新课标人教版九年级数学下册教案练习

第26章二次函数

知识背景：本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学

习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间

关系的重要的数学模型。伽利略所发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体

运动公式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一。二次函

数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实

际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标

枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线

型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本

的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和

积累经验。

二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观

的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函

数的方法，体会函数的思想是十分重要的。

本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，

学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。

本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和

变换有及二次函数性质的灵活应用。

本章教学时间约需14课时，具体安排如下：

26.1节二次函数.........................5课时

26.2节用函数观点看一元二次方程........2课时

26.3节实际问题与二次函数..............3课时

数形结合在二次函数中的应用（补充）……1课时

二次函数小节与复习..............3课时

机动2课时，补充1课时,合计14课时。

一、教科书内容和课程教学目标

(1)本章知识结构框图如下:

，次由数的解析式

网变嵌间的关系I--1二次由数的概念:次函数的图@

:次函数的性质

(2)本章教学目标如下:

知识性目标过程性目标

知识点及目标层次灵经体

相关技能理掌运感体探

解解握活历验索

用受会

二次函数概念的形成过程VV

次

二次函数的概念VVV

函

数二次函数的解析式VVV

的待定系数法VVV

概

二次函数的定义域和函数值VVV

念

描点法画二次函数图象VV

次

二次函数图象的特点VVVV

函

数二次函数图象的变换VVVV

图

二次函数图象的性质VVVV

象

二次函数的最大值、最小值VVV

次

函

二次函数的增减性VVVV

数

性

二次函数的对称性VVV

质

建立二次函数模型VVVV

次

函

二次函数性质的应用VVV

数

应

二次函数与二次方程的关系VVVV

用

(3)本章教学要求

①经历描点法画函数图象的过程。

②学会观察、归纳、概括函数图象的特点。

③经历二次函数图象平移的过程。

④了解尸aV,尸a(x+跟尸，尸a(x+勿)?+〃三类二次函数图象之间的关系。

⑤归纳数学平移变换的特征并加以总结。

⑥经历二次函数解析式恒等变形的过程。

⑦会根据二次函数的解析式，确定二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。

⑧能运用配方法将y=ax2+8x+c变换成y=a(x-h)2+k的的形式。

⑨了解二次函数与二次方程的相互关系。探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值、

最小值及函数的增减性的概念及方法。

⑩体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。经历数学建模的基本过程。感受数学的

应用价值。发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价

值。

⑷本章教材分析

1.教材注重引入二次函数概念的现实背景，让学生感受其实际意义，激发学生的学

习兴趣；并注意让学生在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的理解和认识。

2.教材注重与学生已有知识的联系，引导学生与原有的知识联系、比较，经历对

知识拓展、归纳、更新的过程。

3.教材注意内容的呈现方式，让学生参与知识的发生、发展过程。注重在具体二次

函数的研究中掌握方法，理解原理（如图象的变换）。

