知规律和

心理特点，往往日常生活、生产中的具体事例出发，对现象进行描

述，然而转向定义、定律、性质等的揭露。

2.作为科学数学，对所有的定理、法则等都必须进行严格的论

证和推导，而作为学科的数学限于学生的接收水平，往往通过列举

一些事例用不完全归纳法得出结论。

3.作为科学的数学，完全按照数学伦理的逻辑系统进行安排，

可以难易起伏不均；作为学科数学在不影响科学性的前提下，兼顾

小学生的认知规律。对某些内容可以适当调整。

由此可见，科学数学是作为人类认识的结果而呈现的，已完全

揭示数量关系和空间形式为目的；而学科数学可看作为认识对象而

存在。对作为小学学科的数学而言，除了正确反映科学数学的知识

外，还必须充分遵循小学生的认知规律，有利于使他们学懂、学

好、学活。有利于发展他们的智能，有利于进行思想品德教育。

七、小学数学课程内容编排原则：

1.以数与计算为主线，以数与形式为重点，把各部分内容按其

彼此的内在联系结合起来。

2.由浅入深，由易到难，循序渐进，螺旋上升。

3.突出重点，分散难点。

4.把数学知识和数学应用结合起来。

5.注重趣味性。

数学学科的特点：1.高度的抽象性2.严密的逻辑性3.应用的广泛

性。

第二章小学数学解题的理论依据

一、数学问题及其组成

1、1、数学问题虽然名称不同，叙述内容不同，但它们却有一

个共同的特点，即是在一定的知识背景中提出的。知识背景主要包

括已有的概念、理论和方法。因此，我们认为依照数学问题的解答

与知识背景的关系，可以把数学问题大致分为两类：常规问题和非

常规问题。

2、依照数学问题提法的意义是否明确，数学问题的条件是否充

分，我们还可以把数学问题划分为：可能问题和不可能问题。

3、数学问题的组成成分是条件、目标和运算。（三大组成部分

也叫构成要素）

二、智力结构与活动方式

1、智力两个方面：一是天赋的潜力、特性和发展的容量；即健

全的神经代谢的总和。二是发展得以进行下去的大脑功能，即能够

决定操作和理解的功能。

皮亚杰关于智力阶段的划分

感知运动阶段（0——2岁）

前运算阶段（2——7岁）

具体运算阶段（7——11岁）

形式运算阶段（11岁以上）

同化和顺应是相对立的两种力量。同化是一个人按照过去的经

验、图示来活动；顺应则是根据面临的新信息所作的改变和思考。

2、智力活动方式：

（1）根据基本的心理过程，分为知觉方式、记忆方式和思维方

式。

（2）根据完成的主要功能，分为定向方式、执行和控制方式。

（3）根据标准和规范化程度，分为计算性方式、算法指令性方

式、启发性方式。

（4）根据动作的共同性，分为一般方式和具体方式。

另外，根据智力活动在人类不同认知领域里的运用程度，又可

以分为一般方式（如分析、综合、抽象、概括、比较等）和限于某一

认识领域的特殊方式。

二、数学思维品质及其发展水平

1、1、思维：人脑对客观事物的本质特征、相互关系及其内在

规律性的概括的、间接的反映，是人们对外接输入的信息的感知的

基础上经过分析、综合、比较、抽象、概括等智力活动方式，对其

加工、推理和获得理性认识的心理过程。

2、思维的本质：思维是间接认识事物，是通过感知与被直接认

识的事物有着合乎规律的联系的另一个对象而实现的。

3、思维的类型：1.逻辑性思维2.非逻辑性思维。

形式逻辑思维：是以概念、判断、推理等思维方式，同一律，

矛盾律、排中律等思维规律，归纳、演绎、类比、科学假设等思维

方法为其研究对象。

辩证逻辑思维：研究的是思维形式如何正确反映客观事物的运

动变化、事物的内部矛盾、事物的有机联系和转化等问题，其主要

特点是用有限量来描述和刻画。

4、数学思维：又叫数学型思维，就是以数和形为思维的对象。

以数学的语言和符号为思维的载体，以认识和发现数学规律为目的

的一种思维。

数学思维品质：灵活性、积极性、目的性、记忆性、广阔性、

深刻性、批判性、准确性、简捷性、独创性和证明性。

数学思维水平的评定：第一级水平一一第五级水平

前两级水平是小学年级的学生所特有的，第三级水平是初中年

级学生所特有的；第四级水平是高中年级学生所特有的，至于第五

级水平无论是几何方面还是代数方面的，均属于数学思维的现代水

平。一般的中学阶段的学生是难以达到的。

四、影响小学数学解题的心理因素：（两大）

（一）问题解决的特征：1.问题情境因素2.解题者的个体特征（解

题者知识经验基础和个性品质）3.解题中的认知策略（解题者用来调

节注意、回忆和思维的技能）

（二）迁移与思维定势：

迁移是指一种知识、技能的学习和应用对另一种知识、技能的

学习和应用所施加的影响。

思维定势：指的是一种思维的定向预备状态，在思维不受到新

干扰的情况下，人们按照既定的方向或者方法去思考。

第三章小学数学解题的认知过程

一、小学数学学习及认知

学习：从广义上理解，学习是有机体凭借经验的获得而产生的

比较持久的行为（思维、想象，记忆、感知等内部心理活动和语言、

表情、动作等外部活动）变化。

从狭义上理解，学习是指学生在老师指导下，有目的、有计

划、有组织、有步骤地进行的获得知识、形成技能、培养能力、发

展个性的过程。

桑代克一一刺激反应理论，学习是刺激和反应的联结。

苛勒一一完形理论，学习是零碎和知觉信息的再组织过程。

托尔曼一一认知理论，学习是对环境中的刺激，依其关系形成

一种新的认知结构的过程，是意义的获得和实现期望的过程等等。

小学数学学习：是在教师指导下获得数学知识、数学技能和数

学能力，发展个性数学品质的过程。由于数学自身具有逻辑的严谨

性、高度的抽象性及应用的广泛性，所以，小学数学学习的核心内

容和最终母的是解决小学数学问题。

小学数学解题：作为小学生的一种特殊心理活动，综合起来

说，它属于一种认知学习。小学数学解题是一种逐渐深入的，具体

某种程度创新性和思维对策的心理活动（认知）过程。不求甚解、生

搬硬套、机械呆板等等，都不是小学数学解题的真实含义。

二、认知结构：是指个体在感知及理解客观现实的基础上，在

头脑里形成的一种心理结构。简单点说认知结构就是在个体头脑里

的知识结构。

小学数学解题作为小学数学学习的主要内容和方式，其意义也

就在于不断积极主动地建立、扩大和重新组织数学认知结构，并伴

随着同化和顺应等特征。

小学数学解题并不是数学知识的简单应用，而是以原有数学认

知结构为依据，对新知识进行加工。

三、技能：是顺利完成某种任务的一种心智或动作的活动方

式，她需要通过练习才能形成。

动作：泛指在完成一项具体任务中所涉及的一系列操作，以完

善、合理方式组织起来并顺利进行时，就成为动作技能。心智系指

借助于内部语言在头脑中进行的认识活动。它包括感知、记忆、想

象和思维，但以抽象思维为它的主要成分。

技能和能力：是不同的概念，二者既有联系，又有区别。技能

是指完成一定任务的活动方式，能力则是顺利完成任务的个性心理

特征。技能的形成以一定的能力为前提，反过来又对能力的发展起

重要的促进作用。

数学动作技能：指运用工具绘图的技能，测量技能、使用计算

