导数专题02：利用导数研究恒(能)成立问题+讲义-2025届高三数学三轮冲刺

导数专题02：利用导数研究恒(能)成立问题讲义——高三数学2025届三轮冲刺高频考点复习整合一、核心考点概述恒成立问题：定义：若不等式fx≥gx（或等价转化：fx≥gxfx≤gx能成立问题：定义：若存在x0使得fx0等价转化：fx≥gxfx≤gx导数的作用：求最值：通过导数分析函数的单调性，确定极值点，进而求出最值。分类讨论：根据参数的取值范围，分情况讨论函数的性质。二、6大题型精讲题型1：分离参数法求恒成立问题步骤：将不等式中的参数分离到一侧，转化为求函数最值问题。利用导数求出函数的最值，进而确定参数的取值范围。例题1：已知fx=ex−ax−1，若f不等式化为a≤ex求导得g′x=exx−ℎx在0,+∞上单调递增，且ℎ0=0limx→0题型2：等价转化法求恒成立问题步骤：将不等式转化为函数最值问题，直接求函数的最值。根据最值关系确定参数的取值范围。例题2：已知fx=x2−2ax+lnx，若f不等式化为2a≤x+求导得g′x=x2ℎx在0,12上单调递减，在12,+∞上单调递增，且limx→0+gx=−∞，limx→+∞题型3：双变量恒成立问题步骤：将不等式转化为关于一个变量的函数，求该函数的最值。根据最值关系确定参数的取值范围。例题3：已知fx=−x2+ax+1，gx=不等式化为fxfx在[1,g′x=3x2+当a≥−3e2时，gx在不等式化为−e2+题型4：存在性问题步骤：将不等式转化为存在性问题，求函数的最大值或最小值。根据存在性条件确定参数的取值范围。例题4：已知fx=lnx−ax，若存在x∈1,+∞不等式化为lnx−a求导得g′当a≤0时，g′x>当a>0时，gx在1若1a≤1（即a≥1），则g若1a>1（即0<a<1综上，a≥题型5：恒成立与能成立的综合问题步骤：分别分析恒成立和能成立的条件。结合两者的关系确定参数的取值范围。例题5：已知fx=x2−2ax+1，gx=x2+axfx≥0恒成立⇔存在x0使得gx0≤0⇔结合两者，无解。题型6：复杂函数的最值问题步骤：通过换元法或构造新函数简化问题。利用导数求新函数的最值。例题6：已知fx=ex−x2−ax，若对任意不等式化为a≤ex求导得g′x=x−ℎx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，且ℎgx在−∞,0和0,1上单调递减，在1,+∞故a≤三、解题策略与技巧分离参数法：适用于参数与变量可分离的不等式。需注意分离后的函数是否易于求最值。等价转化法：适用于不等式可转化为函数最值问题的情况。需准确判断函数的最值。分类讨论法：适用于参数取值范围影响函数性质的情况。需合理划分参数的取值范围。换元法：适用于复杂函数，通过换元简化问题。需注意新变量的取值范围。四、易错点剖析分离参数时忽略定义域：例如，分离参数后需考虑分母不为零的情况。求最值时忽略端点：例如，闭区间上的最值需比较端点值与极值。分类讨论时漏解：例如，参数取值范围划分不完整。计算错误：例如，求导时符号错误或计算错误。五、典型例题解析例1：已知fx=lnx−ax，若对任意x∈0,+∞不等式化为a≥lnx求导得g′x=1−lngx在0,e上单调递增，在e故a≥例2：已知fx=ex−ax2，若存在x不等式化为a≥ex求导得g′x=exgx在0,2上单调递减，在2故a≥六、强化训练恒成立问题：已知fx=x2−2ax+能成立问题：已知fx=lnx−ax，若存在x双变量问题：已知fx=x2−ax+1，综合问题：已知fx=ex−x2−