4.教材注意沟通二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化，提供学生进

行探究性学习的题材，重视学生对知识综合应用能力的培养。

（5）本章教学目标

1.正确理解二次函数的概念，了解函数产生的背景，在原有的函数知识的基础上学习

和掌握二次函数的概念和性质，能利用二次函数刻画事物的变化规律。

2.理解二次函数的意义，掌握二次函数的概念、图象和性质，知道二次函数是描述客

观世界变化规律的重要数学模型。

3.了解二次函数与二次方程之间的关系，会利用函数图象求一些简单二次方程的近似

解，了解二次函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会用二次函

数知识分析问题，解决问题，使学生了解函数与方程是研究事物变化的重要工具。

4.培养学生的理性思维能力，辩证思维能力，分析问题和解决问题的能力，创新意识

与探究能力，数学建模能力以及数学交流能力。

5.通过现代信息技术的合理应用，教师在教学中适度地使信息技术描绘函数图象，动

态地变换函数图象，让学生体会到信息技术是认识世界的有效手段和工具。

6.要使学生体验数学的文化价值，使学生感受数学美，培养学生利用运动变化的观点

观察事物，进一步树立科学的人生观，价值观和辩证唯物主义世界观。

（6）本章内容安排

1.本章通过章前图中的问题以及三个现实问题引入二次函数的概念，通过例1使

学生理解和掌握二次函数的解析式、自变量的取值范围和自变量与函数值的对应关系，

表2—1是函数的列表表示法。

2.由于二次函数的概念的引入避免了抽象的函数定义，因此利用待定系数法是确

定二次函数的基本方法。

3.二次函数图象是本章的重点之一，二次函数的图象是它性质的直观体现，函数图

象是函数的直观表示，图象法也是表示函数的基本方法。函数图象对于了解和掌握二次

函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解

函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是

二次函数的图象与性质的理解与掌握，要使学生画二次函数图象，学会观察函数图象，

借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。

4.函数图象的特征是函数性质的几何体现，教科书通过变换的观点，强调变与不

变的辨证关系，重点是同一坐标系中具有相同二次项系数的二次函数图象间的位置关系

的变换规律。利用配方法研究二次函数解析式与二次函数图象的开口方向，对称轴和顶

点坐标之间的关系，使学生认识二次函数的本质。

5.教科书通过是通过实例来归纳二次函数的性质，目的是通过直观的图示理解抽象

的函数性质，通过二次函数图象使学生了解抛物线与x轴交点的横坐标，即当尸0时对

应的x值就是方程a/+bx+c=O的根，利用这个二次方程根的判别式，可以判定抛物

线与x轴交点的个数，并且由此确定二次函数的的特征点，通过这些特征点可以方便画

出其草图。

6.教科书从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情景一数学活动一数学应用

一回顾反思”的顺序编制教材，通过实例巩固学生所学的知识。试图发挥学生学习的主

动性，引导学生联系自己的生活经历，使学生感受到函数就在身边，体会到数学知识的

广泛性、应用性。

7.利用二次函数图象求方程的近似值，可以把方程的解看作是函数与x轴的交点的

横坐标，也可以看成是两函数图象交点的横坐标，引导学生不断创新，可以结合信息技

术的使用，如儿何画板等软件的应用，不断地优化教学过程。

二、教学建议

(-)注意由浅入深、循序渐进地理解二次函数的概念

二次函数的解析式是函数形式化、符号化的重要特征，教材中二次函数的概念是直接

用形式化的方式给出的，这种表述简洁明了，便于学生理解和掌握，二次函数的解析式

不仅形式简单，而且可以加深学生对二次函数本质的理解。对二次函数的概念有一个逐

步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则，分三步来展开这部分的内容。

第一步，从学生熟悉问题背景引入相应的二次函数入手，由具体到一般，建立二次函数

的概念。第二步，利用变换的观点研究二次函数的图象，通过函数图象研究二次函数的

性质，体现函数解析式与图象的关系。第三步，在二次函数模型的应用过程中，通过建

立二次函数模型以及模型的求解，更全面地体会二次函数的本质。

(二)注意函数与实际问题的联系，体现数学建模的思想

我们生活在一个充满变化的多彩世界，其中存在大量问题可以通过体现变量关系的

函数模型得到解决，这就为函数的应用的教学提供了大量的实际背景.在本章中，实际

问题情境贯穿于教科书的始终，无论是对儿种不同增长的函数模型的研究，还是对函数

模型的应用举例的学习，都是在解决实际问题的过程中进行的，本章大多数内容都是围

绕实际问题的讨论而展开的，反映了函数与现实之间的关系，能提高学生对函数是解决

现实问题的一种重要数学模型的认识.