工具的技能等。

数学心智技能：指数的计算技能、式的恒等变形技能、解方

程、解不等式的技能，推理论证技能、运用数学方法的技能等。

这两种数学技能既有联系又有区别。一方面数学心智技能的形

成，与数学动作技能有关；另一方面，数学动作技能又受数学心智

技能控制。

数学认知技能：的形成，也有一个过程，就小学数学解题而

言，可以概括成认知阶段、联结形成阶段和自动阶段。

小学数学解题中的数学认知技能尽管有上述的几个阶段，但最

终得以形成，都要经历一个从"会〃到"熟”的过程，其间必须不断通

过有计划、有目的的练习，才能完成这一转变。

发展：作为一般意义上的理解是指人的各种特性在结构上和机

能上的变化。发展有生理发展和心理发展之分。

四、认知发展：是指与大脑生长和知识技能有关的发展方面。

涉及人在知觉、记忆、思维、语言、智力等方面种种功能的发展变

化。

小学数学认知发展可以理解为小学数学认知结构和数学认知技

能的发展，是通过小学数学活动过程来体现的。认知发展一般包含

这几个阶段：1.输入阶段2.同化和顺应阶段3.应用阶段。以上三个阶

段是密切联系的。

第四章小学数学解题的实质和结构

一、小学数学解题的含义

小学数学解题即小学数学领域中的问题解决，不但要关心问题

的结果，而且要关心求得结果的过程，也就是问题解决的整个思考

活动。所以小学数学解题指的是按照一定的思维对策进行的一个思

维过程，一步一步地靠近目标，最终达到目标。其含义就是思考的

活动及探索的过程。

19世纪中叶，德国数学家格拉斯曼才成功地建立了一个算术基

本公理体系，解决和统一礼物在此之前人们一直混淆的上述问题。

小学数学解题也就意味着找出这样一个数学的一般原理（定义、

公理、法则、定律、公式）的序列，当应用他们到问题的条件或者条

件的推论（解法的中间结果）时，就能得到问题所要求的答案。

二、小学数学解题的结构

奥苏伯尔解题结构模式：1.呈现问题的情境2.明确问题的目标与

已知条件3.填补空隙的过程4.解答后的检验。

小学数学解题的几个阶段：1.分析题意2.寻找解法3.实行解法4.

回顾解法

三、小学数学解题的趋向

教育心理学认为根据解题者寻求解答的趋向可以把解题分为两

种主要方式，一种是尝试错误式，另一种是顿悟式。

尝试错误式是由进行无定向的尝试，重复无效动作，纠正暂时

性尝试错误。直至出现解决问题得以成功的一系列反应所组成的行

动。

顿悟式解决问题尝试错误式不同，它具有一定的"心向”，努力

发现手段与目标之间的有意义的联系，而这种联系正是问题赖以解

决的基础。

在小学数学解题中，尝试错误式和顿悟式实际上司不能绝对化

的，尝试错误式解决可能是隐含在内而不表露于外的。所以看不出

是尝试错误式，未必就是顿悟式。顿悟式解题也不一定是彻底的、

完善的和即时的，尽管看上去解答是突然出现的，事实上却往往经

历着一定的甚至是相当曲折的过程。

四、小学数学解题的规则

常规问题解题规则：1.公式规则2.恒等式规则3.定理规则4.定义

规则

非常规问题就是没有一般解题规则的数学问题，它的解题步骤

序列，可以利用技巧将其转化为等价的常规问题，或分解为若干个

小常规问题，或通过分析、综合等方法来寻求。

算术基本公式体系是小学数学中的定义、公理、定理、法则等

之间的逻辑关系。

小学数学解题是以思考为内涵，以问题目标为定向的心理活动

过程。

第五章小学数学解题的思想方法

化归类比归纳

美籍匈牙利数学家波利亚在《怎样解题》《数学与合情推理》一一

关于数学解题的核心观点就是发现与再创造。

苏联娅诺夫斯卡娅《解题意味着什么》一一解题也就意味着把所

要解的问题转化到已经解过的问题。

法国笛卡尔我所解决的每一个问题都将成为范例，以用于解决

其他问题。

一、化归法的一般模式为：

化归法的特点：在于它具有较强的目的性、方向性和概括性。

基本原则：是由未知到已知，由难到易、由繁到简；

它的方向就是如何实现由所要解决的问题向已解决的或较容易

解决的问题的转化，这里蕴含着发现、发明及创造性的活动。

从广义上的理解化归是一种思想，如果从狭义上来看，化归乃

是重要的常用的和具体的解决方法之一，而且又有分割组合、映射

反演等分别。

分割组合的一般模式:

分割组合：就是把所要求的问题，按照可能和需要，分割成若

干部分，使他们更容易于求解，再将这些解答有机地组合起来，过

渡到问题的最终结论。

映射反演就是映射和反演两种方法并用。

映射：就是在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立的

某种对应关系。

反演：就是从已知运算往回推（每一步运算都以其逆运算来代

替，相对映射而言，反演就是逆映射。）

在数学解题中，这种映射反演具体表现为坐标法、复数定向

法、换元法等。

万能发现法：（笛卡尔）

这种模式在某些情况下是不适用的。这种方法包含了"数学

化〃、“代数化〃、"计算化”等合理的化归思想方法。

二、类比法：是根据两个或两类不同的对象在某些方面（如特

征、属性、关系等）的类同之处，猜测着两个对象在其它方面也可能

有类同之处，并作出某种判断的推理方法。

基本模式:

类比的结论属于或然性推论，因为从前提到结论并不具备逻辑

必然性。也就是说，类比也有一定的局限性，其结论常常是不可靠

地的，甚至是完全错误的。

三、归纳法：是指通过对特殊情形的分析引出普遍的结论的推

理方法。德国大数学家高斯就曾说过，他的许多定理靠的是归纳法

发明的，证明只是一个补行的手续。归纳常常是建立在有目的、有

计划的观察和试验基础上的。

根据对象是否完备，归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法

两种。

完全归纳法：是根据某类事物中每一个对象的情况或每一个子

类的情况，而作出该类事物的一般性结论的推理。

上面两种安全归纳推理，前者根据每一个情况而得出一般性结

论，后者根据每一类特殊（子类）情况而得出一般性结论。它们子本

质上是相互联系的，前者是后者的特例，后者死前者的推广。所

以，通常也可以把后者作为完全归纳推理的一般形式。

完全归纳法实质上也是一种演绎推理。

不完全归纳法：是根据对某类事物中的一部分对象的情况，而

作出关于该事物的一般性结论的推理。不完全归纳法的推理形式：

和归纳法不同，数学归纳法属于论证的范畴，而不是猜测的方

法。但是在归纳法与数学归纳法之间也存在着相互依赖、相互渗透

的辩证关系。换言之，数学归纳法所证明的往往是由归纳法所得出

的猜测，而归纳法所得出的猜测有些可用数学归纳法来证明。而

且，更为重要的是，归纳的过程往往为应用数学归纳法去证明相应

的结论打下了基础；反之证明的过程则加深了对原来猜测的理解。

四创造性及其体现

创造：一般是指创造者的主观意识活动，通过科学实践而对自

然界的某一方面或某些方面的合乎规律的反映，它是一种现象。

创造的三大基本特征：1.实践性2.创造者的创造能力充分发挥3.

