江苏省常州市2024-2025学年高一下学期3月月考数学检测试卷（附答案）

江苏省常州市2024-2025学年高一下学期3月月考数学检测试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知AB=(5,5)，A(2,3)，则点B的坐标为(

)A.(8,7) B.(−2,−2) C.(7,8) D.(2,2)2.已知cosx=45，则cos2x的值为(

)A.−725 B.35 C.13.已知向量a=(x−5,7),b=(x,−2)，则“x=7”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知|a|=2，b=(3,3)，a在b上的投影向量为12A.5π6 B.π3 C.π6或5π5.设a=2tan20∘1−tan220A.b<c<a B.a<b<c C.c<b<a D.a<c<b6.已知cos(α−π6)+sinα=45A.−235 B.237.已知圆O的半径为13，PQ和MN是圆O的两条动弦，若|PQ|=10，|MN|=24，则|PM+A.17

B.20

C.34

D.488.已知函数f(x)=2sinx+3cosx在x=φ处取得最大值，则cos2φ=(

)A.31313 B.21313二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列化简正确的是(

)A.cos82∘sin52∘−sin82∘cos10.下列关于平面向量的说法中正确的是(

)A.若a⋅c=b⋅c且c≠0，则a=b

B.在△ABC中，若AD=12AB+12AC，则点D为BC边上的中点

C.已知a11.如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP=xOA+yOB，则x+y的取值可能是(

)A.−6 B.1 C.5 D.9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知sinθ+cosθ=15，且π2≤θ≤3π13.平行四边形ABCD中，F是CD边中点，BE=2EC，点M在线段EF(不包括端点)上，若AM=xAB+y14.已知函数f(x)=sin2ωx2+12sinωx−1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知π2<α<π(1)分别求tanα，sin(α+π(2)若角β终边上一点P(7,1)，求tan(2α+β)的值．16.(本小题15分)如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设AB=a，AC(1)试用a，b表示BC,AD,BE；17.(本小题15分)

如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60∘，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE=EB，BF=3FC，连接ED、AF，交点为G.

(1)设AG=t18.(本小题15分)

如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=π2，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN

(1)若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；

(2)当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？19.(本小题19分)

已知θ∈[0,π),向量a=(cosθ,sinθ)，b=(1,0)，P1、P2、P3是坐标平面上的三点，使得OP2=2[OP1−(a⋅OP1)a]，OP3=2[OP2−(b⋅OP2)b答案和解析1.【正确答案】C

解：∵AB=OB−OA=OB−(2,3)=(5,5)，

∴OB=(7,8)，

∴B(7,8).

2.【正确答案】D

解：∵cosx=45，

∴cos2x=2cos2x−1=2×(453.【正确答案】A

【分析】本题考查充分不必要条件的判断，空间向量垂直的坐标表示，属于基础题．

根据充分不必要条件的定义判断即可．

解：若x=7，则a⋅b=2×7+7×(−2)=0，即a⊥b；

若a⊥b，则x(x−5)−14=0，

即(x−7)(x+2)=0，

解得x=7或x=−2.

故“4.【正确答案】D

【分析】本题考查平面向量数量积性质及运算、向量夹角算法，考查数学运算能力，属于中档题．

设a与b的夹角为θ，由a在b上的投影向量为|a

解：设a与b的夹角为θ，

由a在b上的投影向量为|a|cosθ⋅b|b|=125.【正确答案】C

解：由于a=2tan20∘1−tan220∘=tan40∘，b=32sin10∘6.【正确答案】D

解：∵cos(α−π6)+sinα=32cosα+32sinα=435，

∴7.【正确答案】C

解：已知圆O的半径为13，PQ和MN是圆O的两条动弦，且|PQ|=10，|MN|=24，

设O是圆的圆心，连接MO，OP，ON，作PQ⊥OE，MN⊥OD，垂足分别为E，D，

则E，D分别是QP，MN的中点，

由勾股定理得OE=132−52=12，OD=132−122=5，

又PM+QN=OM8.【正确答案】D

解：已知函数f(x)=2sinx+3cosx，

则f(x)=13sin(x+α)，其中tanα=32，

当x+α=2kπ+π2，k∈Z时，函数f(x)取最大值，

即φ=x=2kπ+π2−α，k∈Z，9.【正确答案】CD

解：∵cos82∘sin52∘−sin82∘cos52∘=sin8∘sin52∘10.【正确答案】BCD

解：对于A选项：设a=(1,0),b=(0,1),c=(1,1)，

则a⋅c=b⋅c，且c≠0，但a≠b，故A选项错误；

对于B选项：在△ABC中，若AD=12AB+12AC，

因为AD=AB+BD，且AD=12AB+12AC，

所以AB+BD=12AB+12AC⇒12AB+BD=12AC⇒12AB+BD=12(BC−11.【正确答案】BC

解：如图，

设OA=a，OF=b，求x+y的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下：

(1)若点P在A点处，∵OA=a，∴(x,y)=(1,0)；

(2)若点P在B点处，∵OB=OF+FB=b+3a，∴(x,y)=(3,1)；

(3)若点P在C点处，∵OC=OF+FC=b+2a，∴(x,y)=(2,1)；

(4)若点P在D点处，∵OD=OF+FE+ED=b+a+(b+2a)=3a+2b，12.【正确答案】−7【分析】

把题设等式两边平方利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求得sin2θ的值，进而利用θ的范围确定2θ的范围，最后利用同角三角函数的基本关系求得cos2θ的值．

