河北省承德市双滦区实验中学2024−2025学年高二下学期数学3月月考数学试卷（含解析）

河北省承德市双滦区实验中学2024−2025学年高二下学期数学3月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知函数，则（

）A． B．1 C．2 D．32．已知函数在处的切线方程为，则（）A．0 B． C． D．3．下列导数运算正确的是（

）A． B． C． D．4．已知，且，则（

）A． B． C． D．5．函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．6．若函数不存在极值，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．8．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入与年产量x的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（

）A．150 B．200 C．250 D．300二、多选题（本大题共3小题）9．下列求导运算不正确的是（

）A． B．C． D．10．设函数，则（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，11．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若，则函数没有极值B．若，则函数有极值C．若函数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是D．若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是三、填空题（本大题共3小题）12．若曲线在点处的切线方程是，则．13．已知函数满足，且当时，，设，，，则的大小关系是．14．已知函数，令，若函数有四个零点，则实数的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数在点处的切线与直线垂直．(1)求；(2)求的单调区间和极值．16．某工厂计划投资一定数额的资金生产甲，乙两种新产品.甲产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本（单位：万元）满足：（，为常数，，）；乙产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本（单位：万元）满足：.已知投资甲产品为1万元，10万元时，获得的利润分别为5万元，16.515万元.(1)求，的值；(2)若该工厂计划投入50万元用于甲，乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10万元，问怎样分配这50万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？（参考数据：，）17．函数，其图象在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式；(2)若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.18．设函数f（x）＝tx2+2t2x+t﹣1（x∈R，t＞0）．（Ⅰ）求f（x）的最小值h（t）；（Ⅱ）若h（t）＜﹣2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围．19．已知函数.(1)若的极小值为-4，求的值；(2)若有两个不同的极值点，证明：.

参考答案1．【答案】C【详解】解：因为函数，所以，故选C.2．【答案】B【详解】因为函数在处的切线方程为，此时直线方程的斜率为，所以.故选B.3．【答案】C【详解】对于A，因为(为常数),所以，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选C.4．【答案】A【解析】先求出导函数，再代入可求得值.【详解】因为,,,解得，故选A.5．【答案】B【详解】函数，定义域为，，，解得，所以函数的单调递增区间为.故选B.6．【答案】A【详解】函数，则，因为函数不存在极值，则在上恒成立，则，得.故选A.7．【答案】B【详解】法一：由题意，，对于，当，即时，，在上单调递增，所以，即，因此；当，即时，由、且，则在上有两个不相等的实根，，不妨设，则上，上，上，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由此，，.由，则，同理可得，所以，，则，解得，与矛盾.综上，.法二：由题意得：，.当时，，即，所以；，又，，即，所以.综上，，即，得.故选B.8．【答案】D【详解】由题意得，总利润为，当时，，则，令，得；令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则时，；当时，，函数单调递减，所以，所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大．故选D.9．【答案】ACD【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误．故选ACD.10．【答案】ACD【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，，当或时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确；对D，当时，，所以，正确；故选ACD.11．【答案】ABD【解析】先对进行求导，再对进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.【详解】解：由题意得，函数的定义域为，且，当时，恒成立，此时单调递减，没有极值，又当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，∴有且只有一个零点，当时，在上，，单调递减，在上，，单调递增，当时，取得极小值，同时也是最小值，∴，当x趋近于0时，趋近于，趋近于，当x趋近于时，趋近于，当，即时，有且只有一个零点；当，即时，有且仅有两个零点，综上可知ABD正确，C错误．故选ABD．12．【答案】2【详解】函数的定义域为，由曲线在点处的切线方程是得切线斜率为2，，由得，所以，解得，又，解得，所以.13．【答案】【详解】，，因为，故在上是增函数，，，即．14．【答案】【详解】当时，，可理解为函数与直线的交点问题（如图）令，有，设切点的坐标为，则过点的切线方程为，将点坐标代入可得：，整理为：，解得：或，得或，故，而，两点之间的斜率为，故.15．【答案】(1)(2)单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值【详解】（1），则，由题意可得，解得；（2）由，故，则，，故当时，，当时，，当时，，故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，故有极大值，有极小值.16．【答案】(1)，(2)甲，乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元【详解】（1）由题意知，，整理得，解得，；（2）设甲产品投资万元，乙产品投资万元，且，则该公司获得的利润，；则在上单调递减，令，解得或（舍去），当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴，∴当甲，乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，且，所以，解得，，所以．（2）由（1）知，可得，，则由题意可得有三个不相等的实根，即的图象与轴有三个不同的交点，，令，得或；令，得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，则函数的极大值为，极小值为，要使的图象与的图象有三个不同交点，则有：，解得，所以实数的取值范围为.18．【答案】（Ⅰ）h（t）＝﹣t3+t﹣1；（Ⅱ）m＞1．【详解】解：（Ⅰ）∵f（x）＝t（x+t）2﹣t3+t﹣1（x∈R，t＞0），∴当x＝﹣t时，f（x）取最小值f（﹣t）＝﹣t3+t﹣1，即h（t）＝﹣t3+t﹣1；（Ⅱ）令g（t）＝h（t）﹣（﹣2t+m）＝﹣t3+3t﹣1﹣m，由g′（t）＝﹣3t2+3＝0得t＝1，t＝﹣1（不合题意，舍去）当t变化时g′（t）、g（t）的变化情况如下表：t（0，1）1（1，2）g′（t）+0﹣g（t）递增极大值1﹣m递减∴g（t）在（0，2）内有最大值g（1）＝1﹣mh（t）＜﹣2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立，即等价于1﹣m＜0所以m的取值范围为m＞1．19．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1），当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.当时，取得极小值，由，解得或（舍去）.故的值