创新性，即开创性和新颖性。

创造性作为一个认知范畴的概念，系指一种能力或特性，按教

育心理学的观点，它和人的智力、智慧品质以及人格等有着密切的

关系。

创造和创造性不能等同，不可相互替代，但两者共处一体。因

为如果强调过程，着眼于心理机制的话，那么创造即是一种特殊的

解决问题的活动，是解决问题的最高表现。而任何问题的解决都需

要一定的创造性作为基础。

创造性既然贯穿在始于问题提出，终于问题解决这一创造过程

中，就起内涵来说，它也具有一定的阶段性。

想象、灵感和直觉，通常被人们称做创造性的精华。（核心）

想象：是在头脑中改造记忆中的表象而创造新形象的过程。它

既是一种具有极大的自由度的思维活动形式，同时又是可以自觉地

引导进行的一种积极主动的心理形象。

灵感：是指人们在创造过程中，由于某种诱因的作用而突发的

一种非逻辑的思维活动。

灵感的特点：灵感引发的随机性、灵感显现的暂时性、灵感显

现过程中的情感性。

灵感的产生不是凭空生产的，不是考等待就能来临的。它的诱

发有着漫长的有意识的活动，有着相当的辛勤努力和实践为基础。

如爱迪生说：天才乃是99%的勤奋加上1%的灵感。

小学数学解题中，我们也应该通过有意识的思考，去诱发灵

感。

直觉简单得说就是直接去觉察。

直觉的三个明显的特征：

1.它对问题的内在规律（即客观事物的本质联系）的深刻理解。

2.这种理解来自经验的积累。

3.经验积累到一定的程度突然理性与感性产生共鸣时，表现为

豁然贯通的一种顿悟式的理解。

直觉：是从感性经验达到理性飞跃的人的认识过程的一种特殊

表现形式，是逻辑顺序的高度简缩。

总之想象、灵感、直觉的出现，不仅意味着常规思维中的"跳

跃”，逻辑顺序的"中断"，及由此而得到的创造性。而且三者常常又

是紧密联系和相互作用的，或是想象诱发了灵感和直觉，或是灵感

和直觉唤起了活跃的想象。

第六章小学数学解题能力分析

一、小学数学解题能力的成分

从广义上讲，数学能力是顺利完成数学活动所必备的，且直接

影响其活动效率的一种心理特征，它是在数学活动过程中形成和发

展起来的，并在这类活动中主要变现出来的比较稳定的心理特征。

从狭义上讲，数学能力即理解为解决数学问题的个性特征。

运算能力：这些运算能力最初表现为对其知识的理解和技能的

形成上，进而体现在根据具体问题的特点，恰当地合理运用运算，

与其他各种运算的灵活运用和巧妙的结合上。这也就表现出一种解

题的能力，即运算能力。

空间想象能力：在空间形式的问题中，所要研究的是图形的形

状，图形的大小，图形与图形的位置的关系等。在研究过程中，除

直接给出一些基本图形的性质外，总是要根据所给具体图形的特点

和解决它的需要，把它分解和重新组合，即在头脑中进行感知和操

作，出现或构造出一些异于所给图形的新图形，并找到新的关系。

这又表现出一种解题的能力即空间想象能力。

逻辑思维能力：数学问题的解决是解题者从感知获得的感性材

料出发，通过分析和综合、抽象和概括、判断和推理等逻辑思维方

法，去粗取精、去伪取真，由此及彼、由表及里的改造，才上升到

理性认识，从而领会和掌握数学的规律和本质。因此，这仍然表现

出一种解题的能力，逻辑思维能力这三者之间的关系既相互区别，

又相互联系和制约的，所以习惯上把他们概括成数学解题能力的主

要成分。

瑞典心理学家魏德林为代表的欧美心理学家认为组成数学解题

能力的因素有：

1.一般因素G（主要指智力因素）

2.数因素N（对数概念的理解和应用）

3.空间因素S（对空间形式的理解、想象和抽象）

4.语言因素V（用语言表达数学关系）

5.推理因素R（运用逻辑思维、形象思维和直觉思维）

日本的大桥正夫等学者，认为数学解题能力包括以下三个方

面:

A、数理性的领会能力：具体要求是使之抽象化，使之数量化和

图形化，使之记号化或形式化。

B、概括能力：具体要求是使之扩展，集中归纳，改变观点和改

变条件。

C、思维能力：具体要求是有计划按步骤地进行思考，进行类比

或对比，有根据地进行证明。

苏联心理学家鲁捷茨基：1.使数学材料形式化能力2.概括数学材

料的能力3.用数学和其他符号进行运算能力4.连续而有节奏的逻辑

推理能力5.缩短推理过程的能力6.逆转心理过程的能力7.灵活的思维

能力8.数学记忆能力9.形成空间概念的能力10.借助形象化（直观）

努力。

我们认为小学数学解题能力是取决于数学学科和数学活动的个

人特性，是小学生顺利完成解题这种特殊的数学活动时所表现出来

的心理品质的综合。概括数学材料、逆转心理过程、灵活性、借助

形象化等即是这种心理品质综合体中的具体成分。

二、概括数学材料能力主要表现：1.在从所给数学材料的形成

和结构中，能迅速抓住事物的"数〃和"形"，找出或发现具有数学意

义的关系与特征2.正确辨认出或分离出某些对解决问题有效的成分

与有数学意义的结构。

概括数学材料，还在于感知题目的形式结构。所谓题目的形式

结构是指构成题目实质的相互关联的量的综合体。

概括数学材料的能力还充分体现在这样两个方面：一是从特殊

的和具体的事物中，概括出某些一般的熟识的教学模式；二是从孤

立的和特殊的事物中，概括出未知的数学模式。综合起来也就是从

具体内容摆脱出来，并且在各种对象、关系和运算的结构中，概括

出相似的、一般的和本质的东西。

克鲁捷茨基认为对数学材料的概括能力，还应表现在问题的类

型上即从不同的题目中发现一般类型，能从较简单的题目过渡到相

同类型较复杂的题目，以及怎样吧一种类型从表面上相似的其他类

型的题目中区分出来。这样有助于在解决问题时，解题者也就能够

迅速概括出所要解决的问题，发现和过去所熟悉的问题的相似之

处，从而将解法平移过来。

三、逆转心理的能力：指的是重建一种心理过程的方向的能

力，即不仅取向而且取逆向；不仅从正面而且从反面；不仅从因到

果，而且执果索因地进行分析，是问题得以解决。

小学数学解题过程，逆转心理过程还具体体现在正逆双方面的

理解、思考和应用上，这样不仅有利于深入领会概念、公式、法

则，而且能达到解题迅速，简捷的目的。

四、灵活性又称变通性：爱因斯坦看成是创造你的典型特征。

在数学解题过程中，灵活性指的是解题思路的灵活转换盒迅速重

组。

从认知心理学的角度看，所谓的灵活性系指解题途径的多样

化，判断其强弱的标准一般是指解题者从一种心理运算到另一种心

理运算的轻快平衡和敏捷程度。

灵活性和深刻性。思维深刻的小学生容易摆脱通常方法的羁

绊，灵活自如地考虑问题；而灵活性很强的小学生，也常常能发现

一些出乎意料的解题方法，更深刻地认识问题。

五、在小学数学解题中，小学生应努力完善语言一一+逻辑和视

觉一一形象这两个方面的相互转换，即在一定程度上依靠视觉意

象，把数学关系视觉化，对比较抽象的数学系统也作出一种形象的

解释，这就是所谓的"借助形象化”的全部内涵。

借助于想象化的根本目的在于从直观上来理解较为抽象的数学

关系，形成再现性想象，从而促进创造性的活动。从其模式（视觉的

形象）来看，它和语言一一逻辑模式有着不同的特征，但在具体解题

过程中，它们是相互联系和作用的，因此，单纯地强调解题中的视

觉一一形象化作用则也是片面的。

借助形象化所得到的数学关系、数学规律、数学形式结构、数

学知识系统和推证模式等，比起其他方式来，更能保持记忆。

数学气质有如下的三种类型：

分析型：倾向于用语言一一逻辑的词语去思考

几何型：习惯于用视觉一一形象的词语去思考

混合型：综合上述两类特征。

数学能力是解决数学问题的一种个体心理特征。

第七章小学数学研究专题导引

一、数学学科品格：

1.积极的思维态度：这种不断的抽象化，一般化和统一化为数

学思维的不断升华，提供必要的以及可能的条件，促进数学的发

展。

2.科学的思维方式：（1）是数学通过秩序、和谐、对称、整齐、

简约等形式来表现与之联系的思维情趣，并在此基础上，形成学习

或研究科学以及从事创造性的劳动具体方法。（2）"技术化〃向"科学

化"的过渡。"技术化”是指只注意具体实用的技巧，而没有形成某种

思想，停留在经验和技术层面。而科学化则表现为注重定量分析，

注重形式逻辑，注重抽象思维。

3.强烈的思维内驱动：从数学发展这一角度来看，思维内驱动

主要是由数学内部发展和外部需要相适应而产生的。从数学学习这

一角度来看，思维内驱动主要是来源于数学材料与人的认识的矛盾

冲突。

4.密集的脑力当量。某种学科知识总量为T,其脑力总付出为

R,这两者之反比，即为单位知识所含有的脑力付出，通称脑力当量

C用公式表示，即C=R/T。

二、数学活动教学观：由于数学本身是一种演绎法与结构法相

互矛盾又相互作用的活动过程，所以它的教学就必须还其本来面

目，不仅注重演绎法，而且还设计出一种符合学生的认识规律和数

学发展规律的教学过程，这就是数学活动教学观。

数学活动教学可分为这样三个阶段：

1.具体材料的数学化，即从实际生活中提取数学模型

2.数学材料的逻辑组织化，即通过辨析、归纳、直觉、类比、

想象、寻找方向和线索，用逻辑方法吧数学材料组织到逻辑材料体

系中去。

3.数学结论的应用化。即把理解和掌握结论转变为更加具体的

思维，并能同所面临的实际情境相结合，从而创造性地应用结论。

上述阶段其实就是思维活动由上升性一一探索性一一再上升性这

样一个循环发展过程。

数学活动教学是提高人的素质的一个有效途径。

它能最大限度地调动学生的积极性，变被动接收知识为主动地

寻求知识，变脱离学生的认识实际为符合学生的认识规律，通过创

设一些引人入胜的问题情境，激发学生的内在的学习动机。

数学活动教学提供了个体探求和获得知识的过程，使之锻炼了

意志，增强了思维能力，领会了数学的基本思想和方法。学生掌握

的结论不仅不少，而且得到的思想方法更具有广泛的迁移意义，久

而久之，可以使学生从爱学到学会，再到会学。

数学活动教学，因为同现实联系起来，所以既培养了辩证唯物

主义的科学世界观，又发展了人头脑中的数学现实认识。数学来源

于现实，寓于现实，用于现实。

小学数学活动教学

现代心理学、教育心理学、数学教育学的相关研究成果，构成

了数学活动及其教学的理论基础。首先，从智力发展理论中的划分

来看，小学生处于具体运算和形成运算这两个阶段，已经能从特殊

到特殊这种传递性的推理。逐渐过渡到特殊到一般或一般到特殊这

两种不完全归纳和演绎推理：能从具体直观入手，通过语言复述和

部分描述，逐渐过渡到经验型的抽象。所以小学数学的教学方法，

对此就应该具有依赖性和适应性，就不能是单纯的结论教学，而应

该强调多种多样的活动教学。否则就不能激起学生的共鸣，达不到

应有的效果。

其次，概念学习理论认为，学习从广义上讲就是一种概念学

习。概念的形成过程，也就是活动的过程，如果注意感性的，具体

的描述方法，就一定能够使学生正确理解和掌握概念。所以，对小

学生而言，他们学习数学就应该是处理概念一一数和量的分类，及

他们之间的关系，记忆概念一一数和量的表达方式；应用概念一一数

和量的相互作用。完成这些目标的形成主要是：活动、游戏、寻找

共性、表达和符号化。

再次，认识发现理论强调学习不单纯简单的刺激反应，而且以

人的意识为中介的认知过程，所以，学习者是认识的主体。

小学教学活动，就是以学生为主体，让他们自觉地、主动地探

