广东省东莞市众美中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

广东省东莞市众美中学2024−2025学年高二下学期3月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（）A． B． C． D．2．已知数列的通项公式为，若存在正常数，使得对一切都成立，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．3．已知数列是等差数列，且，则的最大值为（）A． B． C． D．14．在等差数列中，前项和为，若，则（）A．18 B．33C．36 D．405．在等差数列中，公差，，下列说法正确的是（）A．是与的等比中项 B．是与的等比中项C．是与的等比中项 D．是与的等比中项6．设数列满足，，，为的前项和，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同；②汽车在时间段内不断加速行驶；③汽车在时间段内不断减速行驶；④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度.其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，函数的图象在点处的切线是，则（

）A． B． C．2 D．1二、多选题（本大题共3小题）9．已知数列的通项公式为，则（）A．B．中的最小项为C．从第三项起，的每一项都大于它的前一项D．数列为等差数列10．已知正项等比数列的公比为，若，且，则（）A． B．C．是数列中的项 D．成等差数列11．是定义在上的连续可导函数，其导函数为，下列命题中正确的是（）A．若为偶函数，则为奇函数B．若的图象关于点中心对称，则的图象关于直线轴对称C．若的周期为T，则的周期也为TD．若，为奇函数，则三、填空题（本大题共3小题）12．在数列中，，则数列前10项和的值为．13．用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是.14．若函数在处的切线与的图象有三个公共点，则k的范围．四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列满足(1)求数列的通项公式(2)若数列满足，求数列的前项和16．已知正项等比数列满足条件.(1)求的通项公式；(2)设，求的最大值及取最大值时的取值.17．在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）．(1)求及；(2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．18．已知函数.(1)求在区间上的平均变化率；(2)求曲线过点的切线方程.19．已知函数．(1)求；(2)求曲线在点处的切线方程；(3)若直线与曲线相切于点，求k的值．

参考答案1．【答案】C【详解】因为所以当，即时，，所以.当，即时，，所以.且时，数列为递减数列，所以该数列的前50项中最大项是.故选C.2．【答案】C【详解】令，则，所以单调递减，．故选C．3．【答案】A【详解】设数列的公差为d，由，得，整理得，把该式看作关于d的一元二次方程，则，解得．故选A．4．【答案】B【详解】设等差数列的首项为，公差为，因为，可得，所以，解得.故选B.5．【答案】A【详解】因为，得到，所以对于选项A，因为，，，又，所以，则，，构成等比数列，故选项A正确，对于选项B，因为，，，又，但，所以选项B错误，对于选项C，因为，，，所以，，不构成等比数列，故选项C错误，对于选项D，因为，，，又，但，所以选项D错误，故选A.6．【答案】D【详解】令由，得到，即，又，，则，，所以，则，又，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，则，由，得到，即，又，所以，故选D.7．【答案】C【详解】根据题意，①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确；②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确；③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确；④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确．故选C．8．【答案】D【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即.所以，，，.故选D．9．【答案】ABD【详解】，对于A，，则，故A正确；对于B，当时，中的最小项为，故B正确；对于C，由上计算得，显然从第三项起，的每一项不一定大于它的前一项，故C错误；对于D，由，显然，所以是公差为4的等差数列，故D正确.故选ABD.10．【答案】BC【详解】由，可得，所以，A错误‘所以，B正确；所以，，故C正确；由，可得，显然不是等差数列，D错误；故选BC11．【答案】ABD【详解】对A，因为为偶函数，所以，都有，两边同时求导，，即，则为奇函数，A正确；对B，因为的图象关于点中心对称，故，两边对求导可得，，即，所以的图象关于直线轴对称，B正确；对C，因为的周期为T，则，故，（为常数），所以当时，不是的周期，C错误；对D，由可得，函数的图象关于点中心对称，因是定义在上的连续可导函数，故，又为奇函数，则的图象关于原点对称，故的图象关于点中心对称，即，故，D正确.故选ABD.12．【答案】【详解】因为，所以，所以.13．【答案】【详解】因为，且可知：的第一个取值为，由题意可知，当时，，所以第一步需验证的不等式为．14．【答案】【详解】，，，所以切线方程为，，，，当，，单调递减，当，，单调递增，所以当时，取得最小值，，所以与只有1个交点，交点坐标为，由题意可知：在有两个不同的解，，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，且在区间的值域为，若与在区间有两个交点，则的范围为.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知可得，故当时，，，，…….，累加后可得，所以，当时，代入成立，所以数列的通项公式为.（2），当时，，此时；当时，，，综上16．【答案】(1)(2)；或11【详解】（1）设的公比为q，由题意得，所以，，所以，．所以．（2）．二次函数的图象的对称轴为，所以当或11时，取得最大值，且最大值为．故的最大值为，取最大值时的取值为10或11.17．【答案】(1)，．(2)，证明见解析【详解】（1）由已知条件得，所以，，可得：，，，可得：，，，可得：；（2）由（1）的计算可以猜想．下面用数学归纳法证明：①当时，由已知可得结论成立；②假设当且时猜想成立，即．则当时，，，因此当时，结论也成立．由①②知，对一切都有成立．18．【答案】(1)4049(2)或【详解】（1）因为，所以在区间上的平均变化率为.（2）易知直线与曲线不相切，故设切点为，，由于，所以在点外的切线方程为：，由切线经过点得：，即，解得或，当时，切点为，，此时满足题意的切线方程为，显然