广东省珠海某校2024−2025学年高二下学期第一阶段考试 数学试题（含解析）

广东省珠海某校2024−2025学年高二下学期第一阶段考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（）

A． B．C． D．2．当时，此时不等式等价于.由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象，在上单调递减，即此时当时，，满足题意.综上，不等式的解集是，故选B.2．若a∈N＋，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于（

）A． B．C． D．3．若等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为2，则（

）A． B．9 C．27 D．814．在数列中，，，记为数列的前项和，则（

）A．0 B．18 C．10 D．95．函数的大致图像是（

）A．

B．

C． D．6．数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（）A． B． C． D．7．已知实数，，满足，，，其中为自然对数的底数.则，，的大小关系是（）A． B． C． D．8．有理数都能表示成（其中且与互质）的形式．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化成的形式，从而是有理数，如．已知构成无穷数列，令，为数列的前项和，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法C．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法10．下列结论不正确的是（）A．若数列为等比数列，且前项和，则B．若数列为单调递增的等比数列，则公比C．若数列的前项和，则数列为等差数列D．若是不全相等的非零实数，且成等差数列，则能构成等差数列11．如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（）A．有对称轴B．上任意两点间的距离C．直线被截得弦长的最大值为D．的面积大于三、填空题（本大题共3小题）12．《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有种．13．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则．14．已知对于任意的，存在，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．（1）求满足不等式的正整数的集合；（2）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成满足下列条件的四位数．（i）能被5整除的无重复数字的四位数有多少个？（ii）恰有三个重复数字的四位数有多少个16．已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，.(1)求，的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，求.17．已知数列满足．(1)证明：数列为等差数列；(2)设，记数列的前n项和为．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范围．18．已知函数，．(1)求的极值；(2)讨论的单调性；(3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．19．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而英国物理学家、数学家艾萨克•牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德•莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级数》（TheMethodofFluxionsandInifiniteSeries）一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值．一直继续下去，得到．一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列．(1)已知函数的零点为，，求的2次近似值．(2)函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，．（i）证明：；（ii）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在4项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的4项；若不存在，请说明理由．

参考答案1．【答案】B【详解】1.当时，此时不等式等价于.从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象，在上单调递增，即此时当时，满足题意.2.当时，此时不等式等价于.由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象，在上单调递减，即此时当时，，满足题意.综上，不等式的解集是，故选B.2．【答案】D【解析】由排列公式即可知正确选项.【详解】.故选D3．【答案】D【详解】因为数列为等比数列，所以，解得，并设数列的公比为，因为与的等差中项为2，所以，则，即，解得，故.故选D.4．【答案】C【详解】因为，所以，因为，所以，，，，，，，…，故数列为周期数列，周期为4，所以.故选C.5．【答案】B【解析】先判断出函数的奇偶性，可排除AC，再利用导数得出单调性即可得出结果.【详解】可得的定义域为关于原点对称，且，为奇函数，图象关于原点对称，故AC错误；当时，，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故D错误，B正确.故选B.6．【答案】C【详解】因为所以当，即时，，所以.当，即时，，所以.且时，数列为递减数列，所以该数列的前50项中最大项是.故选C.7．【答案】D【详解】设，可知函数的定义域为，且，因为在定义域上单调递增，且，若，则；若，则；可得在上单调递增，在上单调递减，又因为，，，可得，，，即，，，且，，，可知，且，，，所以.故选D.8．【答案】A【详解】，，，，又，则随n的增大而增大，当时，取最小值，又，则，所以.故选A.9．【答案】AB【详解】对于A：从六门课程中选两门的不同选法有种选法，故A正确；对于B：课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，故可把这三门课程当作一个整体有种排法；再与剩下三门课程进行全排列有种排法，所以根据分步乘法计数原理共有种排法，故B正确；对于C：课程“乐”“射”排在相邻的两周，故可把这两门课程看成一个整体有种排法，再与剩下四门课程进行全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，六门课程的全排列共有种排法，故“乐”“射”排在不相邻的两周有种排法，故C错误；对于D：六门课程的全排列共有种排法，“礼”排在第一周或“数”排在最后一周的排法共有，“礼”排在第一周且“数”排在最后一周的排法共有，故课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周共有种排法，故D错误.故选AB.10．【答案】BCD【详解】对于A选项，已知数列为等比数列，且前项和.等比数列前项和公式为（，），对比可得，解得，A选项正确.对于B选项，若等比数列的首项，公比时，数列也是单调递增的，例如，公比，此时数列单调递增，但，所以B选项错误.对于C选项，已知数列的前项和，当时，.当时，.当时，，所以.由于从第二项起才满足等差数列的通项公式，所以数列不是等差数列，C选项错误.对于D选项，因为，，成等差数列，则，假设，，能构成等差数列，则，把代入上式得，即，又因为，则，即，所以，这与，，不全相等矛盾，所以，，不能构成等差数列，D选项错误.故选BCD.11．【答案】ACD【详解】对于选项A：由，的反函数为，两者关于对称，故A正确.对于选项B：，令，当时，；当时，；可知在上单调递减；上单调递增，注意到，在内有一个零点，另一个零点为，，故B错误.对于选项C：与曲线对称轴垂直，如图，只需考察曲线上到距离大最大值即可，找出过与曲线相切且与平行的点即可，令，令，此时到的距离，直线被截得弦长最大值为，故正确.对于选项D：，故D正确.故选ACD.12．【答案】【详解】若三人选书没有要求，则有种，若三人选择的书完全相同，则有种，所以三人选择的书不全相同，不同的选法有种.13．【答案】4050【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，，则，由，当时，，于是，令，则，因此，所以.14．【答案】【详解】令，则，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以又，且当时，，当时，，即，且当时，，当时，，所以存在唯一，使得，所以，故当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，令，则，当时，，当时，，所以函数上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以实数的取值范围为.15．【答案】（1）；（2）（i）108；（ii）100【详解】（1）原不等式可化为：，即，即，解得，又因为且，所以，

则不等式的解集为．

（2）（i）个位为0时，能被5整除的无重复数字的四位数有个，当个位为5时，能被5整除的无重复数字的四位数有个，综上，能被5整除的无重复数字的四位数有个；

（ii）重复数字为0时，满足条件的四位数有个，重复数字不为0，但数中有0时，满足条件的四位数有个，重复数字不为0，数中也无0时，满足条件的四位数有个，综上，恰有三个重复数字的四位数共有个.16．【答案】(1)，(2)【详解】（1）因为，所以时.当时，，所以，，满足，所以，数列是正项等比数列，.所以公比，.（2）由（1）知，，.17．【答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii）【详解】（1）因为，即，所以数列是以为首项，3为公差的等差数列.（2）（i）由（1）知，所以，所以，所以，，所以，所以.（ii）因为，所以，令，不妨设的第项取得最大值，所以，解得，所以的最大值为，所以，即m的取值范围是.18．【答案】(1)极小值为，无极大值(2)答案见解析(3)【详解】（1）函数，定义域为，，时，，时，，有极小值，无极大值；（2）函数的定义域为，求导得，当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（3）当时，，不等式，令函数，依题意，，恒成立，求导得，令，求导得，函数在上单调递增，而，则存在，使，即，此时，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，因此，由，得，则，，所以的取值范围是.19．【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）不存在，理由见解析【详解】（1）函数，求导得，则，而