（三）注意以函数模型的应用为主线，带动相关知识的展开

利用函数模型解决实际问题是数学应用的•个重要方面.教材还注意选择贴近学生

生活实际的各种问题，引导学生用已学过的函数模型分析和解决它们，使函数的学习与

实际问题紧密联系，并在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化，从更高的层面

上认识函数与实际问题的关系。本章除了函数模型的应用之外，还要介绍函数的零点与

方程的根的关系，用函数图象求方程的近似解，以二次函数模型的应用这一内容为主线,

将各部分内容紧密结合起来，使之成为一个系统的整体.教学中应当注意贯彻教科书的

这个意图，是学生经历二次函数概念与应用的完整过程。

26.1二次函数

(第一课时)

一、教学目标

1、知识与技能：

1、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

2、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范

围。

2、过程与方法：学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程，培养他们的抽象概

括能力和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观：从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次

函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

二、教学重点：

二次函数的概念和解析式

三、教学难点：

本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。

四、组织教学：

(一)、创设情境，导入新课

活动1、

问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？

小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？

问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎

样计算篮球达到最高点时的高度？

这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板

书课题)

(二)合作学习，探索新知

活动2、请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系:

(1)面积y(cm?)与圆的半径x(Cm)

(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一

年定期，设一年定期的年存款利率为文x两年后王先生共得本息y元；

(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为120m,室内通

道的尺寸如图，设一条边长为x(cm),种植面积为y(m2)

1、先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。

2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

222

(1)y=nx(2)y=2000(1+x)=20000x+40000x+20000

(3)y=(60-x-4)(x-2)=-x2+58x-l12

上述三个函数解析式具有哪些共同特征？

让学生充分发表意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,aWO)的形

式.

板书：我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C是常数，aW0)的函数叫做二次函数(quadratic

funcion)

称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项

活动3、做一做

1、下列函数中，哪些是二次函数？

(l)y-x2(2)y---v(3)y-2x2-x-\(4)y=x(l-x)

x

(5)y=(x-1)2-(x+l)(x-1)

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

(1)y-x1+\(2)y=3x2+7x-12(3)y-2x(1-x)

3、若函数)，=(/-1)-"为二次函数，则m的值为0

活动4、

例题示范，了解规律

已知二次函数y=—+〃x+q当x=l时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个

二次函数的解析式。

活动5、

练习：已知二次函数y=a/+/>x+c,当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是

2o求这个二次函数的解析式。

活动6、

一张正方形纸板的边长为2cm,将它剪去4个全等的直角三角形。E、F、G、H分别是

正方形ABCD四边上的点，设AE=BF=CG=DH=x(cm),四边形EFGH的面积为y(cm2),^：

(1)y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围。

(2)当x分别为0.25,0.5,1.5,1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示。

方法：

(1)学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。

(2)对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：

求差法：四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积DE4倍。

直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH?

(3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。

(4)对于第(2)小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x与y之间数值的对

应关系和内在的规律性：随着x的取值的增大，y的值先减后增；y的值具有对称性。

活动6、练习：

用20米的篱笆围一个矩形的花圃(如图)，设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：

(1)写出y关于x的函数关系式.

⑵当x=3时,矩形的面积为多少？

活动7、

归纳小结，反思提高

本节课你有什么收获？

活动8、

布置作业P161、2、3

配套课时练习:

・基础巩固

1.已知函数y=(k+2)/+i是关于x的二次函数，则k=.

2.已知正方形的周长是ccm,面积为Scm)则S与c之间的函数关系式为.

y,则y与x间的函数关系式为.

5.用一根长为8m的木条，做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(n?)与x(m)

之间的函数关系式为.

6.下列结论正确的是()

A.二次函数中两个变量的值是非零实数；B.二次函数中变量x的值是所有实数；

C.形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数；

D.二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的值均不能为零

7.下列函数中，不是二次函数的是()

A.y=l-V2x2B.y=2(x-l)2+4;C.y=；(x-l)(x+4)D.y=(x-2)2-x2

8.在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为yen?,

则y与x的函数关系式为()

A.y=^-X2-4B.y=^-(2-X)2;C.y=-(x2+4)D.y=-^x2+16^

9.若y=(2-m)--2是二次函数，则m等于()

A.±2B.2C.-2D.不能确定

•能力提升

10已知y与xz成正比例,并且当x=l时,y=2,求函数y与x的函数关系式，并求当x=-3

时,y的值.当y=8时，求x的值.