索，掌握认识和解决问题的方法，与步骤，研究客观事物的属性，

发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成自己

的概念和理论。

小学数学活动教学符合小学生的认识规律，体现了辩证逻辑和

形式逻辑的矛盾统一，突出了因材施教与面向全体的和谐统一。但

是，也必须注意，小学数学活动教学必须有鲜明的目标性，必须选

择最合适学生年龄特征的材料，必须设计合理、经济、有效的活动

步骤，也不能照搬学生中心论，更不能吴管理的"放羊式"。

某知识点A推导出其他知识点的数目，习惯上称之为知识点A

的"基本度〃，用J(A)表示。

三、小学数学内容的趣味性。旨在以小学数学系列知识为基

础，通过数学游戏，数学图形、数学故事，数学歌谣，以及大量诱

人思考的趣题，来激发小学生的学习兴趣，培养他们灵活的思路和

分析的技巧，启迪他们的智慧，培养他们的创造性。

趣味化：一方面体现在教材的编辑中；另一方面则表现为趣味

数学活动课的内容选择上。

注重以下几点：

1.趣味化一一小学数学趣味化方向的灵魂

2.合理性一一小学数学趣味化方向的基础

3.思想性一一小学数学趣味化方向的保证

4.创造性一一小学数学趣味化方向的目标

小学趣味活动的内容还应有针对性和连贯性等诸多方面。

四、研究性学习的特点：1.开放性2.问题性3.社会性4.实践性

研究性学习：就是要求学生激励科学研究的过程，获得亲身体

验；了解科学研究的方法，提高解决问题的能力；增强探究和创新

的意识，培养科学态度和精神；学习与人沟通和合作，培养社会责

任感。

小学数学研究性学习的类型

1.知识探究型有效地解决了"是什么"的问题

2.准学术研究有效地解决了"为什么"的问题

3.创新研究型（最高层次）有效地解决了"怎样做的更好”的问题

小学数学研究性学习应该由浅入深和循序渐进，既不能墨守成

规，也不能急功近利。因为研究性学习的主要目的不是要学生取得

多大的研究成果，而是希望小学生通过研究性学习的这一手段，受

科学思想和科学精神的熏陶，学会一点科学方法，体验科学研究的

过程。

五、教育科研是一种运用科学的方法和手段，有目的、有计划

地探索、发现、掌握教育教学规律的认知活动，是一个立足于已知

去探求未知的过程。

为了能正确地开展教育科研活动，教师必须着重学习科学的研

究方法、教育统计方法、教育测量、教育评价等有关进行教育科研

的基础知识。具备有关科研的相应技能，如教育科学研究的选题，

如何确定研究和论证的方法和手段，研究成果的定性与定量分析

等。

小学数学论文的撰写：

小学数学科研工作要经过确定课题、收集资料、制定方案、实

施计划、分析效果、撰写论文等步骤。

小学数学论文的组成：标题、摘要、前言、正文、结论、参考

文献等部分组成、

标题：力求简短、明确、质朴、醒目

摘要：简明扼要、引人入胜、内容全面、重点突出、且能独立

使用。

前言：也称引言或者序言。一般包括本课题研究背景或起点，

需要研究的问题研究的方法手段研究的意义或价值、

正文：论文的主体，作为表达作者个人研究成果的部分，所占

篇幅较大，有时还必须辅以必要的小标题，应力求概念清晰，论点

明确，论证严密，论据充分。

结论：是对正文中所分析论证的问题加以综合、概括出基本

点。这是课题解决的答案。

参考文献：反映左下颌严肃的科学态度和研究工作的依据，其

中包括撰写论文所参考的书籍。

小学数学论文撰写的过程：

1.选题、选材2.拟纲、执笔3.修改、定稿

《小学数学专题研究》论述题

1、数学学科的特点有哪些？

答：数学学科的特点：1.高度的抽象性。首先数学的抽象撇开

对象的具体内容，仅仅保留空间形式或数量关系，这些形式与关

系，已是一种形式化得思想材料，或者就像现代数学家所说的一种

抽象结构。其次，数学的抽象是逐步发展的，超过了自然科学中的

一般抽象，从直接概括现实对象属性的抽象到空间、一般系统、算

法等高水平的抽象，都是从简单到复杂，从具体到抽象这样不断深

化的过。2.严密的逻辑性.由于数学的高度抽象性，数学家证明定理只

能用推理呵和计算，而且在推理论证的过程中，必须严格遵守逻辑规则

才能保证由已知推出的结论具有正确性.悖论：英国数学家罗素提出

一个悖论，指出作为数学基础的集合论本身就存在着矛盾。"理发

师"悖论。3.应用的广泛性。数学进行了科学的抽象，才更深刻正确完

整的反应现实世界.在21世纪的信息社会中，各门学科数学化已成为

科学研究和发展的主要特点之一,数学已成了人们认识世界、改造世

界所必不可少的一种重要工具.

2、怎样理解现行小学数学课程目标？

答：1.理解和掌握最基础的数学知识。小学数学基础知识的范

围包括:算术知识、代数初步知识、几何初步知识、计量初步知识、

统计初步知识。小学数学基础知识的内容包括：概念、性质、法

则、公式、方法。2、培养初步的数学能力。除培养学生的观察力、

记忆力、思考力、想象力、实际操作等一般能力外，还要培养①计

算能力：小学阶段计算能力的具体内涵就是:正确（对）迅速（快）

合理灵活（巧）②初步的数学思维能力：逻辑思维能力是一种确定

的、前后一贯的（不相矛盾的）、有条有理的（循序渐进）、有根有

据的（理由充分）的思维。逻辑思维的过程中主要采用比较、分析、

综合、抽象、概括等思维方法。其中分析和综合是最基本的方法，

判断和推理是最基本的形式。比较：是借以认出对象和现象异同的

一种逻辑方法，它是认识的基础。抽象概括：抽象就是抽取事物的

本质属性，使它与其他属性分开；概括就是将同类事物的相同属性

结合起来。分析综合：分析是把一个对象和现象分散成若干部分和

若干属性的思维方法（执果索因），综合是把一个对象或现象的各个

部分结合为一个整体的思维方法（由因导果）。判断推理：判断（数

学上叫命题）是对某个事物的性质、现象作出肯定或否定的论断，数

学中的法则、定理、结论、性质都是判断。判断可分为主概念（反映

研究对象）、谓概念（反映对象的属性和属性间的关系）和联系词（表

示主概念和谓概念之间的关系）三部分。由一个或几个已知的判断推

出一个新的判断的思维形式叫推理。已知判断叫前提，推出的新判

断叫结论。推理有归纳（由个别到一般的推理），演绎（由一般到个

别的推理），类比（由个别到个别的推理）。③初步的空间观念.指

物体的形状、大小、物体与物体之间的方向、距离及其位置关系保

留在人脑中的表象。④解决实际问题的能力。初步数学思维能力培

养（是核心）解决实际问题的能力是（最终目的）。3.培养良好的思

想品德。三者关系：在整个教学过程中三者是紧密联系、相辅相

成、统一实现的。其中数学知识的掌握是完成其他两项的基础和前

提，而能力反过来又决定知识掌握的程度，同样良好的思想品德和

学习习惯又能促进小学生更有目的的学习，更有效的掌握知识和发

展能力。

3、怎样理解数学思维品质的内涵？

答：数学思维品质：灵活性、广阔性、深刻性、批判性、独创

性。

4、怎样理解迁移的消极作用？

答：迁移是指一种知识、技能的学习和应用对另一种知识、技

能的学习和应用所施加的影响。这种影响取决于个体认知结构的特

点，取决于个体认知结构的组织特征，这种影响是间接通过个体媒

介进行的，所以这种影响可能是积极地，起促进作用的，也可能是

消极的，起干扰和抑制作用。

小学数学解题作为一种有意义学习，所涉及的知识是有内部联

系的，相互作用，相互影响。所以正迁移也普遍存在于小学数学解

题中，而负迁移则成为影响问题解决的一大心理因素，常常表现在

感念、公式和解题思路等方面。

5、论述小学数学认知技能形成的几个阶段?

