高三数学复习第一篇专题突破专题五立体几何第1讲空间几何体的三视图表面积与体积理

第1讲空间几何体三视图、表面积与体积1/37考情分析2/37总纲目录考点一

空间几何体三视图考点二空间几何体表面积与体积（高频考点）考点三多面体与球切、接问题考点四数学文化与立体几何3/37考点一

空间几何体三视图一个物体三视图排列规则俯视图放在正(主)视图下面,长度与正(主)视图长度一样,侧(左)视

图放在正(主)视图右面,高度与正(主)视图高度一样,宽度与俯视图

宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.4/37经典例题(北京,7,5分)某四棱锥三视图如图所表示,则该四棱锥最长棱

长度为

()

A.3

B.2

C.2

D.25/37解析依据三视图可得该四棱锥直观图(四棱锥P-ABCD)如图所表示,

将该四棱锥放入棱长为2正方体中.由图可知该四棱锥最长棱为

PD,PD=

=2

.故选B.

答案

B6/37方法归纳由三视图还原直观图思绪(1)依据俯视图确定几何体底面.(2)依据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体侧棱与侧面特征,调整

实线和虚线所对应棱位置.(3)确定几何体直观图形状.7/37跟踪集训1.(天津,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面对角线截去一个棱锥,

得到几何体正视图与俯视图如图所表示,则该几何体侧(左)视图为

()

8/37答案

B由几何体正视图、俯视图以及题意可画出几何体直观

图,如图所表示.

该几何体侧视图为选项B.故选B.9/372.(辽宁沈阳教学质量检测(一))如图,网格纸各小格都是正方形,

粗实线画出是一个凸多面体三视图(两个矩形,一个直角三角形),则

这个几何体可能为

()

A.三棱台

B.三棱柱

C.四棱柱

D.四棱锥10/37答案

B依据三视图画法法则:长对正、高平齐、宽相等,可得几何

体直观图如图所表示,这是一个三棱柱.

11/37考点二

空间几何体表面积与体积(高频考点)命题点1.由三视图求空间几何体体积.2.由三视图求空间几何体表面积.3.依据已知空间几何体求其表面积或体积.1.柱体、锥体、台体侧面积公式(1)S柱侧=ch(c为底面周长,h为高);(2)S锥侧=

ch'(c为底面周长,h'为斜高);(3)S台侧=

(c+c')h'(c',c分别为上、下底面周长,h'为斜高).12/372.柱体、锥体、台体体积公式(1)V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);(2)V锥体=

Sh(S为底面面积,h为高);(3)V台=

(S+

+S')h(S,S'分别为上、下底面面积,h为高)(不要求记忆).3.球表面积和体积公式(1)S球表=4πR2(R为球半径);(2)V球=

πR3(R为球半径).13/37经典例题(1)(课标全国Ⅰ,7,5分)某多面体三视图如图所表示,其中正视

图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形边长为2,俯视

图为等腰直角三角形.该多面体各个面中有若干个是梯形,这些梯形

面积之和为

()

A.10

B.12

C.14

D.1614/37A.

B.

C.

D.

(2)(郑州第二次质量预测)某几何体三视图如图所表示,其中俯视图为扇形,则该几何体体积为 (

)15/37解析(1)由多面体三视图还原直观图如图.

该几何体由上方三棱锥A-BCE和下方三棱柱BCE-B1C1A1组成,其中

面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,则梯形面积之和为2×

=12.故选B.(2)由三视图可知该几何体是底面半径为2、高为4圆锥一部分,设

底面扇形圆心角为θ,则cos(π-θ)=

,所以θ=

,所以所求几何体体积V=

×

π×22×4=

,故选D.答案(1)B(2)D16/37方法归纳求解几何体表面积及体积技巧(1)求几何体表面积及体积问题,能够多角度、多方位地考虑,熟记公

式是关键所在.求三棱锥体积,等体积转化是惯用方法,转化标准是

其高易求,底面放在已知几何体某一面上.(2)求不规则几何体体积,惯用分割或补形思想,将不规则几何体转

化为规则几何体进行求解.17/37跟踪集训1.(课标全国Ⅰ,6,5分)如图,某几何体三视图是三个半径相等圆

及每个圆中两条相互垂直半径.若该几何体体积是

,则它表面积是

()

A.17πB.18πC.20πD.28π18/37答案

A由三视图可知,该几何体是一个球被截去

后剩下部分,设球半径为R,则该几何体体积为

×

πR3,即

π=

×

πR3,解得R=2.故其表面积为

×4π×22+3×

×π×22=17π.选A.19/372.(湖南湘中名校高三联考)已知某几何体三视图如图所表示,则该

几何体体积为

()A.

B.32

C.

D.

答案

A由三视图可知,该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长

为4)、高为8直三棱柱截去一个等底且高为4三棱锥而得到,所以

该几何体体积V=

×4×4×8-

×

×4×4×4=

,故选A.20/373.(南昌第一次模拟)如图,直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AD∥BC,BC=

2CD=2AD=2,若将该直角梯形绕BC边所在直线旋转一周,则所得几何

体表面积为

.

