黑龙江省哈尔滨德强高级中学2024−2025学年高二下学期4月月考考试 数学试卷（含解析）

黑龙江省哈尔滨德强高级中学2024−2025学年高二下学期4月月考考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（

）A．4个 B．9个 C．12个 D．16个2．用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（

）A．652 B．648 C．504 D．5623．的展开式中的系数为（

）A． B． C．100 D．1204．的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（）A． B． C． D．5．某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队,平均分到甲、乙两个村进行义务支教,其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师,则不同的分配方案有()A．72种 B．36种 C．24种 D．18种6．设，，，则（

）A． B． C． D．7．给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（）A．216种 B．180种 C．192种 D．168种8．已知函数，若不等式在上恒成立，则参数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．的展开式中，下列结论正确的是（）.A．展开式共7项 B．含项的系数为480C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为12810．现有个编号为，，，的不同的球和个编号为，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（）A．共有种不同的放法B．恰有一个盒子不放球，共有种放法C．每个盒子只放一个球，恰有个盒子编号与球的编号相同，不同放法有种D．将个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有种11．中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n是行数，r是列数，）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（

）A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致B．第10行从左边数第三个数为C．D．三、填空题（本大题共3小题）12．二项式，若，则．13．已知随机事件，则..14．若数列共项，，且对任意中0的个数不少于1的个数，则称数列为“广义和谐01数列”.若“广义和谐01数列”中，，其中有项为0，有项为1，则称数列为“和谐01数列”.用表示个个1构成的“广义和谐01数列”的个数，当时，则（用含的式子表示）.四、解答题（本大题共5小题）15．已知各项均为正数的等比数列满足，，数列为等差数列，满足，.(1)求数列与的通项公式；(2)若数列和中相同的项由小到大排列组成新数列，求数列的前n项和.16．从，，等8人中选出5人排成一排.（1）必须在内，有多少种排法？（2），，三人不全在内，有多少种排法？（3），，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法？（4）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？17．设.(1)求；(2)若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值；(3)若，求.18．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的左支交于两点，点在上，为坐标原点，且（为实数）．(1)若的周长为，求的值．(2)是否存在使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)若正项数列满足，点在双曲线上，，求证：．19．已知是自然对数的底数，常数，函数.(1)求、的单调区间；(2)讨论直线与曲线的公共点的个数；(3)记函数、，若，且，则，求实数的取值范围.

