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文档简介
导数专题03：利用导数证明不等式讲义——高三数学2025届三轮冲刺高频考点复习整合一、导数证明不等式的核心原理导数证明不等式的本质在于通过构造函数，将不等式问题转化为函数单调性或最值问题。其核心步骤可归纳为：构造函数：将不等式变形为fx≥0求导分析：计算f′确定最值：结合单调性确定函数在区间内的最值证明结论：利用最值性质证明不等式二、基础题型解析1.基础构造法例题1：证明当x∈0,+∞时，ln构造函数f求导得f当0<x<1时，f函数在x=1因此∀x>变式训练：证明ex>x2.双变量构造法例题2：已知a,b∈R+移项得a构造函数fx=x求导得f化简后发现f′x在x当x>a时，f′x故fx变式训练：证明a2b+三、进阶技巧提升1.含参不等式证明例题3：已知a≥1，证明ex构造函数f求导得f令f′x当x<lna时，f′x最小值f令ga=ga在[1因此fx变式训练：证明xlnx≥2.多次求导法例题4：证明当x>0时，x1左侧不等式：构造函数f一阶导ffx单调递增，右侧不等式：构造函数g一阶导ggx单调递增，变式训练：证明12≤1四、高考真题解析2024年全国卷真题：已知函数fx=lnx−ax解析：变形得a构造函数g求导得g当0<x<1时，g最大值g故a变式训练：已知fx=ex−五、易错点警示定义域问题：必须保证构造函数在给定区间内连续可导例：证明lnx≤最值判断：单调递增函数的最小值在左端点单调递减函数的最大值在左端点需验证端点值是否可取参数讨论：含参不等式需对参数进行分类讨论例：a的正负性可能影响导数符号变形等价性：不等式变形时需保持等价性例：lnx<六、强化训练题库基础题：证明x证明1x+1进阶题：3.已知a,b∈R+，证明a+真题模拟：5.（2023年全国卷）已知fx=lnx−1创新题：6.已知fx=ex−七、答案解析（部分）例题1答案：构造函数fffx在0,1fx例题3答案：构造函数ff最小值点xf令ga=真题解析答案：变形得a构造函数gg最大值g故a八、总结提升核心方法：构造函数法多次求导法含参讨论法关键能力：变形等价性判断最值点分析参数分类讨论备考建议：熟练掌握基本不等式变形强化导数计算能力注重函数图象分析本讲义通过系统讲解导数证明不等式的
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