重庆市第十一中学2024−2025学年高二下学期4月月考数学试题（含解析）

重庆市第十一中学2024−2025学年高二下学期4月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有排法（

）种A．120 B．24 C．48 D．962．设，则（

）A． B． C． D．3．函数（）的单调递增区间是（

）A． B．C． D．和4．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A．48种 B．72种 C．96种 D．144种5．北山中学在学校“236”发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展．现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为（

）A．72 B．108 C．180 D．2166．已知函数，则的大致图像为（

）A． B．C． D．7．在的展开式中，项的系数为（

）A．30 B．45 C．60 D．908．设，，，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．可表示为B．若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种C．10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次D．老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，则分法有种10．已知函数在上是单调函数，则实数a的值可以是（

）A． B．C． D．211．函数有两个极值点，则下列结论正确的是（

）A．若，则有3个零点 B．过上任一点至少可作两条直线与相切C．若，则只有一个零点 D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知函数的导函数为，且满足，则.13．已知集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是．14．关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知是函数的一个极值点.(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最大值.16．已知展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列.(1)求n的值；(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.17．已知，，过原点作图像的切线，切点为M，已知(1)求的解析式；(2)若的图像与的图像有一条通过原点的公切线，求a的值．18．已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；(3)证明：.（参考数据：）19．帕德近似是法国数学家亨利･帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：且满足：.注：.已知函数在处的阶帕德近似.(1)求的表达式；(2)记，当时，证明不等式；(3)当，且时，证明不等式.

参考答案1．【答案】C【详解】将两名女生当成一个元素和3名男生全排列得种排法，两名女生排序有种排法，所以共有种排法.故选C.2．【答案】D【详解】根据二项式展开式：，；故当时，展开式中的系数为，故．故选D．3．【答案】B【详解】（），令，解得，故在上单调递增，故选B．4．【答案】B【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：①，对于区域，有4种涂法，②，对于区域，与相邻，有3种涂法，③，对于区域，与相邻，有2种涂法，④，对于区域，若其与区域同色，则有2种涂法，若区域与区域不同色，则有1种涂法，则区域有2+1＝3种涂色方法，则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；故选B．5．【答案】C【详解】根据题意分析可得，必有2人参加同一社团.首先分析甲，甲不参加“生物研启社”，则有3种情况，再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有（种）情况；若甲是单独1个人参加一个社团，则有（种）情况．则除甲外的4人有（种）参加方法．故不同的参加方法的种数为故选C.6．【答案】C【详解】，，，排除选项ABD.故选C.7．【答案】B【详解】在的展开式中，通项公式为，对于，通项公式为，，，r、k，令，可得，故，，故项的系数为，故选B.8．【答案】D【详解】令，则，在上单调递增，，即，则；令，则，在上单调递减，，即，则；，即；令，则，在上的单调递增，，即，则，即；综上所述：.故选D.9．【答案】ABC【详解】A项，，正确；B项，h，e，r，o的全排列为（种），正确的有1种，故可能出现的错误共有（种），正确；C项，10个朋友，两个人握手一次，共握手（次），正确；D项，3张门票属于相同元素，故应有种分法，D不正确．故选ABC.10．【答案】ABC【详解】因为为二次函数，开口向下，总会存在负值，由题意得在上恒成立，则，解得．故选ABC.11．【答案】ACD【详解】根据题意可得，且；当时，易知时，；时，；此时在和上单调递增，在上单调递减；且当趋近于时，也趋近于；当趋近于时，也趋近于；利用三次函数性质可知，当，其函数图象如下图所示：

此时由图象可知有3个零点；同理当时，易知在和上单调递减，在上单调递增；且当趋近于时，也趋近于；当趋近于时，也趋近于；利用三次函数性质可知，当，其函数图象如下图所示：

此时由图象可知有3个零点；所以若，则有3个零点，即A正确；由题意知，所以过或有且仅有一条直线与相切，且切线为水平直线，所以B错误；当时，由选项A易知在处取得极大值，在处取得极小值，且；若，则，即；此时其图象如下图所示：

由图可知，只有一个零点；同理当时，易知在处取得极小值，在处取得极大值，且；若，则，即；此时其图象如下图所示：

由图可知，只有一个零点；综上可知，若，则只有一个零点，即C正确；由三次函数性质可知，函数关于成中心对称，所以满足，又是方程的两根，则满足；所以，即，所以D正确；故选ACD.12．【答案】/【详解】由题设，则.13．【答案】6【详解】因为两个集合中各取一个元素作为点的坐标，且该点表示第二象限内的点，所以所取的横坐标为负数，纵坐标为正数，若横坐标为-2，则纵坐标可为5、6，即点为，若横坐标为-4，则纵坐标可为1、3，即点为，若横坐标为-7，则纵坐标可为1、3，即点为，所以点的个数为6.14．【答案】【详解】由题设，令，则，且，令，则，当，，则在上单调递减，当，，则在上单调递增，则，即在R上单调递增，所以且，故恒成立，令，则，当，，则在上单调递增，当，，则在上单调递减，则，即.15．【答案】(1)减区间为，增区间为(2)76【详解】（1），是函数的一个极值点

，

，，令，解得或；令，解得.所以函数的减区间为，增区间为.（2）由（1），又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减函数在的极大值为，又，函数在区间上的最大值为.16．【答案】(1)7(2)【分析】（1）利用第二项、第三项、第四项的二项式系数为等差数列可求；（2）根据二项展开式的通项可得展开式中共有3项有理项，利用插空法和古典概型的概率计算公式可求概率.【详解】（1）因为第二项、第三项、第四项的二项式系数分别为、、，由题意可知：，即，显然，整理可得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）可知展开式的通项为可知展开式共8项，当为有理项，共3项，所以由插空法可得有理项不相邻的概率．17．【答案】(1)(2)1【详解】（1）设切点，∵，∴，∴，∴，又；∴，∴（2）此公切线即为（1）中的切线，∵，∴切线为，设与的图像切于点，又∵，∴，解得，∴18．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用导数求曲线在切点处的切线方程；（2）求出函数在时的值域，可求实数的最大值；（3）依题意，构造函数，利用导数证明即可.【详解】（1），，在处的切线为.（2），，则，所以，在上单调递减，时，，对任意恒成立，，则，的最大值为.（3）设，，在上单调递增，，，使，在上单调递减，在上单调递增，，，，.【思路导引】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.19．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）由题意，.因为，所以，所以.因为，且，所以.因为，且，所以.所以.（2）因为，所以.记，则，因为，所以，所以在单调递减.所以，所以.（3）由（2）得，当时，.所以，当时，