参考答案1．【答案】B【详解】根据题意可知，若复数表示虚数，则；第一步，从中任取一个数作为，共有3种选法；第二步，再从剩余的三个数任取一个作为，共有3中选法，所以共有种.故选B.2．【答案】B【详解】用0，1，…，9十个数字，先取百位数有9种情况，因为无重复数字再取十位数有9种情况，最后个位数字有8种情况。所以可以组成无重复数字的三位数的个数为.故选B.3．【答案】A【详解】解法一，由于的展开式的通项，故的展开式中的系数为；解法二，若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得；若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得.故的展开式中的系数为，故选A.4．【答案】A【详解】，故分别为.故选A.5．【答案】B【解析】经典题型：排列组合中的分组分配问题依题意,2名语文老师,每个村1名,有2种分法.3名数学老师和3名体育老师,分成两组,要求数学老师和体育老师都有,则分1名数学老师,2名体育老师和2名数学老师和1名体育老师;若甲村有1名数学老师,2名体育老师,则有=3×3=9(种)分法,其余的分到乙村;若甲村有2名数学老师,1名体育老师,则有=3×3=9(种)分法,其余的分到乙村.则不同的分配方案有2×(9+9)=36(种),故选B.6．【答案】B【详解】，，，故，，要比较与的大小，即比较与的大小，等价于比较与的大小，等价于比较与的大小，又，故，即，即，另解：故.故选B.7．【答案】D【详解】先对3，4，5染色，有种方法，若2和3同色，则不同的染色方法有种，若2和3不同色，则不同的染色方法有种，综上，不同的染色方法有种．故选D.8．【答案】D【详解】由，，得，如图，作和在上的图象，由题意，的图象在图象上方，随值移动，①当图象在图象左侧，移动到与相切时，设与相切，，设切点为，则且由图象，所以，，结合图象，．②当图象在图象右侧，若与相交于点，，得，结合图象，，综上，.故选D．9．【答案】CD【详解】对于：由二项式的展开式共有8项；所以选项错误.对于：由二项式，可得展开式的通项为：，.令，可得，则项的系数为，所以选项错误.对于：令，可得，所以无常数项，所以选项正确.对于：二项式系数和为，所以选项正确.故选.10．【答案】BCD【详解】对于A，每个球都有5种放法，共有种放法，故A错误；对于B，把球全部放入盒子内，恰有一个盒子不放球，则有4个盒子每个盒子放1个球，有种放法，故B正确；对于C，每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有种放法，故C正确；对于D，将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒，即有4个盒子每个盒子放1个球的放法有5种，故D正确.故选BCD.11．【答案】BCD【详解】对于A，“杨辉三角”每行数左右对称，由1开始逐渐变大，而“莱布尼茨三角形”每行数左右对称，从第3行开始，由行数的倒数开始逐渐变小，A不正确；对于B，“莱布尼茨三角形”的一个数是它脚下两数的和，则第9行的第二个数为，第10行的第二个数为，于是得第10行的第三个数为，B正确；对于C，，，C正确；对于D，，D正确.故选BCD.12．【答案】【详解】由可得其展开式通项，令时，，可得，解得，令时，.13．【答案】//【详解】由概率的乘法公式得，因为，，则，所以由条件概率公式得.14．【答案】【详解】依题意，最后一位只能排“1”，则，此时或，因此，，下面先求：先将“0”排好，得，其中个“0”，个“”，2个“1”有两种排法：①整体插入其中一个中“”，共有种方式；②在个“”中任取两个，各插入一个“1”，共有种方式，于是，所以.15．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）设各项均为正数的等比数列的公比为，由，得，解得或（舍去），所以.设等差数列的公差为，由，得，解得，则，所以，所以与的通项公式分别为，.（2）设数列的第m项与数列的第k项相同，即，m，，则.要使成立，只需m为偶数，因此数列和中相同的项从小到大依次为，，，，，即是首项为9，公比为的等比数列，所以，.16．【答案】（1）4200种；（2）5520；（3）240；（4）4440【解析】（1）只需从余下的7人中选4人出来排列即可；（2）采用间接法；（3）先从余下5人中选2人有种不同结果，由于，必须相邻，与，都不相邻，利用捆绑法、插空法即可解决；（4）分所选的5人无A、B，有A、无B，无A、有B，有A、B四种情况讨论即可.【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排列有种不同的排法，故由乘法原理可知共有种不同排法；（2）从8人中任选5人排列共有种不同排法，，，三人全在内有种不同排法，由间接法可得，，三人不全在内共有种不同排法；（3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，，必须相邻，有种不同排法，由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3各空位中有种不同排法，由乘法原理可得共有种不同排法；（4）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法；第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，若A不排中间时，有种排法，共有种排法；综上，共有4440种不同排法.17．【答案】(1)(2)20，21，22(3)【详解】（1）由，令，可得；令，可得；所以.（2）由题意知的展开式的通项为，，所以，.因为是中唯一的最大值，可得，即，解得，所以的所有可能取值为20，21，22.（3）由题意可得：，所以，，则.因为，所以.18．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析(3)证明见解析【详解】（1）由题意可得直线恒过双曲线的左焦点，由双曲线的定义可得，两式相加，得，则的周长为，故．由可得，设，，则，即，，，易知，故．，解得．（2）不存在使得为定值，理由如下：设，由，可得，，．点在双曲线上，，即，即．要使为定值，只需，即，解得．但不满足，故不存在满足条件的．（3）由点在双曲线上可得，为等差数列，首项为2，公差为2，故，．．当时，,又，．19．【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是；的单调递减区间是，单调递增区间是(2)无公共点(3)【分析】（1）求导后根据导数的正负即可判断函数的单调性；（2）设出函数，根据该函数的最小值与1的关系即可得解；（3）结合前两问，设，可得，有，则可得到使时的对应中的，即有，设，可将双变量换为单变量，即可将转化为，通过构造新函数可得，即可得，构造，研究导数可得，即可得解.【详解】（1）函数的定义域为.，，当时，，当时，，的单调递增区间是，单调递减区间是；函数的定义域为，常数，当时，，当时，.的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）设，它的定义域为，当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，的最小值为，不成立，即方程无实数解，故方程无实数解，直线与曲线无公共点；（3）根据已知，的定义域为，设，由（2）得，且