答：也有一个阶段过程，就小学数学解题而言，可以概括成认

知阶段、联结形成阶段和自动化阶段。小学数学解题中的数学认知

技能尽管有上述的几个阶段，但最终得以形成，都要经历一个从

，，会，，到，，熟，，的过程，其间必须不断通过有计划、有目的的练习，才

能完成这一转变。

6、怎样理解小学数学解题的真实含义？

答：小学数学解题是一种逐渐深入的、具有某种程度创新性和

思维对策的一种心理活动过程。而不是不求甚解、生搬硬套、机械

呆板等。

7、试对奥苏泊尔的解题结构模式加以评述？

答：奥苏伯尔解题结构模式：1、呈现问题的情境2、明确问题

的目标与已知条件3、填补空隙的过程4、解答后的检验。

8、对小学数学常规问题而言，其解题规则有哪些？

答：常规问题解题规则：1、公式规则2、恒等式规则3、定理

规则4、定义规则。

9、试对创造性的非逻辑方法加以评述

答：创造性的精华:想象、灵感和直觉，通常被人们称做创造性

精华。（核心）

想象:是在头脑中改造记忆中的表象而创造新形象的过程。它既

是一种具有极大的自由度的思维活动形式，同时又是可以自觉地引

导进行的一种积极主动的心理现象。

灵感:是指人们在创造过程中，由于某种诱因的作用而突发的一

种非逻辑的思维活动。

灵感的特点：灵感引发的随机性、灵感显现的暂时性、灵感显

现过程中的情感性。灵感的产生不是凭空产生的，不是靠等待就能

来临的。它的诱发有着漫长的有意识的活动，有着相当的辛勤努力

和实践为基础。如爱迪生说：天才乃是99%的勤奋加上1%的灵感。

小学数学解题中，我们也应该通过有意识的思考，去诱发灵

感。

直觉:简单得说就是直接去觉察，它是人脑对客观事物的一种迅速

而直接的洞察或感悟，是人们自觉不自觉的思考某一问题时，在头脑中

突如其来的一种创造性设想.

直觉的三个明显的特性：

1.它对问题的内在规律（即客观事物的本质联系）的深刻理解。

2.这种理解来自经验的积累。

3.经验积累到一定的程度突然理性与感性产生共鸣时，表现为

豁然贯通的一种顿悟式的理解。

直觉是从感性经验达到理性飞跃的人的认识过程的一种特殊表

现形式，是逻辑顺序的高度简缩。

总之想象、灵感、直觉的出现，不仅意味着常规思维中的"跳

跃”，逻辑顺序的"中断"，及由此而得到的创造性。而且三者常常又

是紧密联系和相互作用的，或是想象诱发了灵感和直觉，或是灵感

和直觉唤起了活跃的想象。

10、化归法的一般模式是什么？

答：在解题时，不是对问题的正面进行进攻，而是根据解决它

的需要，通过某种转化过程，归结到已能解决的或较容易解决的问

题中，最终过渡到所求问题的解答，这种数学家经常使用的，去寻

找真理、发现真理和处理问题的思维方法，就是化归法。从广义上

说她是一种思想，狭义上讲就是一种具体的解题方法。

11、试述小学数学解题能力的成分。

答：数学解题能力的成分，不仅仅从数学自身形式上看。而且

还要研究不同心理因素在解题者的不同解题阶段，所表现出来的一

种或几种相适应的能力。瑞典心理学家魏德林为代表的欧美心理学

家认为组成数学解题能力的因素有：

1.一般因素G（主要指智力因素）2.数因素N（对数概念的理解和

应用）

3.空间因素S（对空间形式的理解、想象和抽象）4.语言因素v（用

语言表达数学关系）5.推理因素R（运用逻辑思维、形象思维和直觉思

维）

日本的大桥正夫等学者，认为数学解题能力包括以下三个方

面：

A、数理性的领会能力：具体要求是使之抽象化，使之数量化和

图形化，使之记号化或形式化；B、概括能力：具体要求是使之扩

展，集中归纳，改变观点和改变条件。C、思维能力：具体要求是有

计划按步骤地进行思考，进行类比或对比，有根据地进行证明。

苏联心理学家鲁捷茨基：1.使数学材料形式化能力；2.概括数学

材料的能力；3.用数学和其他符号进行运算能力；4.连续而有节奏的

逻辑推理能力；5.缩短推理过程的能力；6.逆转心理过程的能力；7.

