广西壮族自治区来宾市高中2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析）

广西壮族自治区来宾市高中2024−2025学年高二下学期4月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若，则m等于（

）A．6 B．5 C．4 D．32．已知函数在处的导数为2，则（

）A．0 B． C．1 D．23．四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，不同的报名方法的种数是（

）A．64 B．81 C．24 D．124．在的展开式中，含的项的系数是（

）A． B． C． D．5．曲线在点处的切线的方程为A． B． C． D．6．已知数列满足，则等于（

）A．6 B．11 C．22 D．437．在等差数列，中，，其前项和为，若，则（）A．12 B．18 C．30 D．368．已知函数，，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．下列函数求导错误的是（

）A． B． C． D．10．定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．函数在区间单调递增B．函数在区间单调递减C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值11．已知等差数列前n项和为，公差为，是和的等比中项，则（

）A． B．数列是递增数列C． D．有最大值为12．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（）A． B．C． D．三、填空题（本大题共4小题）13．在等比数列中，，则.14．展开式中各项系数之和.15．6名同学排成一排，其中甲､乙两人不相邻的排法共有种方法；16．已知曲线在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为．四、解答题（本大题共6小题）17．已知的展开式中共有9项.(1)求的值；(2)求展开式中的系数；(3)求二项式系数最大的项.18．已知函数．(1)求的单调区间；(2)求函数的极值；19．已知数列的前项和为，且．(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列满足，求的前项和．20．已知中，角的对边分别是，且.(1)求角的大小；(2)若为的中点，，求的面积.21．如图，在四面体中，面ABC，.(1)求证：面面PBC；(2)若，于D，求平面和平面夹角的余弦值.22．已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率.(1)求椭圆C的方程；(2)过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围.

参考答案1．【答案】C【详解】因，有，则，解得，所以.故选C.2．【答案】C【详解】.故选C.3．【答案】B【详解】四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队,每人限报一项，故每人有3种报名方法，共有种不同的报名方法;故选B.4．【答案】B【详解】根据多项式的乘法，5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得项．常数项共5种取法，合并同类项得项的系数为.故选B.5．【答案】C【详解】，,,则在点处的切线的方程为即故选.6．【答案】C【详解】已知，为奇数，根据递推公式，可得.为偶数，根据递推公式可得.为奇数，根据递推公式可得.为偶数，根据递推公式可得.为奇数，根据递推公式可得.故选C.7．【答案】D【详解】设等差数列的公差为，则，所以，，所以，故选D.8．【答案】C【详解】，得，所以，，，所以函数在单调递增，所以，即，即，即，且，得且.故选C9．【答案】ACD【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选ACD.10．【答案】ABD【解析】根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项.【详解】根据导函数图像可知，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D选项正确，C选项错误.故选ABD.11．【答案】AC【详解】设等差数列的公差为，由是和的等比中项可得，可得，即，即A正确；对于B，由A可知，因为不知道的正负，因此公差的符号不确定，所以数列的单调性不确定，即B错误；对于C，易知，所以C正确，对于D，根据B选项可知数列的单调性不确定，因此不一定有最大值，可得D错误.故选AC.12．【答案】ABC【详解】对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，故选ABC.13．【答案】【详解】因为等比数列中，，所以，解得.14．【答案】【详解】令，则展开式中各项系数之和为.15．【答案】480【详解】先将除甲、乙之外的4人排队，共有种不同的排法，再将甲、乙两人份插入到已经排好的4人形成的5个空位上，有种不同的方法，所以根据分步乘法原理，所有的排法共种.16．【答案】11【详解】解法一：，则，设，依题意，所以，则，显然，则，因为，所以的图象关于点中心对称，所以点与点关于点对称，所以，则，所以点的纵坐标为11.解法二：，则，因为，所以在上单调递增，令，设其根为，则.因为在点处的切线与在点处的切线平行，所以存在两实根，其中一个为，设另一个为．即两根为，由韦达定理得，则，所以，所以点的纵坐标为11.17．【答案】(1)；(2)112；(3)【详解】（1）由题意得，解得.（2）由（1）可知展开式的通项为.令，解得，则.故展开式中的系数为112.（3）根据题意可得二项式系数最大的项为.18．【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为；(2)极大值为，极小值为．【详解】（1）函数的定义域为，又，当或时，，当时，，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）由（1）可知当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为．19．【答案】(1)证明见解析;(2).【详解】（1）当时，，即，当时，联立①－②，可得，即，所以，又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）可得，则，，所以．【方法总结】分组求和法一个数列既不是等差数列也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并．常见类型如下：(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}分别为等差数列、等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．20．【答案】(1)(2)【详解】（1）根据题意由正弦定理得，因为，所以，即，即，因为，所以，又因为所以，而，所以.（2）解法一：由为的中点知，两边同时平方得，即，所以，又在，由余弦定理得，所以，所以的面积为.解法二：在中，由余弦定理可得，整理得①在中，，在中，，而，所以，故，即②,由①②得，，所以的面积为.21．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1），，面ABC，，面，面PAC，面面PBC.（2）由题意知，，，则.以C为坐标原点，为x轴，为轴，过点垂直于底面的线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，设，则，，，设平面DAC的法向量为，则，令，则，，同理平面的法向量为，设平面和平面夹角为，则，平面和平面夹角的余弦值为.22．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，即，又，即，，，故椭圆C的方程为.