山东省郓城第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试 数学模拟题(一)（含解析）

高二下学期期中考试模拟题(一)考试范围：人教A版(2019)选择性必修二第五章+选择性必修三第六章一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数fx在点x=2处的切线方程为2x+y−1=0，则f′2+fA.−5 B.−3 C.3 D.52.已知函数f(x)=3x3−ax2+x−5在区间[1,2]A.(−∞,5) B.(−∞,5] C.−∞,374 3.若函数f(x)=13x3−x2在区间A.(−3,2) B.[−3,2) C.[−1,2) D.(−1,2)4.函数y=f(x)的导函数y=f​′(x)的图象如图所示，以下命题错误的是(

)

A.f(−1)是函数的最小值

B.f(−3)是函数的极值

C.y=f(x)在区间−3,1上单调递增

D.y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于05.下列四个不等式①lnx<x<ex，②ex−1≥x，A.1 B.2 C.3 D.46.今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为(

)A.12 B.24 C.28 D.367.把座位编号为1，2，3，4，5，6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号的，那么不同分法种数为(

)A.240 B.144 C.196 D.2888.2x+1A.−120 B.−60 C.120 D.60二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列有关导数的运算正确的是(

)A. B.

C.(xx+e210.对于函数f(x)=lnxx，下列说法正确的是A.f(x)在x=e处取得极大值1e B.f(x)有两个不同的零点

C.f(4)<f(π)<f(3) D.11.若(1−2x)5=aA.a0=1 B.a1+a2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数y=x2(x>0)的图像在点(an,an2)处的切线与x轴交点的横坐标为a13.已知fx=lnx−x4+34x，gx=−14.(x2+x+y)5的展开式中，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数fx=(1)求a的值；(2)求函数fx的图象在点2,f216.(本小题15分)已知函数fx=alnx+12x+32x+1，其中a∈R，曲线y=fx在1,f1处的切线垂直于y轴17.(本小题15分)已知函数f(x)=12(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a>0时，证明：f(x)⩾2−(3)若函数F(x)=ax2−x−f(x)有两个极值点x1，x18.(本小题17分)已知(ax2+1(1)求n和a的值;(2)求(2x−1x19.(本小题17分)一组学生共有7人．(1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？(2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有648种，问该组学生中男、女生各有多少人？

高二下学期期中考试模拟题(一)答案和解析1.【答案】A

【解析】∵函数f(x)在点x=2处的切线方程为2x+y−1=0，

∴f′(2)=−2，且2×2+f(2)−1=0，得f(2)=−3，

∴f′(2)+f(2)=−5．

故选：A．2.【答案】B

【解析】∵函数f(x)=3x3−ax2+x−5在区间[1,2]上单调递增，

∴f′(x)=9x2−2ax+1≥0在区间[1,2]上恒成立，

即a⩽9x2+12x在区间[1,2]上恒成立，

令g(x)=9x2+12x，则g′(x)=9x2−13.【答案】C

【解析】由题意，f′x=x2−2x=xx−2，

故f(x)在(−∞,0)，(2,+∞)上是增函数，

在(0,2)上是减函数，得f(2)是极小值且f(2)=−43，

则a<2<a+5．

解得：−3<a<2，

又f(−1)=f(2)=−43，

所以a≥−14.【答案】A

【解析】根据导函数图象可知，

当x∈(−∞,−3)时，f​′(x)<0，

当x∈(−3,1)则函数y=f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,1)上单调递增，故C正确；易知f(−3)是函数的极值，故B正确；因为在(−3,1)上单调递增，则f(−1)不是函数的最小值，故A错误；因为函数y=f(x)在x=0处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确．故选：A．5.【答案】C

【解析】①设f(x)=ex−x−1，则f′(x)=ex−1，

令f′(x)<0，则x<0，令f′(x)>0，则x>0，

故f(x)在(−∞,0)上单调递减，

在(0,+∞)上单调递增，

故f(x)≥f(0)=0，

因此ex≥x+1>x，则lnex=x>lnx，

故lnx<x<ex， ①正确；

 ②ex−1≥x−1+1=x， ②正确；

 ③lnex−1=x−1≥lnx， ③错误；

 ④设ℎ(x)=xlnx−x+1，则ℎ′(x)=lnx，

令ℎ′(x)<0，则0<x<1，

令6.【答案】D

【解析】由题意，分两类讨论：

第一类，两人所选的影片无相同，

则小明在《异形：夺命舰》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》中选1部，有C41种选法，

小华在剩余的3部中选2部，有C32种选法，此时共有C41C32=12种方案;

第二类，两人所选的影片有1部相同，

若相同的影片为《名侦探柯南》，

则小明还需在《异形：夺命舰》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》中选1部，有C41种选法，小华在剩余的3部中选1部，有C31种选法，此时共有C41C31=12种方案;