灵活的思维能力；8.数学记忆能力；9.形成空间概念的能力；10.借

助形象化（直观）能力。

一般认为，小学数学解题能力取决于数学学科和数学活动的个

人特性，是小学生在解题这一特殊的数学活动时，所表现出来的心

里品质的综合体。概括数学材料的能力、逆反心理过程能力、灵活

的思维能力和借助直观化能力就是这个综合体的具体成分。

12、怎样理解在小学数学解题过程中，视觉-形象与语言逻辑模

式的相互作用和联系？

答：数学气质有如下的三种类型：

分析型：倾向于用语言一一逻辑的词语去思考。

几何型：习惯于用视觉一一形象的词语去思考。

混合型：综合上述两类特征。

在小学数学解题中，小学生应努力完善语言一一逻辑和视觉一一形象

这两个方面的相互转换，即在一定程度上依靠视觉意象，把数学关

系视觉化，对比较抽象的数学系统也作出一种形象的解释，这就是

所谓的“借助形象化”的全部内涵。

借助于想象化的根本目的在于从直观上来理解较为抽象的数学

关系，形成再现性想象，从而促进创造性的活动。从其模式（视觉的

形象）来看，它和语言一一逻辑模式有着不同的特征，但在具体解题

过程中，它们是相互联系和作用的，因此，单纯地强调解题中的视

觉一一形象化作用则也是片面的。

借助想象化所得到的数学关系、数学规律、数学形式结构、数

学知识系统和推证模式等，比起其他方式来，更能保持记忆。

13、怎样理解小学数学学科独具特色的教育功能？

答：小学数学作为学校教育系统工程的重要组成部分之一，必

须与人的发展相结合。小学生在学习数学的过程中，不仅是数学知

识有所积累，更重要的是文化知识素质、思维素质、思想素质、行

为素质和身体素质等都有所发展。对文化知识素质而言，不仅仅是

知识总量的增加，更重要的是有质的变化，能从一些基本事实出

发，建立具有一定逻辑意义的生长点和开放面，为今后创造性活动

打下基础的知识结构。对思维素质而言，就是思维的方法、态度和

能力；对思想素质而言，包括政治思想和道德价值观，以及观察事

物的思想和观念；对行为素质而言，包括学习态度、学习习惯，以

及实事求是等待人处世的方法和方式。对身体素质而言，包括生理

机能水平、体能发展水平，以及对环境条件的适应能力。

数学作用于社会的客观效果，使她成为人们教育下一代的重要

学科，同时，在数学自身发展过程中，所形成的品格，如积极地思

维态度、科学的思维方式、强烈的思维内驱力和密集的脑力当量，

都有效地用于教育下一代，使之具有发展社会所需要的个人良好的

品质。

14、简述小学数学教学内容选取的依据？

答：小学数学教学内容的选取依据是：借鉴国际数学现代化的

经验，符合现代科学技术所需要的最基本的数学知识和技能，符合

小学义务教育的目标，符合小学生的年龄特征，兼顾当今与未来，

兼顾"幼儿园与小学，小学与中学〃的衔接，兼顾灵活与统一，同时

突出教育性和思想性，稳定性与先进性。

15、简述小学数学学习中的思维定势的积极作用与消极作用。

答：思维定势就是指一种思维的定向预备状态，它是在思维没

有新干扰的情况下，人们习惯按照既定的方向和目标去思考。

思维定势的积极作用是：把所要解决的问题特征与以前解决的

问题特征进行比较，利用已有的知识、经验与当前所要解决的问题

特征相互联系，去识别那些意义不清，特征不明和条件隐蔽的对

象，表现出思维的趋向性和专注性。

思维定势的消极作用是：不能改变思维的方向，不能从多方面

全面、整体的看待问题，表现出思维的呆板性和盲目性。

16、简述小学数学解题思维活动的过程。

答：鉴于奥苏泊尔解题的结构，对于小学数学解题这一复杂的

思维活动过程，可以分成以下几个阶段：

1、分析题意。从整体上把握数学问题，明确已知的是什么，要

求的问题时什么。

2、寻找解法。从初始状态开始，只要通过适当的运算，就可以

建立一系列的中间状态，最终达到目标状态。

3、实行解法，就是具体完成从初始状态到最终状态为止的状态

序列的运算。

4、回顾解法。其目的是：1、证实所实行的解法是正确的，满

足题目的全部条件；2、进一步证实所实行的解法是有效地；3、说

明所实行的解法是简捷的。

第一章课程目标

1数学是研究客观世界中数量关系和空间形式的一门科学。现实

中的事物虽然千变万化，但从数学角度来说，对事物的研究不外乎

数和形两个方面。数学是一种研究思想事物的抽象的科学。（恩格斯

《自然辨证法》。）

2数学的作用法拉第《马克思回忆录》指出：一种科学只有在成

功运用数学时，才算达到了真正完美的地步。联合国教科文组织关

于科学研究主要趋势的调查中指出：目前科学研究工作的特点之一

就是所有各门学科的（数学化）。数学是一切科学技术的基础，数学

的内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然和社会科学中，数学作

为一种文化，已成人们的共识。

3我国数学课程及演变过程数学产生的漫长的历史阶段①萌芽

时期（公元前600年前）②初等数学时期（公元前600年一一17世

纪中叶）③变量数学时期（17世纪中叶一一19世纪20年代）④近

代数学时期（19世纪20年代一一第二次世界大战）⑤现代数学时期

（第二次世界大战以来）但作为一门学科课程，在我国却迟到隋唐时

期，才在国子监设算学馆。置博士、助教，选定和注释从汉朝以来

的十部算经，又以《算经十书》著。《算经十书》是我国古代数学发

展和成就的代表文献，构成了我国古代传统数学体系。①《周髀算

经》勾股定理；②《九章算术》方程章中第13题是著名“五家共井"

最早的不定方程问题；③《孙子算经》"知客几何〃"鸡兔同笼"尤其是

“物不知数〃是后来驰名于世的“大衍求一术〃的起源，是中国古代数

学最具独创精神的成就之一。④《张丘建算经》提出了有趣的不定

方程和解法"百鸡问题〃；⑤《缉古算经》三次方程的代数解法；《数

学记遗》“九宫图"。⑥《海岛算经》⑦《五曹算经》⑧《五经算术》

⑨《缀术》⑩《夏侯阳算经》。算学作为小学则从近代光绪二十八

年（1902年）才正式开始。1892年美国学者狄考文编《笔算数学》，

则是我国学校里的第一部算学教科书。1903年春编《最新教科书》，

其中包括《最新初小算学教科书》我国自己编写的第一本正式的小学

算学课本问世。1978年2月《全日制十年制小学数学教学大纲（试

行草案）》明确将小学算术改为统一的数学。1992年三个面向"面向

现代化、面向世界、面向未来”。《九年义务教育全日制小学数学教

学大纲（试用）》采用"一纲多本〃的新策略。

4国外数学课程变革的简况及趋势20世纪初，德国数学家克莱

因发起并领导了数学教育近代化运动。20世纪30年代法国形成了著

名的“布尔巴基学派〃。瑞士心理学家皮亚杰的发展心理学派寻求数

学结构和思维结构的相似点。

5小学数学课程目标是小学教育方向和性质的表征，也是小学数

学教育活动，包括组织教学内容、确定教学要求、选择教学方法、

进行质量评估、决定考试命题等进行的依据。

6数学学科的特点①高度的抽象性。②严密的逻辑性.由于数学

的高度抽象性，数学家证明定理只能用推理呵和计算，而且在推理论证

的过程中，必须严格遵守逻辑规则才能保证由已知推出的结论具有正

确性.悖论：英国数学家罗素提出一个悖论，指出作为数学基础的集

合论本身就存在着矛盾。"理发师〃悖论。③应用的广泛性。

8小学生认知发展水平①根据小学生的思维特点和数学学科性

质，培养小学生初步的逻辑思维能力。②根据小学生认知几何的心

理特点，培养几何观念。根据世界观不成熟，自然地进行辨证唯物

主义的启蒙教育。③根据个性品质、兴趣爱好和行为习惯等方面具

有较大的可塑性，着重培养学生学习数学的兴趣，帮助他们养成良

好的学习习惯。

9历年我国小学数学课程目标归纳纵观将近一个世纪我国小学数

学课程目标的演变，可以发现：课程名称由小学堂算术到小学算

术，再到小学数学，逐步拓展；指导思想由自谋生计之必需的功利

主义到适应进一步学习和直接参加生产劳动的需要，再发展为提高

民族素质，逐步更新。课程目标发展的轨迹：①知识、技能玲②知

识、技能、思维-③知识、技能、能力玲④知识、技能、能力、思

想、非智力因素

第二章解题的理论依据

1数学问题〜有一个共同的特点，即是在一定的知识背景中提出

的。知识背景主要包括已有的概念、理论和方法。因此，我们认为

依照数学问题的解答与知识背景的关系，可以把数学问题大致分为

两类：常规问题和非常规问题。依照数学问题提法的意义是否明

确，数学问题的条件是否充分，我们还可以把数学问题划分为：可

能问题和不可能问题。（两个显著特征:一是是某些可能问题的自然延

伸，能够在较长时期内给人以成功的希望;其二是以可能问题的面目出

现,其不可能性的本质隐藏较深，以致经过长时间的反复尝试,才能将

本质揭示和确认出来.