11.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg,购进价格为每千克30元，物价

部门规定其销售单价不得高于每千克70元也不得低于30元，市场调查发现;单价定

为70元时，日均销售60kg.单价每降低1元，日均多售出2kg,在销售过程中，每天还

要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）.设销售单价为x元，日均获利

为y元，求y关于x的二次函数关系式.

•综合探究

12.现有铝合金窗框材料8米，准备用它做一个如图所示的长方形窗架（窗架宽度AB必

须小于窗户的高度BC）.已知窗台距离房屋天花板2.2米.设AB为x米，窗户的总面

积为S（平方米）.

（1）试写出S与x的函数关系式；

（2）求自变量x的取值范围.

26.1(1)答案:

1.2或-32.S=一c23.-,±4,2—,±84.y=16-x25.y=-x2+4x

1644

6.B7.D8.D9.C

10.y=2x2;y=18;x=±2

11.y=-2x2+260x-6500

12.(l)S=4x--xz;(2)1.2<x<1.6

26.1二次函数的图像（1）

（第二课时）

一、教学目标

1、知识技能：

1、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；

2、掌握型二次函数图像的特征；

2、过程与方法：

经历描点法画函数图像的过程

3、情感态度与价值观：经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。感受成功的快

乐，增强自信心。

二、教学重点：

y=o?型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳

三、教学难点：

选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。

四、组织教学：

活动1、回顾知识

前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？

先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。）

引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即y=a/入

手。因此本节课要讨论二次函数y=（。工0）的图像。

板书课题：二次函数y="（"0）图像

活动2、探索图像

1、用描点法画出二次函数y=/和y=-/图像

（1）列表

X・・・-2-1--1011-2・・・

2~222

y=x2・・・42-102-12-4・・・

4444

y=-x2・・・-4-2--10-1-2--4・・・

4-4-44

引导学生观察上表，思考一下问题:

①无论X取何值，对于y=Y来说，y的值有什么特征？对于）,=一/来说，又有什么特

征？

②当X取±g,±l……等互为相反数时，对应的y的值有什么特征？

（2）描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.

（3）连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到y=/和

y=—F的图像。

2、练习：在同一直角坐标系中画出二次函数y=2/和y=—2/的图像。

学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评）

3、二次函数y=aY（。。0）的图像

由上面的四个函数图像概括出：

（1）二次函数的y图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，

（2）这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。

（3）对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。

（4）当aA。时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上方（除

顶点外）；当4Y。时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴

的下方（除顶点外）。

（5）（最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆）

活动3、

观察二次函数y=/和y=的图像

（1）填空：

抛物线y=x7y=-x2

顶点坐标

对称轴

位置

开口方向

（2）在同一坐标系内，抛物线），=/和抛物线y=—/的位置有什么关系？如果在同一个

坐标系内画二次函数y=ax2和>•=-ax2的图像怎样画更简便？

（抛物线y=x2与抛物线y=-x2关于x轴对称，只要画出y=ax?与y=一。/中的一条抛

物线，另一条可利用关于x轴对称来画）

活动4、

例题讲解

例题：已知二次函数y（。。0）的图像经过点（-2,-3）。

（1）求a的值，并写出这个二次函数的解析式。

（2）说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。

练习：（1）课本第31页课内练习第2题。

（2）已知抛物线产ax2经过点A（-2,-8）。

（1）求此抛物线的函数解析式；

（2）判断点B（-1,-4）是否在此抛物线上。

（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。

活动5、

谈收获

L二次函数尸ax2（aH0）的图像是一条抛物线.

2.图象关于y轴对称，顶点是坐标原点

3.当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,

顶点是抛物线的最高点

活动6、

作业：见作业本。

14

配套课时练习

・基础巩固

1.函数y=-x2的图像是一条线,开口向，对称轴是,顶点是

，顶点是图像最点，表示函数在这点取得最值，它与函数y=x2的

图像的开口方向，对称轴，顶点.

2.二次函数y-x?的图像，在y轴的右边,y随x的增大而.

3.已知抛物线产ax?和直线y=kx的交点是P（-l,2）,则a=,k=.

4.抛物线y=ax2与y=x?的开口大小、形状一样、开口方向相反，则a=.

