2024-2025学年广东省清远市四校联盟高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省清远市四校联盟高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.用1，2，3，4，5可以排成数字不重复的三位数的个数为(

)A.C53 B.A53 C.2.下列运算正确的是(

)A.(x3+cosx)′=3x2+sinx

B.若函数f(x)满足f′(2)=2，则Δx→03.设A，B为两个随机事件，若P(B|A)=12，P(A)=25，P(B)=2A.15 B.310 C.124.若(1+mx)6=a0+aA.1 B.1或3 C.−3 D.1或−35.从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有1人被选中的不同选法有(

)A.60种 B.120种 C.180种 D.210种6.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是(

)A.36 B.24 C.72 D.1447.已知过点(−1,0)的直线与曲线y=ex的相切于点A，则切点A坐标为(

)A.(0,1) B.(1,e) C.(2,e2)8.已知函数f(x)=x+1ex.若过点P(−1,m)可以作曲线y=f(x)三条切线，则mA.(0,4e) B.(0,8e)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在(2x−1x)5A.二项式系数之和为32 B.第3项的系数最大

C.所有项系数之和为−1 D.不含常数项10.某中学A，B，C，D，E五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是(

)A.所有不同的分派方案共45种

B.若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种

C.若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者A必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种

D.若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共21611.已知函数f(x)=2ex−ax2+a存在两个极值点xA.a>e B.x1+x2<2

C.若x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x2+1)(x−1)5的展开式中的含x513.在半径为3的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取最大值时，对应的高为______．14.已知函数f(x)=ex−x2，对于任意x1，x2∈(0,+∞)且四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析.运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如表所示．比赛位置第一棒第二棒第三棒第四棒出场率0.30.20.20.3比赛胜率0.60.80.70.7(1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率．

(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax3+bx+2在x=−2处取得极值−14．

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若对∀x∈[−3,3]都有f(x)≥a恒成立，求实数a17.(本小题15分)

已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=3，a2+a4=2b2，18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，CD=2AB=2AP=2，BC=3，PC=5．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)求平面PAD与平面19.(本小题17分)

已知函数f(x)=a(ex+a)−x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna+3参考答案1.B

2.D

3.B

4.D

5.C

6.C

7.A

8.A

9.ABD

10.ACD

11.ACD

12.11

13.2

14.(−∞,2−2ln2]

15.解：(1)记“甲跑第一棒”为事件A1，“甲跑第二棒”为事件A2，“甲跑第三棒”为事件A3，“甲跑第四棒”为事件A4，“运动队获胜”为事件B，

则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|16.解：(1)因为函数f(x)=ax3+bx+2，所以f′(x)=3ax2+b，

又函数f(x)在x=−2处取得极值−14，则有f(−2)=−14f′(−2)=0，

即−8a−2b+2=−1412a+b=0，解得a=−1b=12，

所以函数f(x)=−x3+12x+2，则f′(x)=−3x2+12，f′(1)=9，

又因为f(1)=−1+12+2=13，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−13=9(x−1)，即9x−y+4=0．

(2)由(1)知f′(x)=−3x2x−3(−3,−2)−2(−2,2)2(2,3)3f′(x)−0+0−f(x)−7单调递减−14单调递增18单调递减11由表可知，当x=−2时，函数f(x)有极小值f(−2)=−14；

因为f(−2)=−14<f(3)=11，故函数f(x)在[−3,3]上的最小值为−14，

对∀x∈[−3,3]都有f(x)≥a恒成立，所以a≤−14，即a的取值范围是(−∞,−14]．17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，

由a2+a4=2b2，得2a1+4d=2b1q，即6+4d=6q…①，

由a1a3=b3，得3(3+2d)=3q2…②，

根据①②组成方程组，解得d=3q=3或d=−32q=0(舍去)，

故18.解：(1)证明：由题意，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB/​/CD，AB⊥BC，CD=2AB=2AP=2，BC=3，PC=5，

可得|AC|=|AB|2+|BC|2=2，

由|PC|2=|PA|2+|AC|2，可得PA⊥AC，

又由平面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，且平面PAB∩底面ABCD=AB，

可得BC⊥平面PAB，

又由于PA⊂平面PAB，

可得PA⊥BC，

又CA∩BC=C，CA，BC⊂平面ABCD，

可得PA⊥平面ABCD，得证；

(2)过A作AE⊥CD交CD于E，

则|CE|=|DE|=1，

由(1)知PA，AB，AE两两垂直，

如图，以A为坐标原点，分别以AP，AB，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

可得BP=(0,−1,1),BC=(3,0,0),AP=(0,0,1),AD=(3,−1,0)，

设平面PBC的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，

则m⊥BPm⊥BC19.解：(1)因为f(x)=a(ex+a)−x，定义域为R，f′(x)=aex−1，

当a≤0时，f′(x)=aex−1<0恒成立，所以f(x)在R上单调递减；

当a>0时，令f′(x)=aex−1=0，解得x=−lna，

当x<−lna时，f′(x)<0，则f(x)在(−∞,−lna)上单调递减；

当x>−lna时，f′(x)>0，则f(x)在(−lna,+∞)上单调递增；

综上：当a≤0时，f(x)在R上单调