本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角公式的化简求值．在利用同角三角函数的基本关系时，一定要注意角度范围，进而判定出三角函数的正负．

解：∵sinθ+cosθ=15，

∴两边平方，得sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=125，

即1+sin2θ=125.13.【正确答案】2+【分析】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的加法运算和减法运算，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

直接利用向量的线性运算，向量的加法运算和减法运算，基本不等式的应用求出结果．

解：设EM=λEF(0<λ<1)，

由题意知：EF=CF−CE=−12AB+13AD.

AM=AB+BE+EM=14.【正确答案】(0,1解：f(x)=sin2ωx2+12sinωx−12=12(1−cosϖx)+12sinωx−12=22sin(ωx−π4)，

由f(x)=0，可得sin(ωx−π4)=0，

15.【正确答案】解：(1)∵π2<α<π，sinα=45，∴cosα=−1−sin2α=−35，

∴tanα=sinαcosα=−4本题考查了三角函数的诱导公式，和三角恒等变换的相关知识(1)由π2<α<π，sinα=45可直接求出cosα，利用tanα=sinαcosα可得结果

(2)由点P(7,1)的坐标可得tanβ=116.【正确答案】解：(1)△ABC中，AB=a，AC=b，

∴BC=AC−AB=b−a，

AD=AB+BD

=AB+14BC

=a+14(b−a)

=34本题考查平面向量的线性表示与共线定理的应用问题，属于基础题．

(1)根据平面向量的三角形合成法则，用AB、AC表示出向量BC、AD和BE即可；

(2)用a、b表示出向量BE、BF，证明BF与BE共线，从而证明B，E，F三点共线．17.【正确答案】解：(1)∵AE=EB，BF=3FC，

∴AG=tAF=t(AB+BF)=tAB+3t4AD，

∵E，G，D三点共线，

∴存在λ，使得AG=λAE+(1−λ)AD=12λAB+(1−λ)AD，

∴t=12λ3t4=1−λ，解得t=(1)根据条件可得出AG=tAB+3t4AD，AG=12λAB+(1−λ)18.【正确答案】解：(1)如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，

∴∠AOB=π6，

∴AB=2Rsinπ12，OH=Rcosπ12，

OE=DE=12AB=Rsinπ12，

∴EH=OH−OE=R(cosπ12−sinπ12)，

S=AB⋅EH=R2(2sinπ12cosπ12−2sin2π12(1)作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；

(2)设∠AOB=θ(0<θ<π2)19.【正确答案】解：(1)若θ=π2，则a=(cosπ2,sinπ2)=(0,1)，

则OP2=2[OP1−(a⋅OP1)a]=2{(20,21)−[(0,1)⋅(20,21)](0,1)}=2[(20,21)−(0,21)]=(40,0)，

所以OP3=2[OP2−(b⋅OP2)b]=2{(40,0)−[(1,0)⋅(40,0)](1,0)}=(0,0)；

(2)因为|OP1|=6，不妨设OP1=6(cosα,sinα)，

由向量a=(cosθ,sinθ)，

得OP2=2[OP1−(a⋅OP1)a]

=2[6(cosα,sinα)−6cos(α−θ)(cosθ,sinθ)]

=12(sinθsin(θ−α),cosθsin(α−θ）

所以OP3=2[OP2−(b⋅OP2)b]

=2[12(sinθsin(θ−α),cosθsin(α−θ）−12sinθsin(θ−α)(1,0)]

=24(0,cosθsin(α−θ），

若θ=2π3，则cosθ=−12，sinθ=32，

则|OP3|=12|sin(α−2π3)|=12|sin(α+π3)|，

所以，当|sin(α+π3)|=1时，|OP3|取最大值12；

(3)OP2=2[OP1−(a⋅OP1)a]

=2[(cosα,sinα)−(cosαcosθ+sinαsinθ)(cosθ,sinθ)]

=2(sinθsin(θ−α),cosθsin(α−θ），

OP3=2[OP2−(b⋅OP2)b]

=2[2(sinθsin(θ−α),cosθsin(α−θ）−2sinθsin(θ−α)(1,0)]

=4(0,cosθsin(α−θ），

所以P1P2=(2sinθsin