5.已知产mW”的图像是不在第一、二象限的抛物线，则m=.

6.若点A（2,m）在抛物线y=x2上，则点A关于y轴对称点的坐标是.

7.二次函数y=mx"j有最低点，则m=.

8.若二次函数严-ax?,当x=2时,y=g;则当x=-2时,y的值是.

9.函数产度/3-6是二次函数，当k时，其图象开口向上；当折时，其图

象开口向下.

10.若函数尸伙2—4*+伙+2）X+3是二次函数，则k.

11.函数当上时，它的图象是开口向下的抛物线；此时当x时，

y随x的增大而减小.

12.二次函数y=—Lx?,当％1<也<0时，乃与”的大小为.

4

13.已知二次函数y产mf和y乙="》2,对任意给定一个x值都有y单2y乙，关于山，”的

关系正确的是（填序号）.

①加<〃<0②相>0,«<0③m<0,〃>0@m>n>0

14.写出一个开口向上，顶点是坐标原点的二次函数的表达式：.

15.函数产af+bx+c0,b,c是常数）是二次函数的条件是（）

A.a#0,cWO;B.a<0,bWO,cWO;C.a>0,b手0,c#0;D.aWO

16.在图中，函数产一ad与产ax+6的图象可能是（）

15

17.下列函数中，具有过原点，且当x>0时，y随x增大而减小，这两个特征的有（）

①y=—-（a>。）@y=（a—1）x2（a<1）®y=~2x+a2（a0）④y=gx-a

A.1个B.2个C.3个D.4个

18.下列说法错误的是（）

A.二次函数产3/中，当x>0时，y随x的增大而增大；

B.二次函数y=-6/中，当x=0时，y有最大值0;

C.a越大图象开口越小，a越小图象开口越大；

D.不论a是正数还是负数，抛物线产办2伍工0）的顶点一定是坐标原点.

19.在同一坐标系中，作产x2,y=--x2,产的图象，它们的共同特点是（）

A.抛物线的开口方向向上；

B.都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大；

C都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小；

D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点.

20.若对任意实数x,二次函数产（a+l）f的值总是非负数，则a的取值范围是（）

A.〃2—1B.aW—1C.a>-1D.〃v—1

21.如图，函数）=-a（x+a）与y=-afgwo）在同一坐标系上的图象是（）

22.已知。<一1,点仅一1,yi),(a,%)3+1，”)都在函数产5的图象上，则()

A.yi<y2<y3B.yi<y3<y2C.y3<y2<yi

Dj2<y<y3

23.如图所示，点P是抛物线y=x2上第一象限内的一个点，点A（3,0）.⑴令点P的坐标为（x,y）,

16

求aOPA的面积S与y的关系式.(2)S是y的什么函数?S是x的什么函数?

X

24.已知函数y=(m+2)W+z是关于x的二次函数.求：(1)满足条件的m的值；(2)m为何

值时，抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大?(3)m

为何值时，函数有最大值?最大值是多少?这时当x为何值时,y随x的增大而减小？

•能力提升

25.直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A、B两点,已知点A的横坐标是3,求A、B两点坐

标及抛物线的函数关系式.

26.抛物线产ax?经过点A(-l,2),不求a的大小，判断抛物线是否经过M(l,2)和N(-2,-3)两

点？

27.已知点A(l,a)在抛物线y=x2±.

(1)求A点的坐标.

(2)在x轴上是否存在点P,使得4OAP是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不

存在，说明理由.

28.已知一次函数产以+。的图象上有两点A、B,它们的横坐标分别是3,-1,若二次

函数产的图象经过A、B两点.

3

(1)请求出一次函数的表达式；

(2)设二次函数的顶点为C,求△ABC的面积.

・综合探究

29.影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明，晴天

在某段公路上行驶时，速度v(km/h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式产焉j确定;

雨天行驶时，这一公式为s=‘•业

50

17

(1)如果行车速度是70km/h,那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多

少米？

(2)如果行车速度分别是60km/h与80km/h,那么同在雨天行驶(相同的路面)相比,

刹车距离相差多少？

(3)根据上述两点分析，你想对司机师傅说些什么？

30.有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒

线C£>,这时水面宽度为10米；

(1)在如图的坐标系中，求抛物线的表达式.

