福建省龙岩市第三中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

福建省龙岩市第三中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．函数在处的瞬时变化率为，则（

）A． B． C． D．2．如图，在直三棱柱中，若，，，则等于（）A． B．C． D．3．下列求导运算正确的是()A．2x−1x+C．3x′=3ln4．直线是曲线的一条切线，则实数的值为A．-1 B． C． D．15．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．6．已知是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（

）（1）函数一定有三个零点；

（2）函数一定有三个极值点；（3）函数有最小值；

（4）函数有最大值；（5）函数的图象一定经过坐标原点．

A．1 B．2 C．3 D．47．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或8．若图象上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列函数在处的切线倾斜角是锐角的是（

）A． B．C． D．10．已知函数，下列结论中正确的是（

）A．是奇函数 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．的最大值为11．已知函数，下列说法正确的是（

）A．，方程有解B．若，且有极小值点，则在上单调递减C．若且，则存在极大值和极小值D．若，则的图象是中心对称图形三、填空题（本大题共3小题）12．曲线在点M(π，0)处的切线方程为．13．设是奇函数的导函数，，且对任意都有，则，使得成立的x的取值范围是．14．如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则.

四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数（1）求的图象在点处的切线方程；（2）求在上的最大值与最小值.16．已知函数.（Ⅰ）若在处有极小值，求实数的值；（Ⅱ）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围．17．某个体户计划经销两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，在经销商品中所获得的收益分别为万元与万元，其中，．已知投资额为零时收益为零．（1）求的值；（2）如果该个体户准备投入万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．18．已知函数，.(1)判断的零点个数，并说明理由；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求a的取值范围.19．已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．

参考答案1．【答案】D【详解】因为，则，因为函数在处的瞬时变化率为，则，解得.故选D.2．【答案】C【详解】，又，，，所以.故选C.3．【答案】B【解析】对于A，2x−1x对于B，[x+3对于C，3x′=3对于D，x2cosx′=2x4．【答案】D【详解】切线的斜率为，令，故切点为，代入曲线方程得.5．【答案】C【详解】因为，定义域为，则为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；由，故排除A；，当时，可得，当时，为增函数，故排除D.故选C.6．【答案】B【详解】根据导函数的图象可知，当时，，所以函数在上单调递减，当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，当时，，所以函数在上单调递增，所以都是函数的极值点，因此（2）的说法正确；函数的图象可能都在x轴上方，其零点个数可能是0个，即（1）的说法错误；由以上分析知，函数的图象不一定过原点，即（5）的说法错误；由单调性可知，和都是函数的极小值点，所以都是函数的极小值，因此函数有最小值，且为中的较小者，无最大值，所以（3）的说法正确，（4）的说法错误．综上可得，只有（2）（3）的说法正确．故选B．7．【答案】B【详解】，，令，即，若函数有两个极值点，即有两个变号的正根，即，解得：.故选B.8．【答案】A【详解】根据题意，若要求“友情点对”，可把时的函数图像关于原点对称，研究对称过去的图像和时的图像有两交点即可，关于原点对称的解析式为，考查的图像和的交点，可得，，令，所以，，为减函数，，，为增函数，，其图象为，故若要有两解，只要即可，故选A.9．【答案】BC【详解】由可得，则，故在处的切线倾斜角是钝角，A错误；由可得，则，故在处的切线倾斜角是锐角，B正确；由可得，则，故在处的切线倾斜角是锐角，C正确；由可得，则，故在处的切线倾斜角是钝角，D正确；故选BC.10．【答案】AB【详解】,是奇函数,A选项正确;,,单调递增,B选项正确;单调递减,C选项错误;,D选项错误.故选AB.11．【答案】BCD【详解】A：当，时，，此时无解，错误；B：由，又，则开口向下，由有极小值点，则从左侧到右侧，函数值由负变正，综上，结合二次函数的性质知：的函数值从左到右依次由负变正，再由正变负，所以左侧，即在上单调递减，正确；C：中，，故必有两个不等实根，若，当，则为极大值点，为极小值点；当，则为极小值点，为极大值点；正确；D：，由的对称轴为，则，所以关于对称，正确；故选BCD.12．【答案】【详解】由函数的解析式可得：，所求切线的斜率为：，由于切点坐标为，故切线方程为：.13．【答案】3【详解】解：∵是奇函数，∴，设，则，，∴在上单调递减，由得，即，∴，得.14．【答案】/0.25【详解】分别为的中点，则，

由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接，由已知和为正三角形，则，又，且平面，则平面，又平面则，即，则.15．【答案】（1）；（2）.【详解】（1），，所以，函数的图象在点处的切线的斜率为，，所以，函数的图象在点处的切线方程为，即；（2），.当时，；当时，.所以，，因为，，所以，，则，所以，函数在上的最大值为.16．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【详解】（Ⅰ）依题意得，即解得，故所求的实数；（Ⅱ）由（Ⅰ）得∵在定义域内单调递增

∴在上恒成立即恒成立∵时，，∴所以实数的取值范围为.17．【答案】（1）a＝2，b＝1；（2）答案见解析.【详解】(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6lnb＝0，解得a＝2，b＝1.(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．18．【答案】(1)0，理由见解析(2)【详解】（1），，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，，故函数没有零点.（2），单调递减，故，即；当时，恒成立，故函数单调递增，故，即，故，则，解得，即.19．【答案】（1）上单调递增，上单调递减；（2）.【详解】（1）当时，,令，得,当时，,当时，,∴函数在上单调递增，在上单调递减；（2）[方法一]【最优解】：分离参数,设函数,则,令，得,在内，,单调递增；在上，,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,即,所以的取值范围是.[方法二]：构造差函数由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解．构造函数，则．当时，在区间内单调递增，所以在内最多只有一个零点，不符合题意；当时，，令，得，当时，；当时，，所以函数的递增区间为，递减区间为．由于，当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即．构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且．所以实数a的取值范围为．[方法三]分离法：一曲一直曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解．因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点．①当时，与只有一个交点，不符合题意．②当时，取上一点在点的切线方程为，即．当与为同一直线时有得直线的斜率满足时，与有且仅有两个交点．记，令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所以当且时，．综上所述，实数a的取值范围为．[方法四]：直接法．因为，由得．当时，在区间内单调递减，不满足题意；当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减．因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即．令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所