广东省梅州市平远县实验中学2024−2025学年高二下学期第一次段考 数学试题（含解析）

广东省梅州市平远县实验中学2024−2025学年高二下学期第一次段考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．2．“是“”的（

）A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（

）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形4．已知函数，则（）A．1 B． C．2 D．5．函数在处取得极值10，则（）A．5 B． C．0 D．0或6．甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（

）A．12 B．16 C．18 D．247．8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，则所有可能的分组方案数量是（

）A．28 B．2520 C．105 D．1288．若满足，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列命题正确的有（

）A．B．已知函数在上可导，若，则C．已知函数，若，则D．10．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．在上单调递增B．关于的方程在上有2个相异实根C．的图象关于点对称D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数11．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种D．如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种三、填空题（本大题共3小题）12．曲线在点处的切线方程为.13．学校二楼饭堂有牛扒饭，鸡扒饭和鳗鱼饭三种套餐，甲、乙、丙三位同学从中各选一种，共有种不同的选法.14．若函数有两个零点，则的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性.16．已知分别为三个内角的对边，且.(1)求；(2)若，且的面积为，求.17．身高各不相同的六位同学、、、、、站成一排照相，求符合以下要求的站法.(1)、、三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法；(2)不在排头，不在排尾，共有多少种站法．18．某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(3)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？19．已知函数，，．(1)求的单调区间．(2)若的最大值为1，证明：对任意的，．(3)当时，若恒成立，求实数的取值范围．

参考答案1．【答案】A【详解】令，解得，则，故，因为，所以，故A正确.故选A.2．【答案】A【详解】由，得，即解得或，所以是“”的充分且不必要条件，故选A.3．【答案】B【详解】由余弦定理得，化简得，故，从而的形状为钝角三角形，故选B.4．【答案】A【详解】由，可得：，令可得：，故选A.5．【答案】B【详解】函数，求导得，由在处取得极值10，得，解得或，当时，，函数在R上递增，无极值，不符合题意；当时，得，当或时，；当时，，因此是函数的极小值点，符合题意，所以.故选B.6．【答案】D【详解】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种，其他人听不同的讲座，方法数有种，所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为种.故选D.7．【答案】C【详解】由题意8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，则所有可能的分组方案数量是.故选C.8．【答案】D【详解】设，则恒成立，即，因为，所以在上单调递增，且当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得极小值，即最小值，，令，得．故选D．9．【答案】ACD【详解】对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，由，得，C正确；对于D，，D正确.故选ACD.10．【答案】AB【详解】由的图象得，，解得，所以，又，所以，解得，又，所以，所以，由，解得，即的单调递增区间为，令得，又，所以在上单调递增，故A正确；当，则，令，即，所以在上单调递增，且，所以；令，即，所以在上单调递减，且；所以当时，在上有两个不相等的实根，故B正确；因为，所以的图象关于直线对称，故C错误；将的图象向左平移个单位长度，得的图象，显然为奇函数，故D错误．故选AB.11．【答案】ABD【详解】A，如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故A正确；B.B，如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故B正确；C，如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故C错误；D，如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种，故D正确．故选ABD.12．【答案】【详解】因为在点处的切线方程斜率为，曲线在点处的切线方程为，即得.13．【答案】27【详解】每位同学都有三种选择，所以共有种选法.14．【答案】【详解】因为函数有两个零点，所以方程有两个实根，所以函数与函数的图象有且仅有两个交点，函数的定义域为，函数的导函数为，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，又，当时，，当时，，画出函数与函数的图象，观察图象可得实数的取值范围是．15．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）当时，，则，从而，，故所求切线方程为，即（或）.（2）由题意可得.当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减；当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.16．【答案】(1)(2)或【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，所以，因为，所以；（2）因为，且的面积为，所以且，即，解得或.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意个人全排列有种方法，其中、、全排列有种方法，则、、从左到右按照由高到矮的排列有种方法；（2）个人全排列有种方法，当在排头时，有种方法，当在排尾时，有种方法，当在排头且在排尾时，有种方法，则不在排头，不在排尾的情况共有种.18．【答案】(1)561种(2)2100种(3)2555【详解】（1）从余下的34种商品中，选取2种有（种）取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．（2）从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有（种）取法．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．（3）法一（直接法）：恰好2种假货有种选法，恰好3种假货有种选法，因此，选取方式共有（种）．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种，法二（间接法）：没有假货有种选法，恰好1种假货有种选法，而从35种商品中选取3种有种选法，∴至少有2种假货在内的不同的取法有（种）．19．【答案】(1)在单调递增，在单调递减(2)证明见详解(3)【详解】（1）的定义域为，令得，令得，令得，在单调递