(2)若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？(水位以每小时0.2米的速度上

升)

31.如图，直线A6过x轴上的点A(2,0),且与抛物线>=狈2相交于8、C两点，8点坐

标为(1,1).

(1)求直线和抛物线所表示的函数表达式；

(2)在抛物线上是否存在一点。，使得旌。40=5*羽，若不存在，说明理由；若存在,

请求出点。的坐标,与同伴交流.

18

26.1(2)答案:

1.抛物线下y轴原点高大相反相同相同

2.减小3.a=2k=-24.a=-l5.m=-l6.(-2,4)7.V38.

9.4-210.W±211.-1>012.力勺213.②④14.y=2/(不唯一)

15.D16.D

17.B18.C19.D20.C21.A22.C

23.(l)S=1y(2)S是y的一次函数,S是x的二次函数

24.(l)m=2或-3,

(2)m=2.最低点是原点(0,0).x>0时,y随x的增大而增大.

(3)m=-3,最大值为0.当x>0时,y随x的增大而减小.

25.A(3,9)y=x2

26.抛物线经过M点，但不经过N点.

27.(1)A(1,1);(2)存在这样的点P有四个,

即Pi(V2,0),P,(-V2,0),P3(2,0),P4(l,0),

28.(1)设4点坐标为(3,m)；3点坐标为(一1,〃).

•；A、B两点在产;f的图象上，

.".m=-X9=3,

3

n=—1X-1=—1.

33

：.A(3,3),8(-1,；).

•.飞、B两点又在y=ax+b的图象上，

3=3。+。，_2

•••<1解得”才

3=~a+b-

2

一次函数的表达式是广;x+L

(2)如下图，设直线43与x轴的交点为。，则。点坐标为(一0).

19

3

S/\ABC=S^xADC~SABDC

x-X3--

422x*

29.(l)v=70km/h,

122

ii,v=——v=—X70=49(m),

100100

s府=-v2=—X702=98(m),

5050

s时—snft=98—49=49(m).

(2)vj=80km/h,V2=60km/h.

1,17

si=­v\~=—X8O-=128(m).

5050

1,17

S2=——V22=—X6O-=72(m).

5050

刹车距离相差：

5|-52=128-72=56(m).

(3)在汽车速度相同的情况下，雨天的刹车距离要大于晴大的刹车距离.

在同是雨天的情况下，汽车速度越大，刹车距离也就越大.

请司机师傅一定要注意天气情况与车速.

30.(1)设拱桥顶到警戒线的距离为m.

•••抛物线顶点在(0,0)±,对称轴为y轴，

...设此抛物线的表达式为y=ax2(aW0).

依题意：C(—5,~m),A(—10,—zn—3).

1

-m=a(-5),a=-----,

25

一2

m-3=tz(-10).m=-1.

20

抛物线表达式为广一

(2)...洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，|刈=1,

，从警戒线开始再持续*=5(小时)到拱桥顶.

31.(1)设直线表达式为y=ax+b.

VA(2,0),8(1,1)都在尸ix+b的图象上,

.0=2a+b,a=-1,

〈〈

・・\=a+h.・・b=2.

.*•直线AB的表达式y=—x+2.

♦••点3(1,1)在广以2的图象上，

Aa=l,其表达式为y=x2.

(2)存在点C坐标为(一2,4),设OQ,%2).

1119?

•••S^OAD=—\OA\•\yo\=~X2•x=x.

**•S^BOC=S^AOC~~S/\OAB=~X2X4—1X2X1=3.

22

**SABOGSM)AD,••x2=3,

即x=±g.

.•.£)点坐标为(一6,3)或(当，3).