2抽象分为三种类型：孤立抽象（从其他因素中划分出确定因

素）、重点抽象（不仅划分出一种因素，而且也指出作为背景的其他

因素）和区分抽象（有意识的划分本质因素和非本质因素以及它们的

根本区别。

3概括分两种基本形式：一般性概括（根据具有最强烈刺激的性

质或特性而进行的第一信号刺激的概括。概念性概括（又称特殊性概

括，根据存在条件和表现形式而进行的概括。）

4思维的本质思维是间接认识事物，是通过感知与被直接认识的

事物有着合乎规律的联系的另一个对象而实现的。

5思维的类型①逻辑性思维（按照逻辑的规律、方法和形式有步

骤有根据的从已知条件和已有的知识推导出新结论的思维。分为形

式逻辑思维和辩证逻辑思维）②非逻辑性思维。形式逻辑思维：是以

概念、判断、推理等思维方式，同一律、矛盾律、排中律等思维规

律，归纳、演绎、类比、科学假设等思维方法为其研究对象。

6辩证逻辑思维研究是思维形式如何正确反映客观事物的运动变

化、事物的内部矛盾、事物的有机联系和转化等问题，其主要特点

是用有限量来描述和刻画无限过程以及有限和无限的矛盾转化。

7数学思维又叫数学型思维，就是以数和形为思维的对象。以数

学的语言和符号为思维的载体，以认识和发现数学规律为目的的一

种思维。数学思维品质：灵活性、积极性、目的性、记忆性、广阔

性、深刻性、批判性、准确性、简捷性、独创性和证明性。

8数学思维水平的评定：第一级水平一一第五级水平。前两级水

平是小学年级的学生所特有的，第三级水平是初中年级学生所特有

的；第四级水平是高中年级学生所特有的，至于第五级水平无论是

几何方面的还是代数方面的，均属于数学思维的现代水平。一般的

中学阶段的学生是难以达到的。

9问题解决的特征：①问题情境因素②解题者的个体特征（解题

者知识经验基础和个性品质）③解题中的认知策略（解题者用来调节

注意、回忆和思维的技能）

第三章解题的认知过程

1学习从广义上理解，学习是有机体凭借经验的获得而产生的比

较持久的行为（思维、想象、记忆、感知等内部心理活动和言语、表

情、动作等外部活动）变化。从狭义上理解，学习是指学生在老师指

导下，有目的、有计划、有组织、有步骤地进行获得知识、形成技

能、培养能力、发展个性过程。桑代克一刺激反应理论，学习是刺

激和反应的联结。苛勒一完形理论，学习是零碎和知觉信息的再组

织过程。托尔曼一认知理论，学习是对环境中的刺激，依其关系形

成一种新的认知结构的过程，是意义的获得和实现期望的过程等

等。

2学习的分类：根据学习产生的情景，由低到高把学习分为8类

（美加涅），信号学习，刺激反映学习，连锁学习，语言的联合，多

重辨别学习，原理学习，解决问题。根据学习进行的方式：接受学

习和发现学习；根据学习材料和学习者原有知识的关系，可以把学

习分为机械学习和有意义学习。（美奥苏伯尔）

苏联彼得罗夫斯基根据人与动物学习的质的差异分为：反射学

习和认知学习。学习内容与水平的不同又把认知学习分为感性学习

和理性学习，再把理性学习分为概念学习、思维学习与技能学习。

2小学数学解题与数学认知结构作为小学数学学习的主要内容和

方式，其意义也就在于不断积极主动地建立、扩大和重新组织数学

认知结构，并伴随着同化和顺应等特征。小学数学解题并不是数学

知识的简单应用，而是以原有数学认知结构为依据，对新知识进行

加工。小学数学解题实际上也是数学认知结构不断同化和顺应的过

程。

3技能是顺利完成某种任务的一种心智或动作的活动方式，它需

要通过练习才能形成。动作泛指在完成一项具体任务中所涉及的一

系列操作，以完善、合理方式组织起来并顺利进行时，就成为动作

技能。

4心智系指借助于内部语言在头脑中进行的认识活动。它包括感

知、记忆、想象和思维，但以抽象思维为它的主要成分。

5技能和能力的区别是不同的概念，二者既有联系，又有区别。

技能是指完成一定任务的活动方式，能力则是顺利完成任务的个性

心理特征。技能的形成以一定的能力为前提，反过来又对能力的发

展起重要的促进作用。

5数学动作技能：指运用工具绘图的技能，测量技能、使用计算

工具的技能等。

6数学心智技能：指数的计算技能、式的恒等变形技能、解方

程、解不等式的技能，推理论证技能、运用数学方法的技能等。这

两种数学技能既有联系又有区别：一方面数学心智技能的形成，与

数学动作技能有关；另一方面，数学动作技能又受数学心智技能控

制。

12数学认知技能的形成阶段：就小学数学解题而言，可以概括

成认知阶段、联结形成阶段和自动化阶段。小学数学解题中的数学

认知技能尽管有上述的几个阶段，但最终得以形成，都要经历一个

从"会〃到"熟”的过程，其间必须不断通过有计划、有目的的练习，

才能完成这一转变。

13发展发展作为一般意义上的理解是指人的各种特性在结构上

和机能上的变化。发展有生理发展和心理发展之分。其中心里发展

是心理学研究的对象指个体心理的变化过程。心理发展最为重要的

部分是认知发展。

14认知发展认知发展是指与大脑生长和知识技能有关的发展方

面。涉及人在知觉、记忆、思维、语言、智力等方面种种功能的发

展变化。

15小学数学认知发展可以理解为小学数学认知结构和数学认知

技能的发展，是通过小学数学活动过程来体现的。认知发展一般包

含这样几个阶段：①输入阶段；②同化和顺应阶段；③应用阶

段。以上三个阶段是密切联系的。

第四章解题的实质

1小学数学解题的含义：即小学数学领域中的问题解决，不但要

关心问题的结果，而且要关心求得结果的过程，也就是问题解决的

整个思考活动。所以小学数学解题指的是按照一定的思维对策进行

的一个思维过程，一步一步地靠近目标，最终达到目标。其含义就

是思考的活动及探索的过程。19世纪中叶，德国数学家格拉斯曼才

成功地建立了一个算术基本公理体系，解决和统一在此之前人们一

直混淆的上述问题。小学数学解题也就意味着找出这样一个数学的

一般原理（定义、公理、法则、定律、公式）的序列，当应用他们到

问题的条件或者条件的推论（解法的中间结果）时，就得到问题所要

求答案。

2小学数学解题结构奥苏伯尔解题结构模式：①呈现问题的情

境②明确问题的目标与已知条件③填补空隙的过程④解答后的检

验。

3小学数学解题的几个阶段①分析题意②寻找解法③实行解法

④回顾解法

4小学数学解题的趋向:教育心理学认为根据解题者寻求解答的

趋向可以把解题分为两种主要方式，一种是尝试错误式，另一种是

顿悟式。

尝试错误式:是由进行无定向的尝试，重复无效动作，纠正暂时

性尝试错误。直至出现解决问题得以成功的一系列反应所组成的行

动。

顿悟式:解决问题尝试错误式不同，它具有一定的"心向〃，努力

发现手段与目标之间的有意义的联系，而这种联系正是问题赖以解

决的基础。两者关系:在小学数学解题中，尝试错误式和顿悟式实际

上不能绝对化的，尝