若相同的影片不是《名侦探柯南》，

则小明还需在《异形：夺命舰》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》中选7.【答案】B

【解析】根据题意，分2步进行分析：

①先将票分为符合条件的4份；

由题意，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张，则两人一张，2人2张，且分得的票必须是连号的，相当于将1、2、3、4、5、6这六个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号，易得在5个空位插3个板子，共有C53=10种情况，但其中有4种是1人3张票的，故有10−4=6种情况符合题意，

②将分好的4份对应到4个人，进行全排列即可，有A44=24种情况；

故有8.【答案】D

【解析】2x+1x令6−32r=0⇒r=4故选：D．9.【答案】BD

【解析】对于A，，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确．

故选：BD．10.【答案】AC

【解析】f(x)的定义域为(0,+∞)，且f​′(x)=1−lnxx2，

当x∈(0,e)时，f′(x)>0，f(x)在0,e上单调递增，

当x∈(e,+∞)时，f′(x)<0，f(x)在令f(x)=0，解得x=1，

故函数f(x)有且仅有一个零点，故B错误；由f(x)在(e,+∞)上单调递减，

得f(4)<f(π)<f(3)，故C正确；因为f(4)<f(π)，即ln44<lnππ，

所以故选：AC．11.【答案】AC

【解析】对于选项A，令x=0，则1=a0

①，故对于选项B，令x=1，则−1=a式②减式①可得a1+a对于选项C，令x=−1，则35式②减式③可得−1−3则a1+a对于选项D，令x=12，则所以a12+故选：AC．12.【答案】21

【解析】依题意，y′=2x，

∴函数y=x2(x>0)的图象在点(an,an2)处的切线斜率是2an，

∴切线方程为y−an2=2an(x−an)，

令y=0，可得x=113.【答案】[−1【解析】因为f′(x)=1易知当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,1)上递减，在(1,2]上递增，故x∈(0,2]时，f(x对于二次函数g(x)=−x所以其在区间[1,2]上的最小值在端点处取得，所以要使对任意x1∈(0,2]，存在x2只需f(x即12所以12≥−1−2a+4或12≥−4−4a+4，

故a≥−1故答案为：[−114.【答案】30

【解析】

(x2+x+y)5

表示5个因式

在这5个因式中，有2个因式选

y

，其余的3个因式中有一个选

x

，剩下的两个因式选

x2

，即可得到含

x5故含

x5y2

的项系数是故答案为：3015.【答案】解：(1)由fx=lnx+ax又f′1=4，

所以1+2a+1=4，解得a=1(2)由a=1，得fx=lnx+x2+x又切线的斜率为k=f′2所以函数fx的

图象在点2,f2处的切线方程为y−(ln 2+6)=11

【解析】本题考查求曲线上一点的切线方程，属于基础题．

(1)求导即可代入求解；(2)根据导数求解斜率，即可由点斜式求解．16.【答案】解：(1)

求导函数可得f′(x)=ax−12x2+32，

∵∴a−12+32=0，

∴a=−1．f(x)=−lnx+12x+32x+1(x>0)，

f′(x)=−1x−12x2+32=(3x+1)(x−1)2x2

，

令f′(x)=0，可得x=1

【解析】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性与极值，正确求导是关键．

(1)

求导函数，利用曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴，可得f′(1)=0，从而可求a的值；

(2)

由(1)知，f(x)=−lnx+12x+3217.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=ax+a−1−1x=(x+1)(ax−1)x，

若a≤0，当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减;

若a>0，当x∈(0,1a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(1a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

综上，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减;

当a>0时，f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增；

(2)由(1)知，当a>0时，f(x)在x=1a处取得最小值f(1a)=1−12a−ln1a，

所以要证f(x)≥2−32a，只需证1−12a−ln1a≥2−32a，即1a−ln1a−1≥0，

设g(x)=x−lnx−1，则g′(x)=1−1x，

当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

所以当x=1时，g(x)取得最小值g(1)=0，

所以当x>0时，g(x)≥0.

所以当a>0时，1a−ln1a−1≥0，即f(x)≥2−32a成立；

(3)F(x)=lnx+a2x2−ax的定义域为(0,+∞)，导函数F′(x)=ax2−ax+1x，

因为F(x)【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，属于较难题．

(1)利用导数研究函数的单调性，对a的取值进行分类讨论计算得结论;

(2)由(1)知，当a>0时，f(x)在x=1a处取得最小值f(1a)=1−12a−ln1a，则f(x)≥2−32a等价于1−18.【答案】解：(1)由条件可得2n∴解得n=7(2)(2x−1∵(−2x2∴ ①当14−3k=−1即k=5时，2x⋅ ②当14−3k=2即k=4时，−∴所求的常数项为168+280=448．

【解析】本题考查二项展开式的通项、二项式系数和与系数和，属于