21

26.1二次函数的图像(2)

(第三课时)

一、教学目标：

1、知识技能：

1>了解y=ax2,y=a(x+m)2,y=a(x+〃?)2+%三类二次函数图像之间的

关系。

2、会从图像的平移变换的角度认识y="(x+加)2+左型二次函数的图像特征。

2、过程与方法:学生经历体验、观察、归纳的过程，培养他们的抽象概括和解决问题的

能力。

3、情感态度与价值观:经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义，体验

函数图象平移的特点，通过新旧知识的联系增强学习自信心。

二、教学重点：从图像的平移变换的角度认识？="(1+用)2+女型二次函数的图像特征。

三、教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。

四、组织教学：

活动1、

知识回顾

二次函数y=的图像和特征：

1>名称;2、顶点坐标；3、对称轴；

4、当时，抛物线的开口向—，顶点是抛物线上的最—点，图像在x轴的—(除

顶点外)；当0Y。时，抛物线的开口向—，顶点是抛物线上的最—点图像在X轴的

(除顶点外)。

活动2、

合作学习

在同一坐标系中画出函数图像y=_L/,y=」(x+2)2,y='(x—2)2的图像。

(1)请比较这三个函数图像有什么共同特征？

(2)顶点和对称轴有什么关系？

(3)图像之间的位置能否通过适当的变换得到？

(4)由此，你发现了什么？

22

活动3、

探究二次函数y=数2和y=a(x+my图像之间的关系

1、结合学生所画图像，引导学生观察y=；(x+2)2,与＞=；/的图像位置关系，直观

2

得出y=~x的图像向左平移两个.＞y=；(x+2)2,的图像。

教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如：

(0,0)向左平移两个弟位＞(.2,0)

(2,2)向左平移两个单位)(0,2)；

(-2,2)向左平移两个单位＞(.4,2)

②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。

2、用同样的方法得出)，=g—的图像蚪优随两包取＞y=g(x-2)2的图像。

3、请你总结二次函数尸a(x+m)2的图象和性质.

当D1A0时

向左平移m个单位、1

y^ax2(。。0)的图像＞y=』(x-2)2的图像。

当mY0时向右平移|m|个单位2

函数y=a(x+〃?)2的图像的顶点坐标是(-m,0),对称轴是直线x=-m

4、做一做

(1)、

抛物线开口方向对称轴顶点坐标

y=2(x+3)2

y=-3(x-l)2

y=-4(x-3)2

(2)、填空：

①、由抛物线y=2x2向平移个单位可得到y=2(X+1)2

②、函数y=-5(x-4)2的图象。可以由抛物线向平移4个单位而得到

的。

3、对于二次函数y=—；(x—4)2,请回答下列问题：

①把函数〉=-；/的图像作怎样的平移变换，就能得到函数y=-g(x-4)2的图像？

23

②说出函数y=4)2的图像的顶点坐标和对称轴。

第3题的解答作如下启发:这里的m是什么数？大于零还是小于零？应当把y=的

图像向左平移还是向右平移？在此同时用平移的方法画出函数y=4)2的大致图

像(事先画好函数y=的图像)，借助图像有学生回答问题。

活动4、

探究二次函数y=a(x+m)2+4和y=M图像之间的关系

1、在上面的平面直角坐标系中画出二次函数y=；(x+2)2+3的图像。

首先引导学生观察比较y=；(x+2)2,与y=；(x+2＞+3的图像关系，直观得出：

y=g(x+2)2,的图像"平单个地＞y=；(x+2)2+3的图像。(结合多媒体演示)

再引导学生刚才得到的＞的图像与y=：(x+2)2,的图像之间的位置关系，由此得

出：只要把抛物线y=g/先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数

y=；(x+2)2+3的图像。

2、做一做：请填写下表：

函数解析式图像的对称轴图像的顶点坐标

12

V=—X"

-2

y=g(x+2y,

1

y=-(x+2)2?+3

3、总结y=a(x+m)2+k的图像和y=ax2图像的关系

当m”0时

向左平移m个单位、1

y^ax2()的图像y=-(x-2)2的图像

当mYO时向右平移|m|个单位2

当k〉O时

向上平移m个单位、

—y=o(x+zn)2+Z的图像。

当kYO时向下平移唧个单位

y=〃(/+m)2+攵的图像的对称轴是直线x=-m,顶点坐标是(-m,k)。

24

口诀：(m、k)正负左右上下移(m左加右减k上加下减)

