2024-2025学年甘肃省兰州市第四片区高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省兰州市第四片区高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在四边形ABCD中，若AC=AB+ADA.四边形ABCD一定是等腰梯形 B.四边形ABCD一定是菱形

C.四边形ABCD一定是直角梯形 D.四边形ABCD一定是平行四边形2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=3，A=30°，则角B等于(

)A.60°或120° B.30°或150° C.60° D.120°3.向量a=(−1,2)，b=(−3,x)，若a⊥bA.x=32 B.x=6 C.x=−24.在△ABC中，如果(a+b+c)(b+c−a)=3bc，那么A等于(

)A.150° B.120° C.60° D.30°5.已知cos(α−π3)=1213，其中α∈(A.5+12326 B.12+53266.已知α，β∈(0,π2)，cos(α−β)=34，A.π3 B.π4 C.π67.a、b、c分别是△ABC内角∠A，∠B，∠C的对边，若△ABC的周长为4(2+1)，且sinB+sinC=2sinAA.2 B.2 C.4 D.8.在△ABC中，AD=2DB，P为CD上一点，且AP=mAB+1A.12 B.13 C.14二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,−1)，b=(2,x)，设a与b的夹角为α，则(

)A.若a//b，则x=−2 B.若x=1，则|b−a|=5

C.若x=−1，则a与b的夹角为60°10.对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(

)A.sin(B+C)=sinA

B.cos(B+C)=cosA

C.若a2+b2=c2，则11.已知函数f(x)=3sinωx−cosωx(ω>0)的最小正周期为π，则以下命题正确的有A.ω=2

B.函数f(x)的图象关于直线x=−π6对称

C.将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到的图象关于y轴对称

D.若方程f(x)=34在(0,π)上有两个不等实数根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点P(3,1)是角α终边上的一点，则cos2α的值为______．13.计算tan72°−tan42°−33tan72°tan42°=14.已知向量a与b的夹角为23π，且|a|=2，|b|=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a与b的夹角为π4，且|a|=2，|b|=2．

(1)求a⋅b；

(2)|16.(本小题15分)

如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，∠DAB=π3，点E是AB的中点，连接DE，AC，AB=4记它们的交点为点G，设AB=a，AD=b．

(1)用a，b表示AG；

17.(本小题15分)

如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东75°方向、距离为60海里B处有毒贩正驾驶小船以每小时15(3−1)海里的速度往北偏东15°的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时156海里的速度前往缉捕．

(1)18.(本小题17分)

在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1．

(1)求sin∠ABC；

(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积．19.(本小题17分)

已知点P(3,1)，Q(cosx,sinx)，O为坐标原点，函数f(x)=OP⋅QP．

(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；

(2)求函数f(x)的单调减区间；

(3)若A为△ABC的内角，f(A)=4，参考答案1.D

2.A

3.D

4.C

5.A

6.D

7.C

8.B

9.ABD

10.AC

11.ABC

12.4513.314.−15.解：(1)因为向量a与b的夹角为π4，且|a|=2，|b|=2，

则a⋅b=|a||b|cos〈a,b〉=2×2×22=2；

(2)|a−b|=(a−b)2=a2+b2−2a⋅b=4+2−4=2；

(3)设向量a−b与向量a的夹角θ17.解：(1)由题意可得∠ABC=15°+180°−75°=120°，

设时间为t小时缉毒船恰好能将毒贩抓捕，此时AC=156t海里，BC=15(3−1)t海里，

AB=60海里，

由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC，

即(156t)2=602+[15(3−1)t]2−2×60×15(3−1)t×(−12)，

整理可得(3+1)t2−2(18.解：(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

已知∠BAC=120°，c=2，b=1，

由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccos120°=7，解得a=7，

由正弦定理asinA=bsinB，即7sin120°=1sin∠ABC，

解得sin∠ABC=2114；

(2)在19.解：(1)已知点P(3,1)，Q(cosx,sinx)，O为坐标原点，函数f(x)=OP⋅QP．

则f(x)=OP⋅QP=(3,1)⋅(3−cosx,1−sinx)=3−3cosx+1−sinx

=−sinx−3cosx+4=−2sin(x+π