答案(

+3)π解析依据题意可知,此旋转体上半部分为圆锥(底面半径为1,高为

1),下半部分为圆柱(底面半径为1,高为1),如图所表示.则所得几何体表面积为圆锥侧面积、圆柱侧面积以及圆柱下

底面面积之和,即表面积为π·1·

+2π·12+π·12=(

+3)π.21/37考点三

多面体与球切、接问题与球相关组合体问题,一个是内切,一个是外接.解题时要认真分

析图形,明确切点和接点位置,确定相关元素间数量关系,并作出合

适截面图.22/37经典例题(1)(课标全国Ⅲ,8,5分)已知圆柱高为1,它两个底面圆周

在直径为2同一个球球面上,则该圆柱体积为

()A.πB.

C.

D.

(2)(课标全国Ⅲ,10,5分)在封闭直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体

积为V球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V最大值是

()A.4πB.

C.6πD.

23/37解析(1)设圆柱底面圆半径为r,由题意可得r2+

=12,解得r=

.∴圆柱体积V=πr2×1=

,故选B.(2)易知AC=10.设底面△ABC内切圆半径为r,则

×6×8=

×(6+8+10)·r,所以r=2,因为2r=4>3,所以当球与三棱柱上、下底面相切时,体积

最大,所以最大球直径2R=3,则R=

,此时球体积V=

πR3=

.故选B.答案(1)B(2)B24/37方法归纳多面体与球接、切问题求解策略包括球与棱柱、棱锥切、接问题时,普通过球心及多面体中特殊点

(普通为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面

几何知识寻找几何体中元素间关系,或只画内接、外切几何体直

观图,确定球心位置,搞清球半径(或直径)与该几何体已知量关

系,列方程(组)求解.25/37跟踪集训1.(石家庄教学质量检测(二))四棱锥P-ABCD底面ABCD是边长为

6正方形,且PA=PB=PC=PD,若一个半径为1球与此四棱锥全部面都

相切,则该四棱锥高是

()A.6

B.5

C.

D.

答案

D过点P作PH⊥平面ABCD于点H.由题意知,四棱锥P-ABCD是

正四棱锥,内切球球心O应在四棱锥高PH上.过正四棱锥高作组

合体轴截面如图,其中PE,PF是斜高,M为球面与侧面一个切点.设

PH=h,易知Rt△PMO∽Rt△PHF,所以

=

,即

=

,解得h=

,故选D.

26/372.(太原模拟试题)已知三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,BC

=CD=1,AB=

,则该三棱锥外接球体积为

.答案

解析因为BC=1,CD=1,BC⊥CD,所以BD=

,又AB=

,且AB⊥平面BCD,所以AD=2,AB⊥CD,所以CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,所以三棱锥A-BCD外接球球心为AD中点,半径为1,所以三棱锥A

-BCD外接球体积为

.27/37考点四

数学文化与立体几何经典例题(课标全国Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富数学

名著,书中有以下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及

为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥

四分之一),米堆底部弧长为8尺,米堆高为5尺,问米堆体积和堆

放米各为多少?”已知1斛米体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估

算出堆放米约有

()A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛28/37答案

B解析设圆锥底面半径为R尺,由

×2πR=8得R=

,从而米堆体积V=

×

πR2×5=

(立方尺),所以堆放米约有

≈22(斛).故选B.方法归纳本题属于生活中谷物储存问题,源于《九章算术》第五章“商功”,结

合立体几何中基础知识进行设问,强化了数学文化传承和数学应用

意识培养.我国古代数学强调“经世济用”,包括研究大多与实际

生活、生产联络紧密,表达出显著问题式、综合性特征.29/37跟踪集训我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅,提出了著名祖暅原

理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体高,意

思是两等高立方体,若在每一等高处截面积都相等,则两立方体体积

相等.已知某不规则几何体与如图所表示三视图对应几何体满足“幂

势同”,则该不规则几何体体积为

()A.4-

B.8-

C.8-πD.8-2π30/37答案

C由祖暅原理可知,不规则几何体体积与已知三视图所对应

几何体体积相等.依据题设所给三视图,可知几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱得到,正方体体积为23=8,半圆柱体积为

×(π×12)×2=π,所以不规则几何体体积为8-π,故选C.31/371.(广州综合测试(一))如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线画出

为某几何体正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体体积

为

,则该几何体俯视图能够是

()随堂检测32/37答案

D由题意可得该几何体可能为四棱锥,如图所表示,其高为2,其底

面为正方形,面积为2×2=4,因为该几何体体积为

×4×2=

,满足条件,所以俯视图能够为一个直角三角形.故选D.

33/372.(兰州诊疗考试)某几何体三视图如图所表示,则该几何体表面

积为

()

A.(9+

)πB.(9+2

)π

C.(10+

)πD.(10+2

)π答案

A由三视图可知,该几何体为一个圆柱挖去一个同底圆锥,且

圆锥高是圆柱高二分之一.故该几何体表面积S=π×12+4×2π+

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