4、练习：课本第34页课内练习地1、2题

活动5、

谈收获：

1、函数y=a(x+m)2+k的图像和函数y=ax2图像之间的关系。

2、函数y=a(x+〃z)2+女的图像在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质。

活动6、

布置作业

活动7、

课本作业题

预习题：对于函数y=-——2x+l,请回答下列问题：

(1)对于函数y=---2x+l的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？

(2)函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？

25

配套课时练习:

・基础巩固

L抛物线y=-3x2+5的开口向，对称轴是，顶点坐标是，顶点是

最点，所以函数有最值是.

2.抛物线y=4x2-l与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是.

3.把抛物线y=x2向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数关系式为.

4.抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x2,向平移个单位得到的.

5.抛物线y=ax2-l的图像经过(4,-5),则a=.

6.抛物线y=-3(2x2-l)的开口方向是,对称轴是.

7.抛物线y=1(x+3)2的顶点坐标是.

8.将抛物线y=3x2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是.

9.在同一坐标系中，二次函数y=-y=x2,广一3*2的开口由大到小的顺序是.

10.抛物线y=—1x2+l,y=—，(x+l)2与抛物线y=—2仪2+1)的相同，不同.

444

11.已知抛物线y=-2(x+l)2-3,如果y随x的增大而减

小，那么x的取值范围是.卜

12.函数y=3x-2—3x2有最值为//N------»

3----------广2『10卜X

13.如图1所示的抛物线：当乂=时，y=0；当x<—2

或x>0时，y0；当x在范围内时，y>0；

当x=时，y有最大值.

14.抛物线产x?+l的图象大致是()

数y=；x2+2x+l写成y=a(x—h)?+k的形式是()

A.y=^(x-l)2+2;B.y=^(x-1)2+1;C.y=1(x—1)2-3;D.y=^(x+2)2-1

16.若函数y=4x2+l的函数值为5,则自变量x的值应为()

26

A.lB.-lC.±l。普

17.抛物线y=-2x2-x+l的顶点在第象限()

A-B.~C.三D.四

18.抛物线产L?向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是(

)

11

A.y=-(x+3)29-2;B.y=-(x-3)2?+2y|

C.y=1(x-3)2-2;D.y=1(x+3)2+2\0/一

19.二次函数y=(3—m)x2—2mx—m的图象如图3所示，则m的

取值范围是()

A.m>0;B.m<0;C.m<3;D.0<m<3

20.不论m取任何实数，抛物线y=a(x+mf+m(aW0)的顶点都()

A.在y=x直线上；B.在直线y=-x上；C.在x轴上；D.在y轴上

21.任给一些不同的实数n,得到不同的抛物线y=2x2+n,如当n=0,±2时，关于这些

抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最

低点，其中判断正确的个数是()

A.1个；B.2个；C.3个；D.4个

•能力提升

22.求符合下列条件的抛物线y=ax2-l的函数关系式：

⑴通过点(-3,2);(2)与尸京2的开口大小相同，方向相反；

(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.

23.一台机器原价60万元,如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价位约为y万元，求y

与x的函数关系式.

24.已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x2-l,求m,n的值.

25.试分别说明将抛物线：⑴产(x+lR⑵y=(x—l)2；(3)尸^+1；(4)y=x2—l的图象通

过怎样的平移得到y=x2的图象.

26.已知•次函数y=-2x+c与二次函数y=ax?+bx—4的图象都经过点A(l,-1),二次

27

函数的对称轴直线是X=-l,请求出一次函数和二次函数的表达式.

27.如图，是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时，水面宽4而米，水

位上升3米达到警戒线MN位置时，水面宽4百米,某年发洪水，,

水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到卜

拱桥顶？

・综合探究

28.有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状,MN=4分米，抛

物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮下截下J

一矩形ABCD,使矩形顶点B,C落在边MN上,A,D落在/

抛物线上，像这/

样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?(提示:以MN