江苏省扬州市树人高级中学2024−2025学年高二下学期第一次阶段检测 数学试卷（含解析）

江苏省扬州市树人高级中学2024−2025学年高二下学期第一次阶段检测数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．函数的导函数是（

）A． B．C． D．2．已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（

）A． B． C． D．3．已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．5．如图所示，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（）A． B． C． D．6．函数的极小值点是（）A．1 B．（1，﹣） C． D．（﹣3，8）7．已知函数满足：，，则不等式的解集为A． B． C． D．8．设函数，若，且的最小值为，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．如果曲线在点处的切线过点，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．10．有下列命题，其中真命题的有（

）A．若，则A，B，C，D四点共线B．若，则A，B，C三点共线C．若为不共线的非零向量，，则//D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式k1＋k2＋k3＝，则k1＝k2＝k3＝011．已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（

）A．若有3个零点，则a的范围为B．时，是的极值点C．时.有唯一零点且D．时，恒成立三、填空题（本大题共3小题）12．若某物体运动规律是S=t3-6t2+5（t＞0），则在t=时的瞬时速度为0．13．已知空间向量满足，，则与的夹角为．14．若存在实数a，对任意，不等式恒成立，则实数b的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数在处的切线平行于直线.(1)求的值；(2)求的极值.16．已知函数.（1）求曲线y=f(x)在点P(1，-2)处的切线方程；（2）过点P(2，2)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程.17．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足．(1)判断，，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．18．已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)讨论函数的零点个数．19．给出下列两个定义：I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；(3)已知函数.①若的“自导函数”是，试求的取值范围；②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

参考答案1．【答案】B【详解】.故选B.2．【答案】B【详解】.故选B.3．【答案】B【解析】先求导可得,则可转化问题为在上有解,进而求解即可【详解】由题得,,因为,则若函数在区间存在单调递减区间,即在上有解,即存在,使得成立,设,则,当时,,所以,即,故选B.4．【答案】C【详解】∵，∴.令，得.则函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.选项A：违背函数在区间上单调递减.判断错误；选项B：违背函数在区间上单调递减.判断错误；选项C：函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.判断正确；选项D：违背函数在区间上单调递减.判断错误.故选C.5．【答案】A【详解】由题意可得：=.故选A.6．【答案】A【详解】，由得函数在上为增函数，上为减函数，上为增函数，故在处有极小值，极小值点为1.7．【答案】A【详解】是减函数，由得：故选A.8．【答案】B【详解】因为，作出的大致图象，如图，

令，由图象可得，因为，所以，即，则，令，则，令，解得，当，即时，，则，单调递减，则，解得，符合；当，即时，当时，；当时，；故在单调递减，在单调递增，则，解得，不符合；综上，.故选B.9．【答案】CD【详解】因为切点为，所以，故A正确；而为切线上的点，不一定为切点，故C错误；由切线经过和可得切线斜率，所以由导数的几何意义知，，故B正确D错误.故选CD.10．【答案】BCD【详解】根据共线向量的定义，若，则AB//CD或A，B，C，D四点共线，故A错；由且、有公共点A，故B正确；由，所以//，故C正确，若条件等量关系中系数不都为0，则k1＋k2与k3不可能共线，显然与题设矛盾，故D正确．故选BCD.11．【答案】AC【详解】令，则，记则所以在单调递增，且值域为，在上单调递减，在上单调递增，且在上的值域为若有3个零点，则，故A对.当时，，，在单调递增，在单调递减.当时，最小值为0，故可知，所以在上单调递增，无极值点，故B错.当时，，，在单调递增，在单调递减.当时，最小值为1，故可知，所以在上单调递增，此时有唯一的零点，且，由零点存在性定理可知，故C对.当时，，，故D错.故选AC.12．【答案】4【详解】解：∵质点按规律S=t3-6t2+5运动，∴S′=3t2-12t，令S′=3t2-12t=0，解得t=4，(t=0舍去)∴质点在4s时的瞬时速度为0．13．【答案】/60°【详解】由，即首尾相连可构成三角形，所以，又，故.14．【答案】【详解】，，即，令，则，时，，单调递增，且，令，则，且，，所以存在使得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，且，故，画出各个函数图像，如图所示：当时，直线恒位于的图象上方，的图象下方，b代表直线在y轴上的截距，当直线变化时，观察得当直线过，且与曲线相切时，b最小．设切点为，则，整理得，令，则，，而当时，，，，故当|时，，所以当时，为增函数，所以有唯一的零点1，所以，切点为，此时直线方程为，故．15．【答案】(1)(2)的极大值为，极小值为【分析】（1）由导数的几何意义计算即可；（2）利用导数研究函数的极值即可.【详解】（1）由已知可得，而直线的斜率为，所以；（2）由（1）得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故极大值为，极小值为.16．【答案】（1）；（2）与.【详解】解：（1）由题意可知，则在处的切线斜率，则在点P(1，-2)处的切线方程为：，即切线方程为：.（2）因为，所以设切点为，斜率为则所求切线方程为：①因为切线过点P(2，2)，所以有解得：或代入①化简可得切线方程为：或.17．【答案】(1)，，共面(2)点M在平面ABC内【详解】（1）由题知，则，即，所以，，共面．（2）由（1）知，，共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．18．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【详解】（1）由题意，在中，当时，，则在R上单调递增；当时，令，解得：，当时，单调递减；当时，单调递增．综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）在中，当时，，当时，无解，∴无零点．当时，．令，在中，，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，且，∵当时，时，，∴当即时，无零点，当即时，有一个零点；当即时，有两个零点；当，即时，有一个零点．综上所述，当时，无零点；当或者时，有一个零点；当时，有两个零点．19．【答案】(1)答案见详解；(2)既不充分也不必要条件；证明见详解；(3).【分析】（1）由和，结合题设中函数的定义，即可得到答案；（2）由成立，得到，设，得出为“单向导函数”，再设，得到为“双向导函数”，结合不是常值函数，求得不是的必要条件；再由成立，得到，进而得出结论；（3）①由题意得到，求得；②由题意求得且，令，求得，得到存在使得，进而得到单调性，分类讨论，即可求解.【详解】（1）对于函数，则，这两个函数的定义域都是，所以函数为“同定义域函数”，此时，，由函数的定义，对于，无法同时成立，所以为“单向导函数”，其“自导函数”为，对于函数，则，因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”；（2）若成立，，则，设，则，所以为“单向导函数”，又设，则，所以为“双向导函数”，但不是常值函数，所以不是的必要条件；若成立，则，所以，所以，所以不成立，所以是的既不充分也不必要条件；（3）①由题意，，且，所以，所以；②由题意，所以且，令，可得，且，因为为单调递增函数，且，所以存在使得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增，（i）当时，即，所以，此时，在上单调递增，可得；（ii）当时，，此时，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，又由，所以；（iii）当且时，，所以函数在上存在两个极值点，若，即时，极大值点为；若，即时，极大值点为，则为函数的极大值或，由当时，，令，则，设，则，所以，即单调递增，所以，所以单调递增，所以，综上可得，，所以实数的取值范围为.【方法总结】对于利用导数研究不等式的恒